2024-2025學(xué)年滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)：因式分解（5大題型）（30道壓軸題專練）解析版

因式分解(5大題型)(30道壓軸題專練)

壓軸題型一運(yùn)用公式法分解因式壓軸題

1.已知仇。滿足a2+26=7,〃-2c=-l,c2-6a=_i7,則a+b-c的值為()

A.1B.-5C.-6D.-7

【答案】A

【分析】三個式子相加，化成完全平方式，得出。，①。的值，代入計算即可.

【詳解】解：???/+2b=7萬2=—1,/一6〃=—17,

(a2+2b)+(b2-2c)+(c2-6a)=7+(-1)+(-17),

a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11

(a2-6a+9)+(爐+2b+l)+(c2-2c+l)=0,

J(a?3)2+(6+1)2+(c-1)2=0

.*.?-3=0,6+1=0,c-l=0,

/.tz+Z?-c=3-1-1=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值和完全平方公式，解題關(guān)鍵是通過等式變形化成完全平方式，根據(jù)非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)求出。，仇。的值，準(zhǔn)確進(jìn)行計算.

2.將多項(xiàng)式辦2+bx+c("0)變形為a(x+加)？+"的形式，這樣的方法叫做配方法.利用配方法和非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)可以求出多項(xiàng)式的最大(小)值.例如：X2-4^-5=X2-4X+22-22-5=(X-2)2-9,

???(X-2)2N0,二(x-2『-9N-9,.,.當(dāng)x=2時，多項(xiàng)式，-4x-5有最小值-9.

已知。，6為實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式(x+3)(3x+a)展開后x的一次項(xiàng)系數(shù)為加，多項(xiàng)式(3x+2)(x+6)展開后x的一

次項(xiàng)系數(shù)為"，且〃z,〃均為正整數(shù)，則當(dāng)加+”=17時，濡的最大值為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)題意得出

m=a+9,n=3b+2,進(jìn)而根據(jù)切+〃=17,可得。=6-36,然后得出，根據(jù)配方法，即可求解.

【詳解】解：V(x+3)(3x+tz)=3x2+(a+9)x+3o

m=a+9,

*.*(3x+2)(x+6)=3x2+(36+2)%+26

n=3b+2

Vm+?=17

???々+9+36+2=17

二〃二6-3b

ab=(6-36)6=-3b2+6b

=-3僅2-26+l)+3

=-3(/>-l)2+3

V-3(ft-1)2<0

A-3(ZJ-1)2+3<3

.,.當(dāng)6=1時，必的最大值為3,

故答案為：3.

3.19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲?熱門給出了一種分解因式/+4的方法：他抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平

方和(犬y+22的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2,隨即將此項(xiàng)41減去，即可得

/+4=X4+4X2+4-4X2=(X2+2)2-4x2='+2『一(24=(x2+2x+2)(x2-2x+2),人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲?熱

門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”.

根據(jù)以上方法，把下列各式因式分解：

4

(l)4x+/;

(2)a2-4am-n2+4mn-

【答案】⑴(2x2+/+2町)(2一+/一2孫)；

(2)(a-?)(?-4m+〃).

【分析】(1)根據(jù)蘇菲?熱門的做法，將原式配上4d/后，根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可進(jìn)行因式分

解；

(2)先分組，再利用提公因式法因式分解.

【詳解】(1)^=4x4+y4+4x2y2-4x2y2

=（2x2+^2）2-4xy

=(lx1+r+2中)(2x2+y2-2孫)；

(2)=-4am+4m2-4m2—n2+4mn

=-4am+4w2)-^4m2+n2-47〃〃)

=(a-2，〃)~一(2加一”)~

=^a-2m+2m-n^a-2m-2m+n^

=(a-〃)(a-4〃z+").

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，理解蘇菲?熱

門的做法是正確進(jìn)行因式分解的關(guān)鍵.

4.閱讀材料：我們把多項(xiàng)式/+2仍+〃及+叫做完全平方式.如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式,

我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不

變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多

項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等?例分解因式：

Y+2x—3=(/+2x+l)—4=(x+l)2—4=(x+l+2)(x+l—2)=(x+3)(x—1)；又例如：求代數(shù)式2丁+4x—6的

最小值：2%2+4%—6=2(%2+2%—3)=2(x+l)2—8；又:(x+l)2》0；.,.當(dāng)％=—1時，2—+4%—6有最小值，

最小值是-8.

根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：

⑴分解因式：a2-4a-5-;

⑵已知△4BC的三邊長。、b、c都是正整數(shù)，且滿足/-4a+62T26+40=0求邊長c的最小值；

(3)當(dāng)X、了為何值時，多項(xiàng)式--+2工了-2/+6了+7有最大值？并求出這個最大值.

【答案】⑴(。+1)("5)

⑵5

(3)x=y=3時，最大值為16.

