2024-2025學(xué)年滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)（10大題型）（50道壓軸題專練）解析版

二次函數(shù)（10大題型，50道壓軸題專練）

壓軸題型一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)壓軸題

1.已知拋物線y=辦2+bx+c（a>0）的對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（T,。）.若關(guān)于x的一元二

次方程亦2+6x+c=MP<。）有整數(shù)根，則p的值有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象拋物線與X軸及常函數(shù)y=p（p<0）直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與一元二次方程根

的關(guān)系.根據(jù)題意可知一元二次方程的根應(yīng)為整數(shù)*2+&C+C=M/<0），通過(guò)拋物線了="2+云+°（。>0）

的對(duì)稱軸為直線x=l，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（T,。）.可以畫(huà)出大致圖象判斷出直線V=P（-4asy<0）,觀

察圖象當(dāng)-4aMy<0時(shí)，拋物線始終與x軸相交于（-1,0）與（3,0）.故自變量x的取值范圍為T(mén)<x<3.所以

x可以取得整數(shù)0,1,2共3個(gè).由于x=2與x=0關(guān)于對(duì)稱軸直線x=l對(duì)稱，所以x=2與x=0對(duì)應(yīng)一條

平行于x軸的直線，，x=l時(shí)對(duì)應(yīng)一條平行于x軸且過(guò)拋物線頂點(diǎn)的直線，從而確定V時(shí)，。的值應(yīng)有2

個(gè).

【詳解】解：；拋物線丁=?2+/+<?（。>0）的對(duì)稱軸為直線》=1,

=1,解得6=-2a.

2a

又:拋物線y=ax2+bx+c（a>0）與九軸的一個(gè)交點(diǎn)為（T,0）,

把（-1,0）代入y="+bx+o得，0=a+2a+c,

解得：c=—3a.

y=ax2-2ax-3a（a>0）.

對(duì)稱軸h=l,最大值k=-4a.

如圖所示，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4a),

令ax2-lax—3。=0,

即Y-2X-3=0,

解得x=-l或x=3.

???當(dāng)a>0時(shí)，拋物線始終與x軸交于(-1,0)與(3,0),

ax2+bx+c=p.

即常函數(shù)直線了=。，由。<o,

，一4。<^<0,

由圖象得當(dāng)-4aMy<0時(shí)，其中X為整數(shù)時(shí)，X=0,1,2.

，一元二次方程ax?+bx+c=p(p>0)的整數(shù)解有3個(gè).

又：工二。與x=2關(guān)于直線x=1軸對(duì)稱，

當(dāng)x=l時(shí)，直線》="恰好過(guò)拋物線頂點(diǎn)，

所以。值可以有2個(gè).

故選：B.

2.已知拋物線了=-;?+2歷+人-1。>0),當(dāng)4V尤W6時(shí)，V的值恒大于等于9.則。的取值范圍為.

46

【答案】b唱

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解一元一次不等式，根據(jù)題意，確定函數(shù)圖象的開(kāi)口和對(duì)稱軸,

分類討論：0<b<5；6>5；根據(jù)函數(shù)最值的計(jì)算方法即可求解.

o/\2b7

【詳解】解：已知拋物線了=-x?+2加+6-19>0),則a=T<0,對(duì)稱軸為而=6,

拋物線開(kāi)口向下，

當(dāng)0<b<5時(shí)，在4WxW6內(nèi)，久=6時(shí)，拋物線取到最小值,

???最小值為：-62+2x6&+6-l>9,

46

解得，b哈

.??竺X5；

13

當(dāng)6>5時(shí)，在44x?6內(nèi)，x=4時(shí)，拋物線取到最小值，

最小值為：-42+2x46+6-129,

解得，b>^,

???6>5；

綜上所述，6的取值范圍為62力46，

46

故答案為：b>—.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=/-2加x+川+i存在兩點(diǎn)/（加一1,%），B（m+2,y2）.

⑴請(qǐng)比較％與%的大小，并說(shuō)明理由；

（2）記拋物線在Z,5之間的部分為圖象尸（包括4,2兩點(diǎn)）；.V軸上一動(dòng)點(diǎn)。（0,。），過(guò)點(diǎn)。作垂直于y軸

的直線/與廠有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）若點(diǎn)，（2,%）也是拋物線上的點(diǎn)，記拋物線在N,M之間的部分為圖象G（包括/兩點(diǎn)），記圖形G

上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為K若役|%-乂|,求加的取值范圍.

【答案】

（2）4=1或2<?！?；

（3）加?2—^^或加之4

【分析】（1）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸方程，進(jìn)而即可得解；

（2）將/（加-1,必），2（"+2,%）代入解析式，求出乂，％,畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可;

（3）分點(diǎn)M在點(diǎn)/的左側(cè)；點(diǎn)/的右側(cè)，對(duì)稱軸的左側(cè)；以及對(duì)稱軸的右側(cè)，結(jié)合圖象進(jìn)行分類討論求

解即可.

