2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考卷（浙江專用浙教版九年級上冊+九年級下冊1~2章）

2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考卷（浙

教版）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：浙教版九年級上冊全冊+下冊第1章，其中二次函數(shù)20%,概率11.7%,圓32.5%,相似

17.5%,解三角形18.3%。

5.難度系數(shù)：0.65o

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知O。的半徑為5cm,PO=3cm,則點尸與O。的位置關(guān)系是（）

A.點尸在圓外B.點尸在圓上C.點P在圓內(nèi)D.無法確定

【答案】C

【詳解】解：：O。的半徑為5cm，P0=3cm，

d<r,

...點P在圓內(nèi)，

故選：C.

2.一個轉(zhuǎn)盤白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為120。和240。，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動2次，一次落在白色，一次

落在紅色區(qū)域的概率是（）

1214

AyB.§C.-D.-

【答案】D

【詳解】解：白色區(qū)域用A表示，紅色區(qū)域分別用Bi和B2,如圖，

一共有9種等可能的結(jié)果，而轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動2次，一次落在白色，一次落在紅色區(qū)域的結(jié)果數(shù)有4種，

.??讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動2次，一次落在白色，一次落在紅色區(qū)域的概率是小

故選：D.

3.將拋物線y=(加一1)%2+m％+瓶+3向左平移2個單位，再向上平移3個單位后經(jīng)過(一2,3).則zn的值是

()

A.-1B.2C.-3D.0

【答案】C

【詳解】解：把點(一2,3)先向右平移2個單位，再向下平移3個單位后所得對應(yīng)點的坐標(biāo)為(0,0),

把(0,0)代入y=(m—l)x2+mx+m+3,

得：m+3=0,

解得：m=-3.

故選：C.

4.如圖，在△力BC中，黑=賓=|,△CDE與四邊形ABED的面積的比是()

DCEC3

【答案】D

【詳解】解：???黑=案=弓，

DCEC3

.DC_EC_3

**AC-BC~59

VzC=zC,

???ACDE?ZkCAB,

SACDE=Zpc\2—2,

°.SACAB\AC/25

,SMDES2XCDE_9_9

S四邊形ABEDSACAB-SACDE25-916’

故選：D.

5.如圖，在扇形OAB中，點。在。2上，點C在而上，乙AOB=LBCD=90°.若CD=3,BC=4,則。。

的半徑為（）

A.4B.4.8C.2V5D.3近

【答案】C

【詳解】解：過點。作0E1BC與E,連接BD交0E與點F,連接CF,

/.BD=VCD2+BC2=5,

V0E1BC,

.?.0E垂直平分BC,

ABF=CF,

AzFBC=ZFCB,

XVZBCD=90°,

/.ZFBC+ZFDC=ZFCB+zFCD=90°,

.".ZFDC=ZFCD,

?.CF=DF=BF,

；.F是BD的中點，

--.OF=|BD=|,

又「OE垂直平分BC,

EF=|CD=I，BE=|BC=2

；.OE=OF+EF=?S+-34,

22

.??OB=VOE2+BE2=V42+22=2V5,

即（DO的半徑為2遍，

故選：C.

6.中國體育代表團在巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績，圖1是2024年巴黎奧運會的一枚金牌，金牌正中

間鑲嵌了一塊來自埃菲爾鐵塔的正六邊形鐵塊.這個正六邊形鐵塊的示意圖如圖2所示，已知該正六邊形

4BCDEF的周長約為18而mm，則4。的長約為（）

圖1圖2

A.6V5mmB.5V3mmC.12V5mmD.18-\/3mm

【答案】A

【詳解】解：如圖，連接CF與AD交于點0,

D

YABCDEF為正六邊形，

???ZCOD=孥=60°,CO=DO,

6

???△COD為等邊三角形,

???CD=CO=DO,

?.?正六邊形ABCDEF的周長約為18V^mm，

**,CD=3"\Z5rnm，

???AD=2CD=6V5mm，

故選：A.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點48的坐標(biāo)分別為(一3,1),(-1,4)，以點。為位似中心，在原點的

另一側(cè)按2:1的相似比將△OAB縮小，則點/的對應(yīng)點4的坐標(biāo)是()

A.(-3,1)B.(_|4)C.(3,-1)D.

【答案】D

【詳解】解：以點0為位似中心，在原點的另一側(cè)按2:1的相似比將4OAB縮小，將A(—3,1)的橫縱坐標(biāo)先

縮小為原來的?為(一1，9,再變?yōu)橄喾磾?shù)得(|,—a.