【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將/一公-5變形為1-4.+4-9,再根據(jù)完全平方公式寫成（。-2）2-9,

然后利用平方差公式分解即可；

（2）根據(jù)配方法得出兩個完全平方式，再根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)的和為0時，每一部分為0可得a,6的值，最

后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得。的取值范圍和最小值；

（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得到當(dāng)X、了為何值時，所求

式子取得最大值，并求出這個最大值；

【詳解】（1）解：原式=1-4°+4-9

=（a-2）2-9

=(a-2+3)(a-2-3)

=(Q+l)(a-5)；

故答案為：(?+1)(?-5)

(2)va2+b2-4a-12b+40=0,

.?.(/-4a+4)+,2-126+36)=0,

(G-2)2+(Z>-6)2=0,

[a—2=0[a=2

|7r八解得：]7w,

[p-6=0[/?=6

???。、b、。是△45。的三邊長，

/.4<c<8,

又???c是整數(shù),c=5,6,7；

???邊長。的最小值是5；

(3)-x?+-2y之+6y+7

=-卜2―2孫+,2)_(,2_6y+9)+9+7

=_(x_y)2-(y-3)2+16,

?.?(x-y)2>0,(j-3)2>0；

-{x~yY-(j；-3)2+16<16,

[x-y=0..

二當(dāng)？c時，即x=y=3時，一一+2盯一2/+6了+7取得最大值為16.

口一3=0

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意配方法的步驟.注意在變形的過程中

不要改變式子的值.

2

5.(1)填空：a+6a+=(。+＞；

(2)閱讀，并解決問題：分解因式(。+6)2+2(。+6)+1

解：設(shè)a+b=x,貝！]原式=x2+2x+1=(x+1)-=(a+6+l)~

這樣的解題方法叫做“換元法”，即當(dāng)復(fù)雜的多項(xiàng)式中，某一部分重復(fù)出現(xiàn)時，我們用字母將其替換，從而簡

化這個多項(xiàng)式，換元法是一個重要的數(shù)學(xué)方法，不少問題能用換元法解決.請你用“換元法”對下列多項(xiàng)式進(jìn)

行因式分解：

①(W+”)2-14(m+〃)+49

②-4x+2)(x?-4x+6)+4

【答案】(1)9,3；(2)①("+"-7)2,②(X-2)4

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)換元法設(shè)加+〃="根據(jù)完全平方公式可得結(jié)論；

②先將原式x2—4x看作整體，根據(jù)換元法設(shè)N—4x=a,化簡，再根據(jù)完全平方公式可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)/+60+9=(。+3)2,

故答案為9,3；

(2)①(加+〃)2-14(加+〃)+49,

設(shè)+則原式=--]4X+49=(X-7)2=(m+n-7)2；

②(x2-4x+2)(x?-4x+6)+4,

x?—4x=u，

(x?-4X+2)(X2-4X+6)+4

=(q+2)(a+6)+4

=a2+8。+16

=(.+4)2

=-4x+4)2

=(x-2)4.

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法和換元法分解因式，掌握數(shù)學(xué)中的換元思想，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

6.小王同學(xué)在學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)課后輔導(dǎo)時，聽老師在講完乘法公式((?！?)2=1±2而+廿的多種運(yùn)用后,

要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式爐+以+5的最值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答

方法:

解：x?+4x+5=x?+4x+4+l=(x+2)~+1,

(x+2)2>0

/.當(dāng)x=-2時，(x+2)2值最小，最小值是0.

.-.(X+2)2+1>1

當(dāng)(x+2)2=0時,(x+2)?+l的值最小，最小值是1.

/.當(dāng)》=-2時，V+4X+5的最小值是1.請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：

⑴當(dāng)x=_時，代數(shù)式一一2x+3有最小值，最小值是「

⑵若少=4+4》+9此時少有_值(填“最大’或"最小”)，即當(dāng)x=_時，Wam=_.

⑶若*+5尢+了-3=0,則y+》=_(用含尤的代數(shù)式表示),請求出J+X的最值.

【答案】(1)1;2；

(2)大，2,13

⑶f一以+3,當(dāng)x=2時，丁+龍的最小值為一1；

【分析】本題考查的是利用完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)；

(1)由f-2x+3=(x-l)2+2,再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；

(2)由少=-/+4X+9=-(X-2)2+13,再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；

(3)由一f+5x+y-3=0可得y+x=x?-4x+3,結(jié)合x?-4x+3=(x-2)~-1,再進(jìn)一步解答即可;

【詳解】(1)解：x~—2x+3=(x-1)+2,而(x—1)+2>2；

.?.當(dāng)x=l時，有最小值2；

(2)解：VJF=-X2+4X+9=-(X-2)2+13,ifff-(x-2)2+13<13：

.?.當(dāng)x=2時有最大值13；

故少=一一+4》+9有最大值，當(dāng)x=2時，最大值為13.