【詳解】（1）解：y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1,

???拋物線對(duì)稱軸為：直線加，開(kāi)口向上，

???點(diǎn)4（加_1,必），B（m+2,y2）,且加一（加—1）〈（加+2）-加，

???%＜為;

（2）解：由歹=—2mX+加2+1=（%一加）2+1可知:

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（加」），

當(dāng)、=加一1時(shí)：yx=（m-\-nif+1=2,

2

當(dāng)、=加+2時(shí)：yx=（m+2—m）+1=5,

A（m—1,2）,B（m+2,5）,

???過(guò)點(diǎn)C垂直于y軸的直線/：如圖：

由圖象可知：當(dāng)4=1或2<QW5時(shí)，直線/與尸有且僅有一個(gè)交點(diǎn),

??.。的取值范圍為：。=1或2<。45；

（3）解：???/（加一1,2）,5（小+2,5）,

?"4%—乂1=5—2=3,

2

當(dāng)x=2時(shí)，y3=m—4m+5,

??.M(2,m2-4m+5),

①當(dāng)A/■在點(diǎn)4的左側(cè)，即：m-1＞2,機(jī)＞3時(shí):

在對(duì)稱軸的左側(cè)，歹隨X的增大而減小，

???”點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，/點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小,

*'-t=m2—4m+5—2=m2—4m+323,

解得：根N4或根40（舍掉）；

M（2,加2-4加+5）

②當(dāng)〃■在點(diǎn)/的右側(cè)，對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)f<2-l=l,不符合題意；

③當(dāng)”對(duì)稱軸的右側(cè)，即加<2時(shí)，當(dāng)力42時(shí)，

此時(shí)/點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，拋物線的頂點(diǎn)處的縱坐標(biāo)最?。?=2-1=1<3不符合題意;

③當(dāng)〃■對(duì)稱軸的右側(cè)，即加<2時(shí)，當(dāng)外>2時(shí)，

t=m2—4m+5-1=m2—4m+423,

角軍得：m>2+43（舍），或加42-石；

m<2—也;

綜上：mW2-6或.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解

是解題的關(guān)鍵.

4.問(wèn)題：已知拋物線Ly=/-2x,拋物線少的頂點(diǎn)在拋物線工上（非拋物線工的頂點(diǎn)）且經(jīng)過(guò)拋物線

工的頂點(diǎn).請(qǐng)求出一個(gè)滿足條件的拋物線少的表達(dá)式.

（1）解這個(gè)問(wèn)題的思路如下：先在拋物線乙上任取一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），你所取的點(diǎn)是①；再將該點(diǎn)作為拋物線

少的頂點(diǎn)，可設(shè)拋物線印的表達(dá)式是a；然后求出拋物線工的頂點(diǎn)是⑶；再將拋物線工的頂點(diǎn)代入所

設(shè)拋物線獷的表達(dá)式，求得其中待定系數(shù)的值為④：最后寫(xiě)出拋物線少的表達(dá)式是⑤.

(2)用同樣的方法，你還可以獲得其他滿足條件的拋物線沙，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一個(gè)拋物線少的表達(dá)式.

(3)如果問(wèn)題中拋物線工和少在X軸上所截得的線段長(zhǎng)相等，求拋物線少的表達(dá)式.

【答案】⑴W-d

(2)y=-(x-2)2

⑶^=-1-亞-1)+1或y=-(x+后-1)+1

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題目所給方法，給定頂點(diǎn)坐標(biāo)為(。,0)計(jì)算即可解題；

(2)仿照(1)中的方法，給定坐標(biāo)為(2,0)計(jì)算即可解題；

⑶拋物線少的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(加，加2-2加把拋物線上的頂點(diǎn)是代入求出°的值，然后再根

據(jù)拋物線A和少在x軸上所截得的線段長(zhǎng)相等得到拋物線”過(guò)(加+1,0),代入得-1+療-2加=0,求出加

值，即可得到解析式.

【詳解】(1)先在拋物線c上任取一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，你所取的點(diǎn)是(。,0)；再將該點(diǎn)作為拋物線少的頂點(diǎn)，

可設(shè)拋物線水的表達(dá)式是＞然后求出拋物線￡的頂點(diǎn)是(1,-1)；再將拋物線乙的頂點(diǎn)代入所設(shè)拋物

線少的表達(dá)式，求得其中待定系數(shù)的值為a=-1；最后寫(xiě)出拋物線％的表達(dá)式是＞=-/.