故選：D.

8.在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點4B,C都在格點上，那么sin乙4cB的值為()

【答案】C

【詳解】解：過點B作AC的垂線，垂足為M,設(shè)小正方形的邊長為a,

???在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上,

AB=Ja2+(3a)2=VlOa，BC=^/a2+(3a)2=VlOa，AC=J(2a)2+(2a)2=2五a,

AAB=BC,

VBM1AC,

...點M是AC的中點,

CM=1AC=|x2岳=V2a,

在RtZ\BCM中，BM=VBC2-CM2=(VlOa)2-(V2a)2=2四a,

...s.mZ.AaCcBc=—BM2VIa_2V5

BCVlOa5

???sin/ACB的值為竽.

故選：C.

9.如圖，AB是。。的直徑，AB=6,CD是。。的弦，連接AC,BC,OD.若乙4CD=2/BCD,則已。的

71

cD.

-54

【答案】A

【詳解】解：「AB是直徑,

???Z.ACB=90°,

vZ.ACD=2ZBCD,

ZBCD=jzACB=30°,

ZBOD=2ZBCD=60°,

?'~、v|x6(hix3

??8。1的l長=不^=兀?

故選：A

10.如圖，是。。的直徑，。。為半徑，過4點作力D〃OC1交。。于點D,連接AC,BC,CD,連接8。交OC

于點E,交AC于點小若圖中陰影部分分別用Si和S2表示，則下列結(jié)論：①NC4。+NOBC=90。；②若F為AC

中點，則CE=2OE；③作DP||BC交48于點P,則叱=OB-BP；④若S1S2=則NHC。=30°；其中正

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【詳解】解：①「ADIICO,

??.Z.CAD=zACO,

???OA=OC,

??.ZACO=Z.CAO,

:.zBOC=2Z.ACO=2Z.CAD,

vOC=OB,

???zOBC=Z.OCB,

vZCOB+ZOBC+Z.BCO=180°,

???2ZCAD+2Z.OBC=180°,

???ZCAD+ZOBC=90°,

故①正確；

②ADIIOC,F為AC中點，OA=OB,

???CE=AD,OE=|AD,

??.CE=2OE,

故②正確；

③rAB為圓0直徑，

???AC1BC,

???DP||BC,

???DP1AC,

由①知，zCAD=zCAB,

???zAPD=zADP,

AD=AP,

在4ACD和AAPC中，

(AC=AC

]4CAD=ZCAB,

(AD=AP

/.AACD=AAPC(SAS),

:.Z.ADC=Z.APC,

???四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,

???Z.ADC+ZABC=180°,

ZAPC+ZCPB=180°,

???Z.ABC=zCPB=Z.OCB,

.*.△OBC-'ACBP,

.BC_PB

**OB-BC*

???BC2=OB-BP,

故③正確；

④連接OD,

.?.Si=S扇形OAD,

S1：S2=1

???ZAOD=jzBOC,

zAOD=zCAO=zDAC=Z.ACO,

vOA=OD,

???5zACO=180°,

??.ZACO=36°,

故④錯誤；

綜上所述，正確的是①②③，共三個.

故選：B.

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.已知線段m=2,n=8,則科九的比例中項是.

【答案】4

【詳解】解：設(shè)線段m,n的比例中項為x,

是長度分別為2、8的兩條線段的比例中項，

Ax2=mn=2x8,

即X?—16,

Ax=4（負數(shù)舍去）.

故答案為:4.

12.在RtaABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5,則sinA的值為.

【答案】g

【詳解】解：：在RtaABC中，4c=90。，AB=13,AC=5,

ABC=VAB2-AC2=12,

??smA=鼾=五'

故答案為：y|.

c

13.如圖，BD、CE是。。的直徑，弦AE〃BD,AD交CE于點F,乙4=25。，則乙4FC=

4E

【答案】75。

【詳解】解：：弦AE||BD,且NA=25°,

???zD=zA=25。，

???瓦所對的圓周角是NA,圓心角是NEOD,

ZA=^ZEOD,

???ZEOD=2zA=2x25°=50°,

???ZAFC=ND+ZEOD=25°+50°=75°,

故答案為：75。.