(3)解：—%2+5x+jv—3=0;

y+x=x2-4x+3,

222

VX-4X+3=(X-2)-1,M(X-2)-1>-1:

.?.當(dāng)x=2時，y+龍的最小值為一1；

壓軸題型二因式分解與幾何圖形相關(guān)壓軸題

1.邊長為。的正方形N8CO與邊長為6的正方形DE/G按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)D,G在同一直線

上.已知a+b=12,ab=22.則圖中陰影部分的面積為（）

A.28B.39C.61D.68

【答案】B

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，先根據(jù)

S陰影—+S口DEFG-S"BC-S"GF用代數(shù)式表示陰影部分的面積，再利用公式變形后，代入a+b=12,

ab=22計算即可.

【詳解】解：由圖可知：S陰影=5口ABCD+S口DEFG-^ABC-SAGF'

?.?正方形48。邊長為0,正方形DMG邊長為b,

S陰影=a2+b2-^a2-^[a+b)b,

=-a2-—ab+—b2,

222

=2+2ab+b?-3ab),

將〃+b=12,ab=22代入得:

1X(122-3X22)=39,

故選：B.

2.甲、乙兩個大小不一樣的正方形按如圖所示的兩種方式放置.AB=a,CD=b,記圖①中的陰影部分面

積為圖②中的陰影部分面積為邑.

【答案】20||

【分析】（1）根據(jù)已知條件得到乙正方形的邊長為。-6=2,于是得到結(jié)論；

45

（2）根據(jù)陰影部分的面積可得2a（a-6）=2/_2而=7,/-6）7一=-62=彳，兩式相除得到a、b

的關(guān)系，再代入求解即可.

【詳解】解：（1）；a=5,b=3,

，乙正方形的邊長為a-6=2,

=2x5x2=20,

故答案為：20；

（2）：8=7,

??2〃（ci—b）=2/2ab=7,

??s=竺

*24'

a2一（a-6『=2ab-b。=~~

.E=2〃2—2以一28

2

**S22ab-b45

整理，得454—73a6+14/=0,

即（5Q-7b）（9a-2b）=0,

，5〃-7b=0或9〃-2b=0,

7?

a=-b^a=-b（舍去）

.ab_75_24

??%~a~~57-35,

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式與幾何圖形的面積以及因式分解，正確理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的

關(guān)鍵.

3.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，借助圖形可以對很多數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋.如圖1,

有足夠多的邊長為。的小正方形，長為6、寬為。的長方形以及邊長為b的大正方形.

b

___b

a||ab

a

A類B類C類

圖1

利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式，例如圖2可以解釋整式乘法:

（2a+&）（?+/?）=2（?2+3ab+b2,也可以解釋因式分解：2a?+346+6。=（2a+6）（。+6）.

（1）若用4個8類材料圍成圖3的形狀，設(shè)外圍大正方形的邊長為x,內(nèi)部小正方形的邊長為觀察圖案,

指出下列關(guān)系式中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

2222

@a+b=x；?（x-yX=2a1；?ab=-———；@b~=a'+xy；⑤/+/=x+J.

4-2

（2）若取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為31+5勘+2〃，在虛框中畫出圖

形，并根據(jù)所畫圖形，將多項(xiàng)式31+5a6+2/分解因式為.

（3）若取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為4a?+儂；6+56?則用的值為

.（直接寫出結(jié)果）

【答案】（1）①③④⑤

⑵畫圖見解析，(3a+6)(a+26)

(3)9或21或12

【分析】本題考查整式乘法與圖形面積的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圖形表示出兩個正方形邊長與6的關(guān)系x=b+a、y=b-a,結(jié)合面積加減計算逐個判斷即可;

(2)根據(jù)整式得到兩個大正方形、兩個小正方形、五個長方形，然后畫出圖形即可解答；

(3)根據(jù)因式分解平方項(xiàng)湊長寬展開求解即可解答.

【詳解】(1)解：由圖形可得，x=b+a,y=b-a,故①正確，

/.(x-j)2={b+a-b+a^=4tz2,即②錯誤：

2_2

由圖形可得，4ab=x2-y2,即仍=土二匕，即③正確；

4

x=b-\-a>y=b-a,

xy=b2-a2,即/二孫+。2,即④正確；

22

2222222

Vx+y=(a+Z>)+{b-a^=la+lb,a+b=^^,即故⑤正確.

故答案為：①③④⑤.

(2)解：由題意可得，圖形如圖所示，

3a1+5ab+2b2=(3Q+26)(Q+Z)).

故答案為：(3〃+2?(〃+b).

(3)解：由題意可得，

①當(dāng)4a2+mab+5b2=(4〃+56)(〃+b)=4a2+9ab+5b2,m=9,

(2)^4a2+mab+5b2=(4?+ft)(tz+5Z?)=4a2+2\ab+5b2,m=21,

③當(dāng)4a2+mab+5b2=(2。+6)(2。+56)=4a2+l2ab-^-5b2,m=12.

故答案為：9或21或12.