(2)解：y=x~-2x=(x—I)--1＞

拋物線工的頂點(diǎn)是(1,-1),

取拋物線少的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

設(shè)拋物線水的解析式為＞=a(x-2)2,把(1,-1)代入得：q=-l,

???拋物線少的解析式為y=-(x-2)2；

(3)解：令_V=。，貝ijx?—2x=0,解得：X]=。，x2=2,

???拋物線工在x軸上所截得的線段長(zhǎng)為2,

設(shè)拋物線少的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(私療-2"。(加wl),

設(shè)解析式為J7=0(無(wú)一"。2+〃--2加，把(1,一1)代入得：cz(m-l)~+m2-2m=-1,

整理得(a+1)(加一1)2=0,即q=-l,

/、22

'-y=-^x-m)+m-2m,

又???拋物線工和少在X軸上所截得的線段長(zhǎng)相等，

拋物線河在x軸上所截得的線段長(zhǎng)為2,

???拋物線M過(guò)(加+1,0),代入得-1+m2-2m=0,

解得：7W=C+1或加=-C+l,

拋物線的解析式為>=-卜-收-I)%1或>=_卜+行_1J+1.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。中，拋物線+云—3的圖象與x軸交于4B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,

頂點(diǎn)為￡.點(diǎn)。在二次函數(shù)的圖象上，CD〃x軸，0)=2.

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑵在x軸上有一點(diǎn)尸，若以點(diǎn)尸、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△8。相似，求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0向拋物線的對(duì)稱軸作垂線，垂足為77,若HE=3H。,求點(diǎn)0的坐

標(biāo).

【答案】-2x-3,(1,-4)

⑵(1,0)或(-6,0)

⑶(-2,5)或(4,5)

【分析】(1)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)?！▁軸，求出點(diǎn)。坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出6值即可；

(2)先求出點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，再分別求出△3CZ)的三邊長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)尸(x,0),再分別討論當(dāng)8C、BF、CF分

別為△BC產(chǎn)的最長(zhǎng)邊時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)，分別列出關(guān)于x的方程，解方程即可；

(3)設(shè)點(diǎn)。(蒼/-2》-3),求出函數(shù)對(duì)稱軸，結(jié)合已知以及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)得加=一一2%-3+4,HQ=\x-\\,

根據(jù)族=3〃0列方程，解方程即可.

【詳解】(1)解：由題意可知：y=r+bx-3,

.?.當(dāng)x=0時(shí)，尸-3,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),

,.,CD〃x軸，CD=2,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,-3),代入拋物線得：4+26-3=-3,

b=—2,

拋物線的解析式為k--2x-3=(x-1),-4,

二頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,-4)；

(2)解：由(1)^y=x2-2x-3,令y=0,BPx2-2x-3=0,

解得：X]=-1,x2=3,

./(TO),3(3,0),

BD=yJ10,CD=2,BC=342,

；?設(shè)點(diǎn)尸(x,0),

①當(dāng)3c為△8b的最長(zhǎng)邊時(shí)，得多，RF==FC,

nCCDBD

.3-，

..-----=1,

2

解得：X=1,

二點(diǎn)下(1,0);

②當(dāng)B尸為△2CF的最長(zhǎng)邊時(shí)，得RF?F好CB,C

JDCDDCL)

,BF_372

;.BF=9,

???點(diǎn)尸(-6,0)；

CFRFRC

③當(dāng)CF為4BCF的最長(zhǎng)邊時(shí)，得三f=票,

解得：X無(wú)解，所以這個(gè)點(diǎn)尸不存在，

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0)或(-6,0)；

(3)解：點(diǎn)。在函數(shù)圖象上，則設(shè)點(diǎn)0(羽必一2x-3),

?.?二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=l,

2

:.HE=x-2x-3+4,HQ=\x-l\f

?「HE=3HQ,

2

x-2x—3+4=3|x—1|f

-5x+4-0x?4-x—2—0，

解得：演=1,工2=4或玉=1,x2=-2,

當(dāng)x=l時(shí)不符合題意，

故％=4或%=-2,

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,5）或（4,5）.

【點(diǎn)睛】本題時(shí)二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似

三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的線段問(wèn)題，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)及分類討論和方程思想解決問(wèn)

題.

壓軸題型二二次函數(shù)的最值問(wèn)題

I.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，E、F、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（；，1）、（3,1）、（3,0）,點(diǎn)A為線段放上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接過(guò)點(diǎn)A作4B14C交V軸于點(diǎn)5,點(diǎn)A從E運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，點(diǎn)3隨之運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)8的坐

標(biāo)為（0,6）,則。的最小值為（）

【答案】C

PRpA

【分析】延長(zhǎng)網(wǎng)交，軸于尸點(diǎn)，則跖，V軸.連接b.證明A&BSA尸。，得出仁=黑，設(shè)融=工，則

FAFC

391

NA=PN-PA=3-x,設(shè)尸3=九代入整理得到y(tǒng)=3x-V=-（x--）2+-,（：4x43）,根據(jù)二次函數(shù)的

244

性質(zhì)以及94x43,,求出，的最小值.