14.如圖是一個學(xué)生自制的七巧板飛鏢游戲盤，若向游戲盤內(nèi)投擲飛鏢，投擲在陰影區(qū)域的概率是,

【答案】|

【詳解】解：如圖：作輔助線可將正方形分成16等份，其中陰影部分占6份，則投擲在陰影區(qū)域的概率是

63

168

故答案為：

O

15.某種商品的商標(biāo)圖案如圖（圖中的陰影部分），已知O。的直徑2B1CD,且48=8cm,弧AB是以。

為圓心，ZM為半徑的弧，則商標(biāo)圖案的面積為.

【答案】8TTcm2

【詳解】解：；AB=8,AB是O0的直徑，

AzADB=90°,

:弧AB是以D為圓心，DA為半徑的弧，

AD=BD=逗AB=返x8=4vL

22v

二商標(biāo)圖案的面積為：9°xnx(45=8n(cm2)

360

故答案為：8ncm2

16.如圖，已知拋物線y=%2—2%—3與久軸交于8兩點，與y軸交于點C,。是坐標(biāo)原點.P為線段BC上

【詳解】解：過點P作PD，x軸于點D,貝IJPDIIOC,

把y=。代入y=x2—2x—3得，x2—2x—3=0,

角軍得Xi=-1,x2=3,

???A(—1,0),B(3,0),

AOB=3,AB=3-(-1)=4,

把x=0代入y=x2—2x—3得，y=—3,

???C(0,-3),

OC=3,

VzBOC=90°,

BC=VOB2+OC2="32+32=3近，

VzACB=ZPAB,ZABC=zPBA,

???AABP-ACBA,

.AB_BP

**BC-AB*

?_4_____BP

一3V2-4'

：.BP=鳴

3

VPD||OC,

ADBP^AOBC,

.BD_BP

**BO-BC"

BD隨

即=q,

33V2

BD=l，

；.OD=OB—BD=3*DP=VBP2-BD2=J(嚶)?_(|丫=8；

...點P的坐標(biāo)為G，—I),

三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（本題滿分8分）計算：

(l)2sin300+4cos30°-tan60°—cos245°

(2)(-2)°-3tan30°+|tan60°-2|.

【詳解】(1)解：2sin30°+4cos30°?tan60°—COS245°

2

1V3廣

=2x-+4x—xV3-

(2)解：(-2)°-3tan30°+|tan600-2|

V3廣

—1—3X--"F|—21

=1-V3+2-V3

=3-2V3...............................8分

18.(本題滿分8分)有4張背面完全相同的卡片，其正面分別標(biāo)有數(shù)字一1,0,I,2,將卡片的背面朝

上，洗勻后，從中任意抽出1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來，放回洗勻后再從中任意抽出1張，同樣將卡

片上的數(shù)字記錄下來.

(1)求第一次抽出的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率；

(2)小明、小亮做游戲，規(guī)則如下：若兩次抽出的卡片上的數(shù)字的乘積為正數(shù)，則小明勝；若兩次抽出的卡

片上的數(shù)字的乘積為負數(shù)，則小亮勝.這個游戲規(guī)則對小明、小亮公平嗎？請用畫樹狀圖或列表的方法說

明理由.

【詳解】(1)解：第一次抽取卡片共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上數(shù)字是正數(shù)的結(jié)果有2種，

...第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率是a............................2分

(2)解：列表如下：

-1012

-110-1-2

00000

1-1012

2-2024

............................5分

由表可知，共有16種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為負數(shù)的有4種結(jié)果，結(jié)果為正數(shù)的有5種結(jié)果，

所以小亮獲勝的概率=4+16=；，小明獲勝的概率=5+16=白，............................7分

41O

,此游戲不公平...............................8分

19.（本題滿分8分）如圖，某景區(qū)為方便游客上下山，現(xiàn)在從甲山4處的位置向乙山B處拉一段纜繩.已

知甲山上4點到CD的垂直高度力C=100米；從。處往B處看的仰角為60。，乙山上B點到河邊。的距離

BD=500米，從B處看力處的俯角為25。.（4、B、C、。在同一平面內(nèi)，參考值：sin25°?0.4,cos

（1）求乙山8處到河邊CD的垂直距離（結(jié)果保留根號）；

（2）求甲山與乙山所拉纜繩力B的長度（結(jié)果保留整數(shù)）.

【詳解】（1）如圖，過點B作BE1CD,垂足為E,

?.,從D處往B處看的仰角為60。，

.\tanzBDE=^=V3.