4.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分

家萬事休.”可見，數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)上發(fā)揮著重要的作用.在一節(jié)數(shù)學(xué)活動課

上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘.

情境一如下圖，甲同學(xué)將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含。、。的式子分別表示

圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；

情境一

ba

圖1圖2

情境二乙同學(xué)用1塊A木片、4塊8木片和若干塊C木片拼成了一個正方形，請直接寫出所拼正方形的邊長

(用含。、。的式子表不),并求所用C木片的數(shù)量;

情境二

情境三丙同學(xué)聲稱自己用以上的A,B,C三種木片拼出了一個面積為2/+7浦+4〃的長方形；丁同學(xué)認(rèn)

為丙同學(xué)的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長方形.

你贊同哪位同學(xué)的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應(yīng)的圖形.(要求：所畫圖形的長、

寬與圖樣一致，并標(biāo)注每一小塊的長與寬).

22

【答案】情境一：(a+b)(a-b)=a-b;情境二：所拼正方形的邊長為。+26,所用C木片的數(shù)量為4：

情境三：贊同丁同學(xué)的說法，該情況下所拼長方形的長為2a+46,寬為a+b,長方形如圖

【分析】情境一：設(shè)等腰梯形的高為人，可求人=?，分別表示出圖1和圖2的面積，即可求解；

情境二：可得/+406+機(jī)62,由拼成了一個正方形可得，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；

情境三：能構(gòu)成長方形，貝U21+7必+4/要能進(jìn)行分解，故去掉1個團(tuán)后即可進(jìn)行因式分解，從而可求解.

【詳解】解：情境一

如圖，設(shè)等腰梯形的高為〃，

:.2h+b=a,

,a-b

h=------

2

???圖1的面積：S1=4xg(a+6)x-

二(Q+b)("b),

12

圖2的面積：S2=a-b,

f=$2，

(q+6)(q—b)=q--b~,

故可得到的乘法公式為：（。+6）（。-?=/-〃；

情境二

a+4ab+mb2，

???拼成了一個正方形，

當(dāng)〃?=4時，

a1+4ab+4b2=（a+26）一，

二所拼正方形的邊長為。+26,所用C木片的數(shù)量為4：

情境三

贊同丁同學(xué)的說法；

去掉1個C以后，

2a2+6ab+4b2

=（a+6）（2a+46）,

該情況下所拼長方形的長為2a+4b,寬為a+b,

長方形如圖：

bbbb

aaaa

bbbb

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的幾何意義，等積轉(zhuǎn)換，掌握等積轉(zhuǎn)換的方法

是解題的關(guān)鍵.

5.有足夠多的長方形和正方形卡片（如圖1）,分別記為1號，2號，3號卡片.

n\T\n\3"|

nm

圖1圖3

（1）如果選取4張3號卡片，拼成如圖2所示的一個正方形，請用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用

含用，〃的式子表示）.

方法1：.

方法2：.

(2)若|。+6-6|+卜6-4|=0,求(a-9?的值.

（3）如圖3,選取1張1號卡片，2張2號卡片，3張3號卡片，可拼成一個長方形（無縫隙不重疊），根技圖

形的面積關(guān)系，因式分解：+3""?+2〃2=.

【答案】（1）（加-〃）2,+-4mn

（2）20

⑶（〃?+2"）（機(jī)+7?）

【分析】（1）從“整體”和“部分”兩個方面分別表示陰影部分的面積即可；

（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的定義可得a+b=6,ab=4,再根據(jù)（0-6）2=（0+6）2-4仍進(jìn)行計算即可；

（3）求出所拼成的長方形的長、寬以及總面積即可.

【詳解】（1）①方法1：圖2中陰影部分是邊長為（"-"），因此面積為（優(yōu)-

方法2：圖2陰影部分也可以看作從邊長為（，〃+〃）的正方形減去4個長為加，寬為〃的長方形面積，因此有

(加+〃)2—4mn；

故答案為：(加(m+n)2-4mn

(2)\*\a+b-6\+\ab-4\=0,\a+b-6\>0,\ab-4\>09

*.*a+b-6=0,4b—4=0,a+b=6,ab=4,

=(a+6)2-4就=36-16=20.

(3)1張1號，2張2號，3張3號卡片的總面積為m2+2/+3加〃，

而1張1號，2張2號，3張3號卡片可以拼成長為(%+2〃)，寬為(，"+〃)的長方形,

故答案為：("+2")(〃?+").

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是關(guān)鍵.

6.材料：對一個圖形通過兩種不同的方法計算它的面積或體積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式.

(1)如圖1,將一個邊長為。的正方形紙片剪去-一個邊長為b的小正方形，根據(jù)剩下部分的面積，可得一個

關(guān)于用b的等式：.

圖1

請類比上述探究過程，解答下列問題:

(2)如圖2,將一個棱長為。的正方體木塊挖去一個棱長為6的小正方體，根據(jù)剩下部分的體積，可以得到等

式：a3-b3=,將等式右邊因式分解，即/一.