4

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)網(wǎng)交，軸于尸點(diǎn)，則E尸，y軸.連接CF.

在與中，ZAPB=ZCNA=90°,"AB=ZNCA=9伊一NCAN,

??△PABs小FCA,

.PB_PA

一~FA~~FC"

設(shè)尸Z=x,貝!]"二P產(chǎn)一PZ=3—x,^PB=y,

,.,?一，

3-x1

391

：.y=3x-x2=-(x--)2+-(-<%<3),

v-1<0,—<x<3,

4

39Qs

?"==時(shí)，歹有最大值;此時(shí)，=1三=-、

2444

x=3時(shí)，y有最小值0,此時(shí)6=1,

.?.6的取值范圍是—

??.6的最小值是

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，得出天與1之間的函數(shù)解析式是解題的關(guān)

鍵.

2.如圖，在ZUBC中，AB=AC=45,BC=4,。為邊N8上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8重合)，以CD為邊作正

方形CDEF,連接5E,則當(dāng)AADE的面積最大時(shí)，2。的長(zhǎng)為.

【答案】誓術(shù)

【分析】作EHLAB于H,CGLAB于G,作NMLBC于M,由等腰三角形三線合一可得

BM=CM=-BC=2,再證ACBGSA/8M,計(jì)算出CG=^,G5=—,設(shè)BZ)=x,通過(guò)證明

255

△EDG多ADCG(AAS),可得E〃=DG=?-X,從而用含x的二次函數(shù)表示出，化為頂點(diǎn)式即可求

解.

【詳解】解：作EHL4B于H,CG_L/8于G,作于"，如圖：

?；AB=AC=EBC=4,

BM=CM=^BC=2,AM=yjAB2-BM2=-22=1.

???ZCBG=ZABM,ZCGB=ZAMB=90°,

ACBGS4ABM,

CGGBCBCGGB4

“而一而一罰，1-2一書(shū),

._4石8A/5

,?C(_r=-------,Czo---------,

55

Q氏

T^BD=X,DG=GB-BD=--一x,

5

?.?四邊形CZ)E尸是正方形，

DE=DC,ZG=ZEHA=90°,

又???NEDG+NGDC=ZGDC+ZDCG=90°,

ZEDG=ZDCG,

.?.AEOG絲ADCG(AAS),

O氏

???EH=DG=—-一X,

5

a=-—<0

2

???當(dāng)X=--—時(shí)，S/\BDE取大，

止匕時(shí)—君一拽=好，

55

故答案為：叵.

5

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函數(shù)求最值綜合，尋找線段與角

度之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵，二次函數(shù)求最值通常化為頂點(diǎn)式求解.

3.已知拋物線歹=工2-4加x+2加+1,m為實(shí)數(shù).

⑴如果該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

⑵如果當(dāng)2加-3WxW2加+1時(shí)，y的最大值為4,求加的值.

(3)點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)4(1,0),如果該拋物線與線段04(不含端點(diǎn))恰有一個(gè)交點(diǎn)，求加的取值范圍.

【答案】(1)(2,-1)

3

=m=—\

-1

(3)加>1或加<--

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，然后化成頂點(diǎn)式，從而解得答案；

(2)先求出函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2小，判斷函數(shù)的開(kāi)口向上，判斷出當(dāng)x=23時(shí)，了取最大值4,代入從

而求得答案；

(3)當(dāng)x=0,y=2m+l,當(dāng)x=l時(shí)，y=-2m+2,當(dāng)交點(diǎn)在線段。4之間時(shí)，那么2加+1>0且

-2m+2<0,或者當(dāng)2加+1<0時(shí)，-2m+2>0,從而解得答案；

【詳解】(1)解：???該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)

3=42-16m+2m+1

解得m=1

/.y=x2_4x+3=(x—2)2-1

「?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)

(2)解：vy=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1

對(duì)稱軸為x=2加，函數(shù)圖象開(kāi)口向上

,.t2加-3WxW2m+1

2m-(2m-3)=3,(2m+1)-2m=1

當(dāng)x=2加—3時(shí)，V取最大值4

4=(2m-3-2w)2-4m2+2m+1

3

解得加=/,m=-\

(3)解：當(dāng)x=0,y=2m+\

當(dāng)x=1時(shí)，y=-2m+2

當(dāng)交點(diǎn)在線段CM之間時(shí)，當(dāng)2加+1>0時(shí)，-2m+2<0

解得加>1；

當(dāng)2根+1<0時(shí)，-2m+2>0

解得加<一(；

2

綜上，別>1或加<一工.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)與

線段的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=/+/+。(b,c是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)2(3,0),動(dòng)點(diǎn)尸在

拋物線上，其橫坐標(biāo)為根.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P到v軸的距離小于3,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍；

(3)若拋物線位于點(diǎn)尸右側(cè)(包含點(diǎn)尸)部分的函數(shù)值最小為2-加，求加的值.

