黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試卷

佳一中20242025學(xué)年度第一學(xué)期高二學(xué)年十月考試數(shù)學(xué)試題Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：由直線的方向量求出直線斜率，然后利用點斜式可求出直線方程；方法二：由已知可得直線的一個法向量為，則設(shè)直線為，再將代入求出，從而可得直線方程.【詳解】方法一∵直線的一個方向向量為，∴，∴直線的方程為，即．方法二由題意知直線的一個法向量為，∴直線的方程可設(shè)為，將點代入得，故所求直線的方程為．故選：B2.已知方程表示橢圓，則的取值范圍是（）A. B.或 C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點建立不等式組，解之可得選項.【詳解】因為方程表示橢圓，所以，解得或，故選：B3.下列說法正確的是（）A.不能表示過點Mx1,yB.在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線方程為C.直線與y軸的交點到原點的距離為bD.設(shè)，，若直線與線段AB有交點，則a的取值范圍是【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線方程兩點式和截距式形式的局限性，可判斷選項AB的正誤，由截距和距離的定義可判斷C的正誤，選項D中直線過定點，利用數(shù)形結(jié)合法可得的取值范圍．詳解】對于選項A：由可知，所以不過點,，故選項A正確，對于選項B：當(dāng)時，在軸、軸上的截距分別為0的直線不可用表示，故選項B錯誤，對于選項C：直線與軸的交點為，到原點的距離為，故選項C錯誤，對于選項D：直線方程可化為，恒過定點，畫出圖形，如圖所示，，，若直線與線段有交點，則，或，即或，故選項D錯誤，故選：A．4.橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.【詳解】由題意得，解得，故選：A.5.已知直線的斜率，則該直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用斜率公式將轉(zhuǎn)化為（），解不等式即可.【詳解】直線傾斜角為，則，由可得，所以.故選：B.6.經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線平行的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出交點，再根據(jù)平行關(guān)系求方程即可.【詳解】解：聯(lián)立，解得，即交點為，因為直線的斜率為，所以，所求直線的方程為，即．故選：B．7.已知為直線上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點到的距離均為 D.是兩條平行直線【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由可得點坐標(biāo)，由在直線上，故可將點代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.故選：C.8.已知橢圓：的左、右兩個頂點為，，點，，是的四等分點，分別過這三點作斜率為的一組平行線，交橢圓于，，…，，則直線，，…，，這6條直線的斜率乘積為（）A. B. C.8 D.64【答案】A【解析】【分析】橢圓上任意一點坐標(biāo)為，以及橢圓的對稱性可得.【詳解】如圖，左右頂點的坐標(biāo)分別為，設(shè)橢圓上任意一點坐標(biāo)為，且P不與A、B重合，則，又在橢圓上，故，所以，則，所以同理可得∴直線這6條直線的斜率乘積故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓：，則下列說法正確的是（）A.圓的半徑為16B.圓截軸所得的弦長為C.圓與圓：相外切D.若圓上有且僅有兩點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】先運用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個半徑，可判斷A；根據(jù)點到弦的距離可求出弦長，判斷B；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系，判斷C；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1，判斷D.【詳解】由圓，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑為4，故A錯誤；令，得，設(shè)圓與軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，則，是的兩個根，所以，，所以，故B正確；兩圓圓心距，故C正確；由圓上有且僅有兩點到直線的距離為1，則，解得或，即實數(shù)的取值范圍是，故D錯誤.故選：BC.10.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標(biāo)系中，，滿足的點P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A.點P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓B.軌跡C上的點到直線的最小距離為C.若點在軌跡C上，則的最小值是D.圓與軌跡C有公共點，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】利用兩點距離公式計算可判定A，利用直線與圓的位置關(guān)系可判定B、C，利用兩圓的位置關(guān)系可判定D.【詳解】設(shè)Px,y，由，整理得，顯然點P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A正確；圓心到直線的距離，所以軌跡C上的點到直線的最小距離為，故B錯誤；設(shè)，易知圓心到直線的距離，故C正確；易知圓的半徑為2，則其與軌跡C相交或相外切時符合題意，則圓心距，解之得，故D正確.故選：ACD11.（多選）已知橢圓，分別為它的左右焦點，點分別為它的左右頂點，已知定點，點是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（