圖2

(3)根據(jù)以上探究的結(jié)果，

①如圖3所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù)...，按此規(guī)律拼疊到正方形"8。，其邊長為

19,求陰影部分的面積.

②計算：

AD

圖3

【答案】⑴/-^二⑺+粗吁“

(2)〃{^a-b^+ab^a-b^+b1(t7-Z7),(tz-Z>)(a2+ab+b2^

(3)①200②128

【分析】(1)利用兩種方法求出陰影部分的面積，即可得出結(jié)論；

(2)利用兩種方法求剩余的立方體的面積，即可得出結(jié)論；

(3)①根據(jù)整個陰影部分的面積等于各部分小陰影部分的面積之和，結(jié)合(1)中結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②

根據(jù)(2)中結(jié)論，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：:S陰影=/-/=(。+6)(。一?,

22

關(guān)于。，6的等式為：a-b=(a+b)(a-b),

故答案為：a2-b2=(a+b)(a-b).

(2)解：由題意，得：

a3-b3=a2(^a-b)+ab(^a-b)+b2(^a-b)=(4-6)(/+46+62)；

故答案為：a1^a-b^+ab^a—b)+b2^a—b^,^a—b^a~+ab+b~^?

(3)解：?S=192-172+152-132+---+72-52+32-l2

=(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+---+(3+l)(3-l)

=(19+17+15+13+….+3+l)x2

=200.

=2^22+2721)+(21-1)+(22-25/21)]

=2x(22+20+22)

=2x64

=128.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用.正確的識圖，利用兩種方法表示面積和體積，是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型三十字相乘法壓軸題

1.設(shè)二次三項(xiàng)式27+s+6可分解為兩個一次因式的乘積，且各因式的系數(shù)都是整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)

的個數(shù)為()

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】本題主要考查了利用十字相乘法分解因式，利用十字相乘法，即可確定〃?的值，進(jìn)一步即可求解.

【詳解】解:2=1x2,

6=lx6=2x3,

1x1+2x6=13,

lx6+2xl=8,

Ix3+2x2=7,

Ix2+2x3=8,

?.?各因式的系數(shù)都是整數(shù)，

.??滿足條件的整數(shù)"的個數(shù)為(2+2)x2-1x2=6.

故選：B.

2

2.通過計算幾何圖形的面積，可表示一些代數(shù)恒等式,如圖所示,我們可以得到恒等式：/+3ab+2b=

【答案】(a+2b)(a+b).

【分析】根據(jù)圖形中的正方形和長方形的面積，以及整體圖形的面積進(jìn)而得出恒等式.

【詳解】解：由面積可得：a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).

故答案為(a+2b)(a+b).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確利用面積得出等式是解題關(guān)鍵.

3.閱讀以下材料：

目前我們掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法.對于/+3X+2,它不是完全平方式，所以無法用

公式法進(jìn)行因式分解.現(xiàn)在介紹一種“湊數(shù)法”對此類代數(shù)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

第一步，因式分解是整式乘法的逆過程，》2+3工+2最高含有》的二次項(xiàng)，所以看作由("+b)(cx+d)得到；

第二步，去括號，((xv+6)(cx+d)=acx?+(a"+6c)x+6"和/+3x+2對比發(fā)現(xiàn)，

二次項(xiàng)系數(shù)為1,二次項(xiàng)由歐和％相乘得出，所以a=c=l(為了計算簡便，往往取整數(shù))；

第三步，繼續(xù)把Y+S+d)x+6d和x?+3x+2對比，發(fā)現(xiàn)6,4兩數(shù)之積為2,和為3,就不難湊出6=1,

d=2,檢驗(yàn)一下：a+l)(x+2)=，+3x+2,換個方向?qū)懢褪且蚴椒纸饬?

請使用上述方法回答下列問題：

(1)因式分解：

①x?-5x+6;

②2/+y-36；

(2)對關(guān)于x的多項(xiàng)式因式分解：mx2-(3m-l)x+Im-1.

【答案】⑴①(》-2)(》-3)②d)(2y+9)

(2)(x—1)(加x+1-2m)

【分析】本題考查了新定義“湊數(shù)法”因式分解，正確理解閱讀材料中的思維方法是解答本題的關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)閱讀材料中的待定系數(shù)法，通過比較待定系數(shù)，可湊得a=c=l,進(jìn)一步推理后又可湊得6=-2,

d=-3,即得答案；

②根據(jù)閱讀材料中的待定系數(shù)法，通過比較待定系數(shù)，可湊得。=1,。=2,進(jìn)一步推理后又可湊得6=-4,

d=9,即得答案；

(2)(ax+b\cx+d)=mx2-(3m-l)x+2m-1,貝|QCX?+=機(jī)/一(3加一i)%+2加一1,同樣可

2

先湊答案Q=1,c=m,代入關(guān)系式得加工2+(.+mb^x+bd=mx一(3加一l)x+2加一1,比較系數(shù)可得

d+mb=-(3機(jī)-1),bd=2m-].f針對b,d,可進(jìn)行討論，并逐一驗(yàn)證，可得6=-1,"=1-2加符合題意,

即得答案.