【答案】(l)y=x-x+3

(2)-1<y<24

3+V5

(3)加的值為

2

【分析】(1)將4(1,0),3(3,0)代入了=/+笈+。，列方程組并且解該方程組求出/,、C的值，即可求得拋

物線的解析式為y一4X+3；

(2)設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為V,由y工2—4x+3=歹=(x-2)2-1,求得拋物線的頂點(diǎn)為(2,-1),對(duì)稱軸為直線X=2,

因?yàn)槭?加，加2—4加+3)在拋物線上，點(diǎn)尸到V軸的距離小于3,所以-3＜加＜3,而-3＜2＜3,所以當(dāng)加=2

時(shí)，歹最小=T;若加=-3,貝獨(dú)=24；若根=3,則k0,可知”24,即可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取范圍是

-l<y<24.

(3)分兩種情況,一是當(dāng)成＜2時(shí)，了最小=T,則=-1;二是當(dāng)機(jī)三2時(shí)，歹最小=病一4加+3,則

m2-4m+3=2-m,解方程求出符合題意的加值即可.

【詳解】(1)解：??,拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(L。),8(3,0),

l+b+c=0b=-4

9+36+c=0'解得

c=3

拋物線的解析式為y=x2-4x+3；

(2)解：如圖1,設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為九

圖1

拋物線的頂點(diǎn)為(2,-D,對(duì)稱軸為直線x=2,

???點(diǎn)尸動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，其橫坐標(biāo)為加，

/.P(m,m2—4m+3),

:點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離小于3,

:.—3<m<3,

-3<2<3,

二.當(dāng)加=2時(shí)，y最小-1.

若根=—3,貝!|尸(一3-2)2-1=24；

若加=3,則y=(3_2)2_l=0,

y<24,

點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)的取范圍是TVy<24；

（3）解：如圖2,當(dāng)機(jī)<2時(shí)，丁最小=T,

圖2

解得加=3（不符合題意，舍去）；

如圖3,當(dāng)機(jī)22時(shí)，y最小=m2-4m+3,

圖3

解得叫=士手，叫（不符合題意，舍去），

綜上所述，加的值為21.

2

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸

的求法、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題.

5.如圖，拋物線了=-/+6x+c與x軸交于43兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），其中8（3,0）,與y軸

相交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)￡.點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖所示，點(diǎn)尸是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸尸1CE,求尸尸的最大值.

【答案】(l)y=—x2+2,x+3

(2”=段時(shí)，尸廠有最大值，最大值為名的

28

【分析】本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)，一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定

與性質(zhì)，準(zhǔn)確表示尸尸，利用構(gòu)造平行線，三角形相似，確定滿足條件的尸點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)過(guò)P點(diǎn)作尸?！溯S交直線CE于。，求出E(1,O),C(0,3),得出C￡=JHL求出直線CE的解析式,

設(shè)尸”,一〃+2力+3卜0</<3),則。(/,-3f+3),表示出產(chǎn)。=-「+5人證明根據(jù)相似三角

5-Vw

形的性質(zhì)得出尸尸=-即可求解.

-8-

【詳解】(1)解：由拋物線了=-/+樂(lè)+。過(guò)點(diǎn)/(TO)及8(3,0)得,

J-1-ZJ+C=0

[-9+36+。=0

仍=2

解得。.

故拋物線為尸-犬+2%+3；

(2)解：過(guò)P點(diǎn)作尸?！▂軸交直線。石于。，如圖,

yt

?.?/(TO),3(3,0),

.”(1,0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=-x2+2x+3=3,

.-.C(0,3).

:.CE=A/12+32=V10.

設(shè)直線CE的解析式為y=mx+n,

把“。,3)倒1,。)代入得\：，0，

fm=-3

解得2，

[n=3

???直線CE的解析式為y=-3x+3；

設(shè)P(t,-I?+2/+3,0<￡<3),則D(%,—3,+3),

:.PD=—r+2/+3—3/+3)=—r+5t.

?「PF工CE,

ZPFD=90°.

???PD//OC,

ZPDF=ZOCE.

...LPDFsAECO.

PFPD目產(chǎn)-t2+5t

:?礪=花’即丁=飛「

“一嗎巫

1012)8

當(dāng)時(shí)，尸產(chǎn)有最大值，最大值為名整.