.?.設(shè)BE=V^k米，則DE=k米，

在RtZiBDE中，BD=VDE2+BE2=J(V3k)2+k2=2k(米)，

VBD=500米，

：.k=250,

ABE=250遙米，

乙山B處到河邊CD的垂直距離為250g米；..............4分

由題意得：AF=CE,AC=EF=100米，BG||AF,

AzABG=ZBAF=25°,

VBE=250V3-425米，

ABF-BE-EF?425-100=325（米）,............................7分

在Rt^ABF中，AB=$?等=813.（米），

sin2500.4

.??甲山與乙山所拉纜繩AB的長度約為813米..............................8分

20.(本題滿分8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△。力B的頂點坐標(biāo)分別為0(0,0),4(5,0),B

(4,-3).將△。力B繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△。4夕，點/旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為4.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△。4夕，并寫出點4的坐標(biāo)；

(2)求線段8夕的長.

【詳解】(1)解：：O(0,0),A(5,0),B(4,—3),△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90。,

；.從((),—5),B((-3,-4),連接OAQAB,OB',得到△0AE,

△0AB即為所求，如圖1所示，

此時A<0,—5)；

（2）解：連接BB，，如圖2,BB'="2+12=5vL

圖2

21.(本題滿分8分)如圖，點2在%軸的正半軸上，且。4=4,點8在y軸的正半軸上，且0B=6,直線力B

與拋物線y=a久2—1在第一象限內(nèi)相交于點p,連接OP,已知=6.

⑴求a的值;

(2)若將拋物線y=a久2—1先向右平移2個單位，再向下平移t(t>0)個單位，恰好經(jīng)過點力，試確定t的值.

【詳解】(1)解：：0A=4,OB=6,

/.A(4,0),B(0,6),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k70),

解得，卜「二I,

(b=6

，直線AB的解析式為y=—|x+6,.........................................................2分

???二次函數(shù)y=ax2—1與直線AB在第一象限交于點P,

???設(shè)P(p,—gp+6)(p>0),則點P到lx軸的距離為hp=—|p+6,

SAOAP—6，BP^OA-hp=6,

-'-hp=3X=T=3,即一|P+6=3,

解得，p=2,

；.P(2,3),

，4a—l=3,

解得，a=1；............................4分

(2)解：由(1)可得二次函數(shù)的解析式為y=x2—1,

???經(jīng)過平移后的解析式為y=(x—2尸一1—t,

,/平移后的圖象經(jīng)過點A(4,0),

，(4—2)2—l—t=0,

解得，t=3...............................8分

22.(本題滿分10分)如圖，2B是。。的直徑，弦CD14B與點E,已知AB=10/E=8,點P為線段4E

上任意一點，(點P不與4、E重合)，連接CP并延長與O。交于點Q,連接Q。、PD、AD.

⑴求CD的長；

⑵乙4DP與乙4DQ滿足什么關(guān)系？并說明理由;

(3)若NPCE=45。，求CP2+PQ2的值.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接。。，

A

B

?.?直徑4B=10,AE=8,

：.BE=2,

.".OF=5-2=3,

'：AB1CD,

：.CD=2DE=2CE,乙OED=90°,

在RtZkOEO中，由勾股定理得P￡>2=PE2+ED2

：.ED-<52-32=4,

：.CD=2ED=8；...............................................................................3分

(2)解：/.ADP=^ADQ,理由如下：

如圖所示，連接AC,

9：AQ=AQ,

???乙4CQ=乙4OQ,

B

?「AB是。。的直徑，AB1CD,

:.CE=DE,即是CD的垂直平分線,

：.AC=AD,PC=PD,

U

：AP=AP9

：.Ai4￡)P(SSS),

：.^LACP=乙40P,

：.Z.ADP=A.ADQ；..........................................................6分

(3)解：如圖所示，過點。作。H1CQ,連接0C,

由（1）得CE=DE=4,0E=3,

ACH=QH,

9：AB1CD,Z.PCE=45°,

A/-CPE=90°一乙PCE=45°=乙PCE,

：.PE=CE=4,

：.OP=PE-OE=lf

VOH1PH,

???同理可得PH=。”，

：.PH=OH=^OP=^,

22

在Rt△0cH中，由勾股定理得CH=70c2—0甲=J52—停J=苧，

?.CH=QH=竽，

CP=CH+PH=4vLQP=QH-PH=3vL

/?CP2+PQ2=（4煙2+（3&,=50.............................................................I。分