【詳解】(1)①由題意得，a=c=\,b+d=-5,bd=6,

所以可湊數(shù)b=-2,d=-3,

故——5%+6=(x-2)(%-3)；

②由題意得，ac=2,ad+bc=l,bd=-36,

所以可湊數(shù)。=1,。=2,

則d+26=l,bd=-36,

又可湊數(shù)b=-4,d=9,

故2/+y_36=Q_4)(2y+9)；

(2)設(shè)(ax+b)(cx+d)=mx2-(3m-l)x+2m-1,

貝ljacx2+(ad+bc)x+bd=mx2-(3m-l)x+2m-1,

湊數(shù)q=l,c=m,

mx2+(d+mb)x+bd=mx2-(3m-l)x+2m-1,

d+mb--(3m-1),bd=2m-1,

分四種情況討論：

當(dāng)b=l,〃=2加—1時，代入d+機(jī)6=-(3加一1),不成立，舍去；

當(dāng)6=2冽一1,2=1時，Ad+mb=—(3m—1),不成立，舍去；

當(dāng)6=-1,〃=1-2加時，Ad+mb=-(3m-1),成立，符合題意；

當(dāng)6=1-2加，〃二一1時，代入d+加6=-(3加一1),不成立，舍去；

所以只有6=-1,d=1-2m,

故mx2-(3m-l)x+2m-1=(x-l)(mx+1-2m).

4.

(1)【閱讀與思考】

整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項(xiàng)式"2+bx+c(aw0)分解因式呢？我們已經(jīng)知道:

2

(%x+q)(a,x+C2)=%。戶2+axc^x+a2cxx+cxc2=a}a2x+{axc2+a^c^x+cxc2.反過來，就得到：

22

a1a2x+(℃+a2Cj)x+C[C2=(a1x+cl)(a2x+c2).我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式ax+bx+c(a^O)的二次項(xiàng)的系數(shù)a

分解成外出，常數(shù)項(xiàng)C分解成CC，并且把q,a2,G，c2,如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，

就得到年2+%G，如果年2+%9的值正好等于蘇+8x+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,那么aY+bx+c就可以分解為

(qx+cJQx+Cz),其中q,/位于圖的上一行，出，位于下一行.像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù),

從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.

例如，將式子/-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1x1,

把常數(shù)項(xiàng)-6也分解為兩個因數(shù)的積，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按圖2所示的擺放，按對角線交

叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+1X2=-1,恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)-1,于是一一x-6就可以分解為

(x+2)(x-3).

請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：

x2+x-6=?

(2)【理解與應(yīng)用】

請你仔細(xì)體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：

①2X2+5X-7=;

②6x2—1xy+2y2=.

(3)【探究與拓展】

對于形如ax?+6中+￡■_/+右+砂+/的關(guān)于x,了的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖

4.將。分解成加"乘積作為一列，。分解成P4乘積作為第二列，/分解成用乘積作為第三列，如果

mq+np=b,pk+pj=e,mk+nj=d,即第1,2歹!]、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原

式=(加x+刀+/)("X+0+左)，請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：

①分解因式3x?+5孫-2/+x+9y-4=；

②若關(guān)于x,V的二元二次式/+79-18/一5了+叼-24可以分解成兩個一次因式的積，求加的值.

圖2圖3圖4

【答案】⑴(X+3)(X-2)

⑵(2x+7)(x-l)；(2X-y)(3x-2y)

(3)(3x-y+4)(x+2^-l)；43或-78

【分析】(1)首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1X1,把常數(shù)項(xiàng)-6也分解為兩個因數(shù)的積,

即-6=3x(-2),寫出結(jié)果即可.

(2)①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成2=1x2,常數(shù)項(xiàng)寫成-7=-lx7,滿足lx7+(T)x2=5,寫出分解結(jié)果即可.

②把f項(xiàng)系數(shù)6寫成6=2x3,把/項(xiàng)系數(shù)2寫成2=-2x(-l),滿足-2x2+(-l)x3=-7,寫出分解結(jié)果即

可.

(3)①把f項(xiàng)系數(shù)3寫成3=1x3,把/項(xiàng)系數(shù)一2寫成-2=2"-1),常數(shù)項(xiàng)-4寫成-4=(-1)x4滿足條件,

寫出分解結(jié)果即可.

②把f項(xiàng)系數(shù)1寫成1=1x1,把/項(xiàng)系數(shù)一18寫成-18=-2義9,常數(shù)項(xiàng)-24寫成-24=3x(-8)或-24=(-3)x8

滿足條件，寫出分解結(jié)果，計算即可.