28

壓軸題型三二次函數(shù)的平移問(wèn)題

1.如圖，拋物線了=--14x+45與x軸交于點(diǎn)A、B,把拋物線在x軸及其下方的部分記作G，將G向左

平移得到a,a與x軸交于點(diǎn)8、D,若直線y=x+左與G、G共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則上的取值范圍是

()

n

o

A.-----<k<—5B.—5<<—1C.—9(左<—5D.------<k<-5

44

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，圖像的平移，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并

畫(huà)出圖形利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意先求出點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)，然后求出G解析式，分

別求出直線V=x+左與拋物線G相切時(shí)左的值以及直線V=x+左過(guò)點(diǎn)3時(shí)左的值，結(jié)合圖形即可得到答案.

【詳解】解：；拋物線歹=%2-14x+45與X軸交于點(diǎn)A、B

.13(5,0),4(9,0)

文:M?^J^=X2-14X+45=(X-7)2-4

拋物線向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度

，平移后解析式>=(x-3『-4

當(dāng)直線V=x+左過(guò)2點(diǎn)，有2個(gè)交點(diǎn)

0=5+左

/.k=-5

當(dāng)直線>=x+左與拋物線c2相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)

x+左=(x-3)--4,

即x2-1x+5-k=0

?.,直線>=x+左與拋物線G相切

A=49-20+4A;=0

故選：D.

2.二次函數(shù)了=/-2%-3的圖象與x軸交于點(diǎn)48（A在8的左側(cè)），將該函數(shù)圖象向右平移加（加＞0）個(gè)

單位后與x軸交于點(diǎn)（C在。的左側(cè)），平移前后的函數(shù)圖象相交于點(diǎn)E,若N/E0=9O。，則加的值

為.

【答案】2或6

【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由題意先求出/（T,0）,8（3,0）,再求出

C（-l+m,0）,Z＞（3+m,0）,根據(jù)對(duì)稱性表示出點(diǎn)E坐標(biāo)并代入表達(dá)式計(jì)算即可，注意分情況討論.

【詳解】解：由題意，令y=x2-2x-3=0,

/.再=—l,x2=3,

/（TO）,8（3,0）,

將該圖象向右平移加（加＞0）個(gè)單位后與x軸交于點(diǎn)C,D（C在。的左側(cè)），

C（-l+m,0）,Z）（3+m,0）,

由題意得，平移前后的函數(shù)圖象相交于點(diǎn)E,若44￡。=90。,

當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，如下圖：

一，”，，，，-、，13+m+4?-l+zw+3m+2

，E點(diǎn)縱坐標(biāo)為—/。=-------=-----,橫坐標(biāo)為一--=——

22222

?.?E點(diǎn)在二次函數(shù)了=x?-2x-3的圖象上，

(m+2\-m+2.m+4

--------2x-------------3=-------,

解得：m,=6,m2=-4（不合題意舍去）;

當(dāng)點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，

m+4

同理：E點(diǎn)縱坐標(biāo)為-——,

解得：m,=2,m2=-4（不合題意舍去）；

故答案為：2或6.

3.已知拋物線乙的解析式為了=-/+2加x+a（僅，〃為常數(shù)）.

（1）若拋物線￡的頂點(diǎn)在第四象限，且為=-/+2/一1,求〃z的取值范圍；

（2）若拋物線工經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,1）,將拋物線工經(jīng)過(guò)平移后得到拋物線S,點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。（17,2羽），其中

t>l.拋物線仍然經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，求加的最小值.

【答案】（1）0（加<；

⑵切3=1

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，解不等式組，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)將拋物線乙的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)在第四象限，且〃=--+2利-1可得到

關(guān)于比的不等式組，求解即可；

(2)根據(jù)拋物線￡的解析式為了=-f+2必+〃過(guò)點(diǎn)尸(1,1),得到〃=-2爪+2,則拋物線￡的解析式可化

2

為y=-(x-"if+(W-1)+1,根據(jù)平移得到拋物線S的解析式為y=-(x-加+廳+蘇+1,又由拋物線S過(guò)

點(diǎn)尸(1,1),可得1=-(1-加+/)2+/+1,整理并結(jié)合此1即可求的加的最小值.

【詳解】(1)解：,拋物線乙的解析式y(tǒng)=-/+2加x+〃=-(x-加7+機(jī)2+〃，

???拋物線Z的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(私〃/+〃)，

???頂點(diǎn)在第四象限，

[m>0

'[m2+〃<0，

???n=—m2+2m—l，

???m2+n=m2—m2+2m—1=2m—1,

fm>0

不等式化為。.

[2加一1<0

解得：0<加<；.

