2024-2025學(xué)年山東省聊城市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省聊城市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題第I卷（選擇題共58分）單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分1．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．已知點在平面α內(nèi)，其法向量，則下列點不在平面α內(nèi)的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則（

）A．B．C．D．4．已知點，則平面的法向量可以是（）A．（1，1，1）B．C．D．（-1，0，1）5.設(shè)x,y∈R，向量a=x則x+y的值為（）A．-1 B．1C．2 D．36．設(shè)向量是直線的方向向量，是平面α的法向量，則（

）A． B．或 C．D．7.已知點，則點到直線的距離為（

）A． B．C．D．8．已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，此時異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.9．給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底B．已知，則與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底C．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底D．是空間四點，不能構(gòu)成空間一個基底，則共面10．已知，，，則（

）A． B．C．若向量，則 D．若向量，則11．如圖，在正四棱柱中，為四邊形對角線的交點，點在線段上運動（不含端點），下列結(jié)論正確的是（

）A.直線與直線所成角的余弦值為B．點到平面的距離為C．線段上存在點，使得平面D．正四棱柱外接球的表面積為第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分12．已知點，若點的坐標(biāo)為，且點四點共面，則實數(shù)的值為.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是．14.已知是平面的法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分．應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知空間三點，，．設(shè)，．（1）求和的夾角的余弦值；（2）若向量+與－互相垂直，求的值．16.（15分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F分別是面,面A1C1的中心．求證：EF//平面ACD117.（15分）如圖，在正方體中，為底面的中心，是的中點．在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．18.（17分）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，點是的中點．(1)求點B1到直線AD1距離；(2)求證：平面AD1E⊥平面BB1E．19.（17分）已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點．(1)求證：⊥平面；(2)已知點是線段上的動點，并且到平面的距離是，求線段的長．高二數(shù)學(xué)答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間直角系對稱的特征，直接求出答案即可.【詳解】點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是.2．【正確答案】D【分析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.3．【正確答案】A【分析】利用空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算求解.【詳解】解：，，4．【正確答案】A，設(shè)平面的法向量為，則，即，滿足上式的選項只有A.5.【解題思路】由空間向量垂直和平行的坐標(biāo)表示計算即可.【解答過程】因為a⊥c，所以2x?2+2=0?x=0，又所以設(shè)b=λc，即1=2λ?1=?2λ6．【答案B】7.【正確答案】C因為，所以，，所以，所以點C到直線AB的距離=，故選：C．8．【正確答案】C【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面平面，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.【詳解】記的中點分別為，因為，所以，同理，，記，因為，所以，所以，，易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C二、多選題9．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量的概念，逐項分析即可.【詳解】選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以正確；選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得不正確；選項中，因為所以與任何向量都共面，故不能構(gòu)成一個空間基底，所以正確；選項中，由不能構(gòu)成空間的一個基底，可得共面，又由過相同點，可得四點共面，所以正確.故選：ACD.10．【正確答案】ACD【分析】由向量加法和模長的坐標(biāo)運算、向量共線與垂直的坐標(biāo)表示依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，，D正確.故選：ACD.11．【正確答案】AB【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求線線角、點面距離，判斷線面位置關(guān)系，根據(jù)正四棱柱外接球半徑是體對角線的一半，應(yīng)用球體表面積公式求表面積.【詳解】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，所以直線與直線所成角的余弦值為，A對；由，則，若是面一個法向量，故，令，則，而，所以點到平面的距離，B對；由且，則，顯然不可能與平行，C錯；由正四棱柱的外接球半徑為體對角線的一半，即為，故外接球的表面積為，D錯.故選：AB三、填空題12．【正確答案】1【分析】利用空間共面向量定理求解即可.【詳解】∵,,∴,，，∵四點共面，故根據(jù)空間向量基本定理可知存在實數(shù)，使得，則有，解得，故答案為.13．【正確答案】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算公式計算即可.【詳解】易知向量在向量上的投影向量為.故14.【正確答案】由題意可得，又是平面的法向量，則點到平面的距離為，四、解答題15.∵，，，∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）．（1）=，∴和的夾角的余弦值為．(2)+=（，，0）+（－1，0，2）＝（－1，，2），－=（+2，，－4），∵(+)⊥（－2），∴(+)（－2）=（－1，，2）·（+2，，－4）∴或．16.【證明】以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則可得，，，平面，平面.17.18.【解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，2，0)，D1(0，0，1)，B1(1，2，1)，E(0，1，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，2，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，1，0)．取a＝＝(0，2，1)，，則a2＝5，a·u＝．所以點B1到直線AD1距離為．(2)設(shè)平面AD1E的法向量是n1＝(x，y，z)，則所以取x＝1，則y＝z＝1．所以n1＝(1，1，1)是平面AD1E的一個法向量．同理，平面BB1E的一個法向量為n2＝(1，－1，0)．因為n1·n2＝1－1＝0，所以平面AD1E⊥平面BB1E．19.【正確答案】(1)