【詳解】(1)首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1x1,把常數(shù)項(xiàng)-6也分解為兩個因數(shù)的積,

HP—6=3x(-2),所以x?+x—6=(x+3)(x-2).

故答案為：(x+3)(x-2).

(2)①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成2=1x2,-7=-lx7,滿足1x7+(-l)x2=5,所以2/+5x-7=

(2x+7)(x-l).

故答案為：(2x+7)(x-l).

②把f項(xiàng)系數(shù)6寫成6=2x3,把/項(xiàng)系數(shù)2寫成2=-lx(-2),滿足-2x2+(-l)x3=-7,

所以6x?-7盯+2y2=(2x-y)(3x-2y).

故答案為：(2X-y)(3x-2y).

(3)①把f項(xiàng)系數(shù)3寫成3=1x3,把必項(xiàng)系數(shù)一2寫成-2=2x(-D,常數(shù)項(xiàng)-4寫成-4=(-1)x4滿足條件，

所以3/+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-l).

故答案為：(3X7+4)(X+2尸1).

②把f項(xiàng)系數(shù)1寫成1=1x1,把/項(xiàng)系數(shù)_18寫成-18=-2x9,常數(shù)項(xiàng)-24寫成-24=3x(-8)或-24=(-8)x3

滿足條件,

所以加=3x9+(-2)x(-8)=43或加=9x(-8)+(-2)x3=-78,

故加的值為43或-78.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，讀懂閱讀材料，理解其中的內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵.

5.因?yàn)?+x—6=(x+3)(x-2),令/+工-6=0,則(x+3)(x-2)=0,x=-3或x=2,反過來,x=2能使多項(xiàng)式

■?+x-6的值為0.

利用上述閱讀材料求解：

(1)若x-4是多項(xiàng)式x2+mx+8的一個因式，求m的值；

(2)若(x-1)和(x+2)是多項(xiàng)式+如2-5x+b的兩個因式，試求a,b的值;

(3)在(2)的條件下，把多項(xiàng)式/+辦2一5工+6因式分解的結(jié)果為—.

a=-2

【答案】(1)m=-6;(2)；(3)(x-l)(x+2)(x-3)

b=6

【分析】(1)由已知條件可知，當(dāng)x=4時，x2+mx+8=0,將x的值代入即可求得；

(2)由題意可知，x=l和x=-2時，x3+ax2-5x+b=0,由此得二元一次方程組，從而可求得a和b的值；

(3)將(2)中a和b的值代入x3+ax2?5x+b,則由題意知(x-1)和(x+2)也是所給多項(xiàng)式的因式，從而

問題得解.

【詳解】解：(1)〈XT是多項(xiàng)式x2+mx+8的一個因式，貝陵=4使x2+mx+8=0,

16+4m+8=0,解得m=-6；

(2)(x-1)和(x+2)是多項(xiàng)式％3+62_5%+6的兩個因式，

貝!Jx=l和x=-2都使工3+依2一5'+6=0,

1+?！?+6=0-2

得方程組為:-8+4。+10+6=0'解得jb=6

(3)由(2)得,x3-2x2-5x+6有兩個因式(x-1)和(x+2),

又Jr?=X-X-x,6=(-1)x2x(-3),

則第三個因式為(x-3),

x3-2x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3).

故答案為：(x-l)(x+2)(x-3).

【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式的特殊方法，根據(jù)閱讀材料仿做，是解答本題的關(guān)鍵.

6.閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項(xiàng)式分解因式，對于形如的關(guān)

于X,V的二次三項(xiàng)式來說，方法的關(guān)鍵是將萬2項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個因數(shù)多,0的積，即。將黃

項(xiàng)系數(shù)C分解成兩個因式G，Q的積，即c=q”2,并使正好等于孫項(xiàng)的系數(shù)6,那么可以直接寫

22

成結(jié)果：ax+bxy+cy={axx+c2y)(a2y+c1y)

例：分解因式：x2-2xy-8y2

解：如圖1,其中1=1x1,-8=(-4)x2,而一2=lx(-4)+lx2

所以x?-2xy-8y2=(x-4y)(x+2y)

而對于形如辦2+60+cy2+dx+砂+/的關(guān)于x,'的二元二次式也可以用十字相乘法來分解.如圖2.將。

分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成#乘積作為第三列，如果mq+np=b,

mk+nj=d,即第1、2列,第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則,則原式

=(mx+py+f)(nx+qy+k)

例：分解因式—+2xy—3y之+3x+y+2

解：如圖3,其中1=1x1,—3=(—1)x3,2=1x2

而2=lx3+lx(—1),1=(—l)x2+3xl,3=lx2+lxl

所以I?+2肛一3y之+3%+y+2=(x-y+l)(x+3y+2)

1-11

3、，2

圖3

請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：

(1)分解因式：①6x?-33xy+42y2=_.

(2)2x~—xy—6y~+x+19y_15=_.