(2)解：??,拋物線]的解析式為歹=-工2+2加x+〃過(guò)點(diǎn)尸(1,1),

1=—l+2m+n,

???n=-2m+2,

22

???拋物線L解析式y(tǒng)=_(%-機(jī)J+加2+a=_(1_加丫+機(jī)2一2m+2=-(x-m)+(m-l)+1,

,點(diǎn)尸(1,1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。(IT,2加)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，

可知拋物線向左平移t個(gè)單位后向下平移(1-2m)個(gè)單位，

???拋物線L平移后對(duì)應(yīng)的拋物線S的解析式為y=-(x-m+f)2+(m-l)2+l+2m-l,

即y=—(x—%+僅2+1,

??,拋物線S過(guò)點(diǎn)

/.1=—(1—m+Z)2+m2+1,

整理得：2機(jī)(2+1)=?+l)2,

-：t>\,

^+11+11

/.m=----->-----=I,

22

???m的最小值為m=l.

4.已知拋物線4：y=-與〉軸交于點(diǎn)C,與X軸交于4-4,0)，5(1,0)兩點(diǎn).

⑴求拋物線4的函數(shù)解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）平移拋物線乙得到拋物線右，拋物線右經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與x軸交于〃，N（3,0）兩點(diǎn)，連接。5,CN.點(diǎn)尸

是拋物線右上的點(diǎn)，連接PN,若/PNC=/BCN,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

Q9

【答案】（1）了=亨-3+3,C（0,3）

（2）點(diǎn)尸的坐標(biāo)為件1）或卜■!，!!）

【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與角度問(wèn)題，二次函數(shù)的平移；

3

（1）把4一4,0）,8（1,0）代入V=-x2++c計(jì)算即可；

4

（2）先求出拋物線4的解析式和3C所在直線的函數(shù)解析式，再根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)尸在CN上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)尸在

CN下方時(shí)兩種情況分別畫(huà)出圖形后計(jì)算即可.

3

【詳解】⑴解：把4-4,。）,地,。）代入尸丁+鵬中，得

3

——xl6-4b+c=0

4

解得

3

——+6+。=0

4

9

b

解得4

。=3

39

???拋物線A的解析式為y=-_%+3.

令x=0,則y=3,

/.C(0,3).

(2)解：?.?平移拋物線乙得到拋物線右，拋物線右經(jīng)過(guò)點(diǎn)G

???設(shè)拋物線k的解析式為V=-、/+NX+3,

35

將點(diǎn)N(3,0)代入y=--x2+mx+3,解得m=~,

44

35

???拋物線右的解析式為歹=-：尤2+1+3.

設(shè)8c所在直線的函數(shù)解析式為》=履+6,

10=左+6[左=—3

將C(0,3),2(1,0)代入得，解得八2

[3=6[o=3

???BC所在直線的函數(shù)解析式為＞=-3X+3,

①當(dāng)點(diǎn)尸在CN上方時(shí)，將8c沿x軸向右平移2個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)3與點(diǎn)N重合，得到線段N。，則ND所

在直線的函數(shù)解析式為V=-3(x-2)+3=-3x+9,

設(shè)N?所在直線與拋物線4的另一交點(diǎn)為4，

由平移的性質(zhì)可得，BC〃ND,

NNCB=NCNP\,

352

2

令—3x+9=—xH—x+3,解得再=3(舍)，x2=—,

443

yt

、D

A

OJ#x

Li

/2

②當(dāng)點(diǎn)P在CN下方時(shí).取GV的中點(diǎn)E,連接OE,OE交BC干點(diǎn)F,連接NF并延長(zhǎng)交拋物線右于點(diǎn)

E，

C(O,3),2V(3,O),

33]

:.ON=OC,E

2,2J，

...qcN是等腰直角三角形，OE所在直線的函數(shù)解析式為y=X,

.,.0E是CN的垂直平分線,

FN=FC,

ZP2NC=NBCN,

3

令y=x=_3x+3,解得x=：,

4

33]

:.F

設(shè)NF所在直線的函數(shù)解析式為y=4x+4,

133

33_=_^+b

將尸,N(3,0)代入得441L解得＜

4,4

0=3左+4A=i

???NF所在直線的函數(shù)解析式為y=-gx+l.

2

4-jx+l=-^x+^x+3,解得玉=3(舍)，x4=-|

8或一修?

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

5.綜合與探究:

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ox2-2x+c與x軸交于點(diǎn)/(-3,0)和點(diǎn)C,與歹軸交于點(diǎn)B(0,3),

點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)A,點(diǎn)C).

(1)求拋物線的解析式；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線上，且在直線N2上方，求ANB尸面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將該拋物線向右平移2.5個(gè)單位，點(diǎn)廠為點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與，軸交于

點(diǎn)、E,。為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，若明是以為腰的等腰三角形，求出所有符合條

件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴P=-xJ2X+3；

(2)最大值為1,P315

25T

’37+2而1J37-2布)

⑶匕或自「

【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，即可.