）A.存在點，使得 B.直線與直線斜率乘積為定值C.有最小值 D.的范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得判定A錯誤；設(shè)Px,y，根據(jù)橢圓的方程，以及斜率公式化簡運算，可判定B正確；根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，可判定C正確；設(shè)直線與橢圓相交于，結(jié)合橢圓的定義和三角形的性質(zhì)，可得判定D正確.【詳解】對于A中，由橢圓，可得，且，可得，所以，所以A錯誤；對于B中，設(shè)Px,y，則，且，可得，則為定值，所以B正確.對于C中，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以C正確.對于D中，由點Q在橢圓外，設(shè)直線與橢圓相交于，如圖所示，則，因為，且，可得，即，所以，所以，所以D正確.故選：BCD.Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線經(jīng)過點，圓，若直線與圓C相切，則直線的方程為____________【答案】或【解析】【分析】當(dāng)直線斜率不存在時，直線為符合題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)為y=kx?1，由圓心到該直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，因為，所以點在圓外，當(dāng)直線的斜率不存在時，即直線為，圓心到直線的距離為2，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx?1，即，所以圓心到直線的距離，整理：，解得，所以直線為，即，綜上所述：直線的方程為或.13.已知圓，若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線：，反射后恰好平分圓C的圓周，反射光線所在直線的方程是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，列出方程組，求得，根據(jù)反射后恰好平分圓C的圓周，得到反射光線經(jīng)過兩點，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則滿足，解得，即，因為反射后恰好平分圓C的圓周，所以反射光線經(jīng)過兩點，又由，所以反射光線的方程為，即.故答案為：.14.已知是橢圓：上一點，，是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且.則的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由題意得出是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)，，延長交于，由題意知，為的中點，故為中點，又，即，則，又點在的平分線上,則，故是等腰直角三角形，因此，則，可得，，又，則，因此可得，又在中，，則，將，代入得，即，由所以，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.平面直角坐標(biāo)系中，圓M的方程為，圓N的方程為，動圓P與圓N內(nèi)切，與圓M外切.（1）求動圓P的圓心的軌跡方程；（2）當(dāng)時，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作圖，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系和橢圓定義可知所求軌跡為橢圓，然后可得方程；（2）根據(jù)橢圓定義和已知，聯(lián)立余弦定理求解即可.【小問1詳解】圓M的圓心為，半徑為，圓N的圓心為，半徑為.設(shè)動圓P的圓心為，半徑為r，則依題意得，，所以，所以，點P的軌跡為橢圓，焦點在x軸上，其中，故，所以，動圓P的圓心的軌跡方程為.故橢圓方程為.【小問2詳解】記，，由（1）知，，由余弦定理可得，整理得，即，所以.16.已知圓C的圓心在上，點在圓C上，且圓C與直線相切.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點A和點的直線l交圓C于A，E兩點，求弦的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，解方程即可求解；（2）由兩點求出直線l方程，結(jié)合點到直線距離公式求出弦心距，結(jié)合勾股定理可求出.【小問1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】直線l過點和點，直線的斜率為，直線l為，即.設(shè)圓心到直線的距離為，∵，，∴弦的長為.17.已知直線，直線與直線垂直，且直線，的交點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等．（1）求直線的方程；（2）若直線l被直線，所截得的線段恰好被點平分，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直線，的交點坐標(biāo)，再設(shè)直線為，將交點坐標(biāo)代入求出，從而可求出直線的方程；（2）設(shè)直線l交直線，分別于點，則有，，，從而可求出兩點的坐標(biāo)，則可求出直線的斜率，進而可求出直線的方程.【小問1詳解】由題意設(shè)直線，的交點坐標(biāo)為，則，得，所以直線，的交點坐標(biāo)為，由題意設(shè)直線為，則，得，所以直線的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線l交直線，分別于點，因為為中點，所以，因為，，所以，即，由，解得，所以，所以，所以，所以直線的方程為，即.18.已知圓．（1）證明：圓C過定點；（2）當(dāng)時，點P為直線上的動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線AB的方程．【答案】（1）證明見解析（2）面積最小值為，【解析】【分析】（1）依題意改寫圓的方程，令參數(shù)的系數(shù)為0即可；（2）依題意表示出所求面積，再用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）依題意，將圓的方程化為，令，即，則恒成立，解得，即圓過定點1,0；（2）當(dāng)時，圓，直線，設(shè)，依題意四邊形的面積，當(dāng)取得最小值時，四邊形的面積最小，又，即當(dāng)PC最小時，四邊形的面積最小，圓心到直線的距離即為PC的最小值，即，即四邊形面積最小值為，此時直線與直線垂直，所以直線的方程為，與直線聯(lián)立，解得，設(shè)以為直徑圓上任意一點：，故圓的方程為，即，又圓，兩式作差可得直線方程.19.已知橢圓的長軸長為，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓上點處的切線方程是，①過直線上一點引C的兩條切線，切點分別是，求證：直線恒過定點；②是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）①證明見解析；②存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)長軸長以及離心率求解出的值，然后求解出的值，則橢圓方程可求；（2）①設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)寫出切線方程并代入的坐標(biāo)，由此確定出所在的直線方程，從而可證直線過定點；②根據(jù)條件化簡，當(dāng)斜率不存在時直接分析即可；當(dāng)斜率存在時，根據(jù)兩點間距離公式得到關(guān)于縱坐標(biāo)的表示形式，再通過聯(lián)立直線與橢圓方程得到縱坐標(biāo)的韋達定理形式，然后將結(jié)果代入的表達式進行化簡計算，從而求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①設(shè)，由題設(shè)可