(2)若關(guān)于X,y的二元二次式尤2+7盯-18/-3x+即-40可以分解成兩個一次因式的積，求加的值.

【答案】⑴(2x-7y)(3x-6y)；(2x+3y-5)(x-2y+3)；(2)61或-82.

【分析】(1)結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；

(2)用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可.

【詳解】解：(1)①如下圖，其中6=2x3,42=-7x(-6),-33=2x(-6)+3x(-7),

所以，6x?-33肛+42/=3(2x-7y)(x-2y)：

-12-21=33

②如下圖，其中2=2x1,-6=3x(-2),-15=-5x3,

JfO-1=-2x2+1x3,19=3x3+(-5)x(-2),l=2x3+(-5)x1,

所以，2x2-xy-6y2+x+19y-15=(2x+3y-5)(x-+3)；

(2)如下圖，其中1=1x1,T8=9x(-2),-40=-5x8,

ifu7=-2xl+lx9,-3=lx5+(-8)xl,

m=9x5+(-8)x(-2)=61或機(jī)=9x(-8)+(-2)x5=-82,

???若關(guān)于X,y的二元二次式V+7中-18/-3X+叼-40可以分解成兩個一次因式的積，機(jī)的值為61或

-82.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是因式分解-十字相乘法，讀

懂題意，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解此題的關(guān)鍵.

壓軸題型四分組分解壓軸題

I.己知實(shí)數(shù)加，n,p,q滿足m+〃=0+g=4,mp+nq=4,則+/)=()

A.48B.36C.96D.無法計算

【答案】A

【分析】先利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則將要求值的多項(xiàng)式進(jìn)行整理，將題目所給的有確定值的式子進(jìn)行變

形，得出所需要的式子的值，運(yùn)用整體代入法既可求解.

【詳解】W：m+n=p+q=4,

(7〃+〃)(/>+1)=4x4=16,

(洗+")(p+g)=mp+mq+np+nq,

mp+mq+np+nq=16,

?/mp+nq=4,

mq+np=12,

(機(jī)2+幾2)pg+mn(22+g2),

=m2pq+7npq+mn2p+mn2q,

=mp?mq+np?nq+mp?np+nq?mq,

=mp?mq+mp?nptnp?nq+nq?mq,

=mp[mq+np)+nq(np+mq),

(mp+nq)(np+mq),

=4x12,

=48,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是對條件所給的式子變

形要有方向性和目的性，同時要掌握分組分解法對式子進(jìn)行因式分解.

2.常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，如

/-2肛+/_16.通過觀察，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式

進(jìn)行分解：

/-2xy+y2-16=(^x2-2xy+y2j-16=(x-y)2-42=(x-y+4)(x-y-4),這種分解因式的方法叫分組分解

法.利用上述方法分解因式：4x2+12xy+9/-9=

【答案】(2x+3y+3)(2x+3y-3)

【分析】本題主要考查了分組法分解因式.熟練掌握分組分解法依據(jù)，完全平方公式分解因式，平方差公

式分解因式，是解決問題的關(guān)鍵.

前三項(xiàng)分為一組，后一項(xiàng)分為一組，前三項(xiàng)先用完全平方公式分解，而后整體用平方差公式分解.

【詳解】4x2+12xy+9y2-9

=(4/+12盯+9月-9

=(2x+3y)2-32

=(2x+3y+3)(2x+3,v-3).

故答案為：(2x+3y+3)(2x+3尸3).

3.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律

進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)

算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上

互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式適合于已學(xué)過的方法進(jìn)行分解.

例題：用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因式x'-9x+8.

解：添加兩項(xiàng)-

原式=x，—x2+x2—9x+8

=x，—x~+x~—x—8x+8

=x2+

=(x-l)^x2+x-8)

請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：

(1)分解因式：X3+9X-10；

(2)分解因式：X3-2X2-5X+6;

(3)分解因式：X4+5X3+X2-20X-20.

【答案】⑴(XTM+X+IO)

⑵(x-l)(x-3)(x+2)

(3)(x+2乂x，+3x~—5x—loj

【分析】本題主要考查了因式分解，看懂題例，學(xué)會拆項(xiàng)法及添項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵.

(1)把9x拆成-lOx、+x,然后分組分解；

(2)把-5x拆成x、-6x,然后三二分組分解；

(3)把5/、/、_20》分別拆成2/+3》3、6X2-5X\-10x-10x,再兩兩分組分解.

【詳解】(1)解：x3+9x-10

=x3—x+1Ox—10

=x(x+l)(x-1)+10(x-1)

=+X+10)；

(2)解：x3-2x2一5x+6

=x3-2x2+x-6x+6

—x(J_2%+1)_6(x_1)

二x(x-1)2-6(x-l)

=(x-l)^x2-x-6^

=(x-l)(x-3)(x+2)；

⑶解：X4+5X3+X2-20X-20

=x4+2x3+3x3+6x2—5x2—lOx—lOx—20

=x3