(1)把點(diǎn)A,8的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可；

(2)設(shè)直線N8的解析式為、=履+6,根據(jù)點(diǎn)A,3的坐標(biāo)求出解析式，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)

H,求出陽(yáng)，根據(jù)S-B=；XP，X/O,即可；

(3)根據(jù)函數(shù)平移的性質(zhì)，則平移的函數(shù)解析式：J^=-(X-1,5)2+4,根據(jù)點(diǎn)尸為點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)，平移后的拋物線與，軸交于點(diǎn)E,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,求出。片=：+［羽

0k=3+［加-春),EF2=5,分類討論等腰三角形的形狀，即可.

【詳解】(1)???拋物線經(jīng)過(guò)工(-3,0),6(0,3),

J9Q+6+C=0

[c=3

[a=—\

解得：I,

[c=3

???拋物線的解析式為：＞=-——2X+3.

(2)設(shè)直線的解析式為丁=履+6,

??,直線經(jīng)過(guò)(-3,0),(0,3)

J-3左+b=0

,\b=3

???直線的解析式為夕=%+3,

過(guò)點(diǎn)尸作》軸的垂線交45于點(diǎn)〃，設(shè)尸(工一——2x+3),

.-.7/(x,x+3),

/.PH=_12—2x+3-(x+3)=_%2—3x,

.??△%5P面積=LXPHX/O,

2

,01/23293(3?27

=

??SARP=-xI—x—3x)x3=—x—x—xH—H----,

"由2''22212J8

327

.??當(dāng)、=-彳時(shí)，△as尸面積最大值為營(yíng)，

2o

(3)拋物線整理得：J=-X2-2X+3=-(X+1)2+4,

???平移后的拋物線表達(dá)式為：y=-（x-1.5）2+4,

315

點(diǎn)尸為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

PP25T

???點(diǎn)外《

???平移后的拋物線與，軸交于點(diǎn)E,

7

??.當(dāng)x=0時(shí)，y=-(x-1.5)9+4=—,

■:點(diǎn)小q}

設(shè)點(diǎn)Q（1.5,加）,

2

,9i，o產(chǎn)=;+15

：.QE2=-+m--I--,-EF2=5,

4

o15:9

當(dāng)。￡=。尸時(shí)，則2+m-l+m--I--，-解得：=

4144

???點(diǎn)0的坐標(biāo)為:Id］；

927±2而

當(dāng)?！?麻時(shí)，則5=2+m-lI,解得:m=-----------

44

；57±2E

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為:

?，"4

檢驗(yàn)得點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)尸三點(diǎn)不共線.

’37+2而'(37-

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為:或廠或

壓軸題型四二次函數(shù)的翻折問(wèn)題

1,函數(shù)V=|辦2+bx+c\^a>0萬(wàn)一4碇>0）的圖象是由函數(shù)歹=ax2+bx+c（a>0,b2-4ac>0）的圖象x軸上

方部分不變，下方部分沿X軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

①2a+6=0；②c=3；③/c>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線>=5有3個(gè)交點(diǎn).

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出對(duì)稱軸為-3=1,進(jìn)而可得2a+b=0,故①正確；由函

數(shù)圖象與了軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),>="2+云+4。>0/2-4℃>0)的圖象》軸上方部分不變，下方部

分沿x軸向上翻折而成可知c=-3,故②錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸求出6<0,進(jìn)而可得a6c>0,故③正確；求出

翻折前的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確.

【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：y=a/+6x+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一1和3,

???對(duì)稱軸為x=^^=l,即一二=1,

22a

.?.整理得：2a+6=0,故①正確；

?.?>=|辦2+歷:+](。>0,62-4℃>0)與32軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),

y="2+bx+c(a>0)可知，開(kāi)口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿x軸向上翻折而成，

??.c=-3,故②錯(cuò)誤；

y=ax2+bx+c(a>0,b2-4ac>0)中a>0,---=1,

'2cl

又?；c=?3V0,

abc>0,故③正確；

設(shè)拋物線了=—+6x+c的解析式為了=a(x+l)(x-3),

代入(0,3)得：3=—3a,

解得：a——1,

???y=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

,點(diǎn)（1,4）向上平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為（1,5）,

.??將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線了=5有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵.

2.函數(shù)|辦*+bx+c\^a>Q,b2-Aac>0）的圖象是由函數(shù)y=辦a+6x+c（cz>0,/-4ac>0）的圖象、軸上方

部分不變，x軸下方部分沿龍軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

①2a+b=0；②c=3；③。兒>0；④3a+c=0；⑤將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn).

【答案】①③④⑤

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).根據(jù)圖象判斷出對(duì)稱軸的位置，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸公

式》=-二，即可得到2a+6=0,故①正確；由圖象可判斷二次函數(shù)了="2+加+。與了軸的交點(diǎn)為

（0,-3）,即c=-3,故②錯(cuò)誤；根據(jù)圖象判斷b<0,結(jié)合。=-3,可知仍c>0,故③正確；當(dāng)x=-l

時(shí)，N=0,結(jié)