23.（本題滿分10分）根據(jù)背景素材，探索解決實際問題

乒乓球發(fā)球機的運動路線

如圖1所示，乒乓球臺規(guī)格是

矩形，長為2.8米，寬為1.5米，

素

球網(wǎng)高度為0.14米某品牌.乒

材

乓球發(fā)球機的出球口在桌面

中線端點。處的正上方0.25米

處P

圖1

如圖2所示，假設(shè)每次發(fā)出的

乒乓球都落在中線上，且球的

運動路線是一條拋物線，且形

狀固定不變，在與P水平距離

素

為1機的。點正上方達到最高

材

點，此時與桌面的高度為0.45

m,并且乒乓球落在桌面的點O\MX

M處，以。為原點，桌面中線

圖2

所在直線為無軸，建立平面直

角坐標(biāo)系.

如圖3所示，若乒乓球落在桌

Q

素面上彈起后，在與O點的水平

但

材距離為3米的位置達到最高

點，設(shè)球達到最高時距離桌面

的高度為九米.0Mx

圖3

問題解決

任

(1)求出發(fā)球機發(fā)球后到落在桌面前，乒乓球運動的拋物線關(guān)系

務(wù)研究乒乓球飛行軌跡及落點

式，并求出點“與。的水平距離.

任(2)當(dāng)h=0.2時，運動員小亮想把球沿直線擦網(wǎng)擊打到O點,他

務(wù)擊球點的確定能不能實現(xiàn)，若能實現(xiàn)，請求出擊球點位置的高度，若不能實現(xiàn)，

請說明理由.

(3)當(dāng)九=：時，運動員小亮的球拍/離點。的水平距離為3.8m，

位于桌面上方，離桌面0.2m，且運動員揮拍的過程中，球拍的擊打

任

路線48近似于一條直線，球拍與桌面的夾角為45。，如圖3所示.當(dāng)

務(wù)運動員移動的距離

球飛行的高度在。至，時，小亮可以獲得最佳擊球效果.小亮想要成

loZ

功擊中乒乓球，球拍需要先向前平移，設(shè)球拍向前平移的距離為"，

則n的取值范圍為二

【詳解】解：任務(wù)一：由題意可知：拋物線的頂點坐標(biāo)為：(1,0.45)

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)2+0.45,

將P(0,0.25)代入可得0.25=a(0—1)2+0.45,解得：a=-0.2,

所以拋物線的解析式為y=-0.2(x-l)2+0.45,......................................................................2分

當(dāng)y=0時，0=—0.2(x—+0.45,解得：X1=2.5,x2=-0.5<0(舍棄負值)，

所以M(2.5,0)，點M與O的水平距離為2.5m；.....................................................................3分

任務(wù)二：不能實現(xiàn)，理由如下：

設(shè)球彈起的拋物線軌跡為y=b(x-3)2+0.2,

將M(2.5,0)代入可得:0=b(2.5-3)2+0.2,解得：a=-0.8,

所以y=—0.8(x—3)2+0.2,.......................................................................4分

由題意可得：球網(wǎng)上方點F的坐標(biāo)為(1.4,0.14),

設(shè)OF的解析式為y=kx,貝UO.14=1.4k,解得：k=0.1,

所以O(shè)F的解析式為y=O.lx,

由一0.8(x—3)2+0,2=O.lx,整理得：8x2-47x+70=0,

所以△=472—4x8X70=—31<0,即方程無解，

所以不能實現(xiàn)；............................6分

任務(wù)三，如圖：依題意可得P(0,0.25),Q(l,0.45),M(2,5,0),A(3.8,0,2),第二個拋物線的頂點坐標(biāo)為D

(3,0.5)，

.,.0=a（2.5-3）z+1,解得：a=-2,

?'?Y2=-2（x-3）2+1,............................8分

令y2=-2（x—3）2+J=3解得：乂=與或乂=:

ZloJo

故擊球點的橫坐標(biāo)的取值范圍為：|<XB<y,

?op_22_2—QQ_￡—iZ.

**,~~~159,-3-15，

4<n（卷..............................1。分

24.（本題滿分12分）【問題情境】（1）如圖1,正方形力BCD中，￡、尸分別是邊48和對角線4C上的點,

ZEDF=45°,易證△￡>&￡1“△DCF（不需寫出證明過程），此時的值是：

Ih----