浙江省溫州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用化簡(jiǎn)【詳解】因?yàn)椋约从忠蚯宜?故選：D2.函數(shù)的零點(diǎn)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程，即可得出答案.【詳解】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點(diǎn)為.故選：.3.已知函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，換元得到，計(jì)算最小值得到答案.【詳解】，設(shè)故，即當(dāng)時(shí)，有最小值故選：【點(diǎn)睛】本題考查了換元法求解析式，函數(shù)的最小值，換元法忽略定義域是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.4.設(shè)正實(shí)數(shù)，，分別滿足，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別作出函數(shù)，，圖像，根據(jù)三個(gè)圖像分別與函數(shù)圖像交點(diǎn)情況比較大小.【詳解】由，得，，，分別作函數(shù)，，圖像，如圖所示，它們與函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，有圖像可得，故選：C.5.設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集以及指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)圖象等知識(shí)確定正確答案.【詳解】如圖，集合為函數(shù)圖象的點(diǎn)集，集合為函數(shù)圖象的點(diǎn)集，兩函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以的元素個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C6.若函數(shù)存在零點(diǎn)，且不能用二分法求該函數(shù)的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即即可解得.【詳解】解：依題意，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即解，即故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.一個(gè)39位整數(shù)的64次方根仍是整數(shù)，這個(gè)64次方根是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)這個(gè)39位數(shù)為，這個(gè)數(shù)的64次方根為，也即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后計(jì)算與參考數(shù)據(jù)比較即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)設(shè)這個(gè)39位數(shù)為，這個(gè)數(shù)的64次方根為，所以，兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)可得：，所以，因?yàn)椋?，也即，因?yàn)?，，所以，所以，故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，及直線，由圖象知，，求出，代入后利用函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)論．【詳解】如圖，作出函數(shù)有圖象，再作直線，時(shí)，滿足題意，由圖知，，∴，即，由得，因此，，易知函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，所以，故選：D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由，可得：；；；，即可判斷出正誤．【詳解】解：，，因此A正確；，因此B不正確；，，解得，因此C不正確；，因此D正確．故選：AD．10.下列為真命題的是（）A.函數(shù)的最小值為2 B.函數(shù)的最小值為3C.函數(shù)的最大值為1 D.函數(shù)的最小值為2【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于B：利用基本不等式運(yùn)算求解即可；對(duì)于C：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于D：換元令，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，則，可知函數(shù)的最小值不為2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為3，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為1，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線y＝2但又不與y＝2相交．函數(shù)．下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的有（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)在單調(diào)遞減C.函數(shù)的最大值為2D.方程恰有兩根【答案】ABC【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)的解析式，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.【詳解】由條件可知，，當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向b，所以，則，即，令，即，得，如圖，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，，無(wú)實(shí)數(shù)根，故ABC正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：613.若，則__________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)解析式直接計(jì)算即可.【詳解】因，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】畫出的圖象，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)的圖象，令，分類討論方程的解的情況，根據(jù)根的分布可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：令，則當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解.因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，則關(guān)于的方程有解，設(shè)此關(guān)于的方程的解為、，不妨設(shè)，由題設(shè)可得關(guān)于的方程和共有3個(gè)不同的解，可分為以下幾類情況：（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即時(shí)，且有個(gè)實(shí)數(shù)根.此時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)圖象可知，無(wú)解，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故不合題意；當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，也不合題意；（2）當(dāng)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即時(shí)，此時(shí)，由，解得，或，設(shè)，①關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，且方程有個(gè)實(shí)數(shù)根.由沒(méi)有實(shí)數(shù)根，得，有個(gè)實(shí)數(shù)根，得，即二次方程一根在，另一根在，由二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，結(jié)合圖象可得，解得，滿足，則滿足題意；②關(guān)于的方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，且方程有個(gè)實(shí)數(shù)根.由方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，得，方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，得，即二次方程一根為，另一根在，則，解得，此時(shí)，方程為，解得，不合題意.綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解方法：即求解關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)，在解此類問(wèn)題時(shí)，一般通過(guò)整體換元法，將復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程問(wèn)題結(jié)合圖象分析.令，一是分析關(guān)于的方程的根的情況；二是分析關(guān)于的方程的解的情況.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15.已知，用a，b表示．【答案】【解析】【分析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系可得，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算法則及換底公式運(yùn)算即可得解.【詳解】，，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算法則及換底公式可得16.已知函數(shù)（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn).（1）求的坐標(biāo)；（2）若在上的圖象始終在直線的下方，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)即可求解；（2）分和兩種情況進(jìn)行討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】令，則，所以的坐標(biāo)為.小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，恒成立.故的取值范圍為.17.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）求函數(shù)，的最小值.【答案】（1）在單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用奇偶性得到關(guān)系式，結(jié)合題干中的條件，解出函數(shù)的解析式，得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）求出函數(shù)的解析式，結(jié)合換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求解最小值.【小問(wèn)1詳解】定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則，∵①，∴，即②，聯(lián)立①②解得:，在上單調(diào)遞增，證明如下:設(shè)，且，，，，，即，在單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】，令，可知時(shí)單調(diào)遞增，則，，令，當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)單調(diào)遞減，則；綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為0；當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為.18.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：是奇函數(shù)；（2）判斷的正負(fù)，并說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2），理由見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）通過(guò)賦值，得，再通過(guò)賦值，結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/p>