2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE3.3.2勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生[目標(biāo)]1.會(huì)求幾何概型的概率；2.知道勻稱隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法及在幾何概型中的應(yīng)用；3.能利用幾何概型估計(jì)不規(guī)則圖形的面積．[重點(diǎn)]幾何概型的概率的求解及幾何概型的應(yīng)用．[難點(diǎn)]勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生及應(yīng)用．學(xué)問點(diǎn)勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生[填一填]1．勻稱隨機(jī)數(shù)假如X是區(qū)間[a，b]上的任何一點(diǎn)，且是等可能的，那么稱X聽從[a，b]上的勻稱分布，X稱為[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)．2．勻稱隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法(1)[0,1]上勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：①利用計(jì)算器產(chǎn)生勻稱隨機(jī)數(shù)；②利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生勻稱隨機(jī)數(shù)(主要利用Excel軟件)．(2)[a，b]上勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生[0,1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)x＝RAND.然后利用伸縮和平移變換x＝(b－a)x＋a，就可以得到[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)．[答一答]1．X是[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)的含義是什么？X的取值是連續(xù)的，還是離散的？提示：X在區(qū)間[a，b]上等可能取隨意一個(gè)值；X的取值是連續(xù)的．2．隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生還有哪些方法？提示：隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生還可以通過人工操作．例如，抽簽、摸球、轉(zhuǎn)盤等方法，但這樣做費(fèi)時(shí)費(fèi)勁．用計(jì)算機(jī)可產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn)，便利快捷．因此，我們現(xiàn)在主要是通過計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．類型一用隨機(jī)模擬法估計(jì)長(zhǎng)度型幾何概型的概率利用勻稱隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，先要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可以用隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)結(jié)果的概率模型，可從以下幾個(gè)方面考慮：(1)由影響隨機(jī)事務(wù)結(jié)果的量的個(gè)數(shù)確定須要產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的組數(shù)．如長(zhǎng)度型、角度型(一維)只用一組，面積型(二維)須要用兩組．(2)由全部基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域確定產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍．(3)由事務(wù)A發(fā)生的條件確定隨機(jī)數(shù)應(yīng)滿意的關(guān)系式．[變式訓(xùn)練1]在長(zhǎng)為14cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，試求正方形的周長(zhǎng)介于20cm與28cm之間的概率．類型二用隨機(jī)模擬法估計(jì)面積型幾何概型的概率[變式訓(xùn)練2]現(xiàn)向如圖所示正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率．解：方法1(利用幾何概型的公式)：由于隨機(jī)地投擲飛鏢，飛鏢落在正方形內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)是等可能的，且結(jié)果有無限多個(gè)，所以是幾何概型．陰影部分的面積為S1＝eq\f(1,2)×eq\f(5,6)×eq\f(5,3)＝eq\f(25,36)，又正方形的面積S＝4.∴飛鏢落在陰影部分的概率為P＝eq\f(\f(25,36),4)＝eq\f(25,144).方法2(利用隨機(jī)模擬的方法)：(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)a1，b1(共N組)．(2)經(jīng)過伸縮變換，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2.(3)統(tǒng)計(jì)出滿意不等式b<2a－eq\f(4,3)，即6a－3b>4的數(shù)組數(shù)N1.(4)所求概率P≈eq\f(N1,N).N1,N)就是點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值．(5)設(shè)陰影部分面積為S.由幾何概型概率公式得點(diǎn)落在陰影部分的概率為eq\f(S,12)，∴eq\f(S,12)≈eq\f(N1,N)，S≈eq\f(12N1,N)即為陰影部分面積的近似值．利用幾何概型的模擬方法可以計(jì)算平面不規(guī)則圖形的面積．其關(guān)鍵是選擇合適的對(duì)應(yīng)圖形和由幾何概型正確計(jì)算概率，其實(shí)質(zhì)是幾何概型概率公式的逆用，計(jì)算機(jī)(計(jì)算器)的作用是利用隨機(jī)模擬的方法產(chǎn)生概率的近似值．[變式訓(xùn)練3]利用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算圖中陰影部分(y＝log2x與y軸及y＝±1圍成的圖形)的面積．解：(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)a1，b1.(2)經(jīng)過伸縮變換，a＝a1]N1,N)就是點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值．(5)設(shè)陰影部分面積為S.由幾何概型概率公式得點(diǎn)落在陰影部分的概率為eq\f(S,4)，∴eq\f(S,4)≈eq\f(N1,N)，S≈eq\f(4N1,N)即為陰影部分面積的近似值．

1．幾何概型中的試驗(yàn)結(jié)果是(A)A．無限多個(gè) B．有限個(gè)C．非等可能的 D．不能確定解析：幾何概型中的試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)，故選A.2．幾何概型的隨機(jī)模擬試驗(yàn)中，得到陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)為N1，試驗(yàn)次數(shù)為N，則下列說法正確的是(B)A．N1與N的大小無關(guān) B.eq\f(N1,N)是試驗(yàn)中的頻率C.eq\f(N1,N)是試驗(yàn)中的概率 D．N越大，eq\f(N1,N)應(yīng)越小解析：eq\f(N1,N)是試驗(yàn)中的頻率，是試驗(yàn)中的概率的近似值．故選B.3．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的勻稱隨機(jī)數(shù)a，則事務(wù)“3a－1<0”發(fā)生的概率為eq\f(1,3).解析：由3a－1<0，得a<eq\f(1,3).∵0≤a≤1，∴0≤a<eq\f(1,3).依據(jù)幾何概型知所求概率為eq\f(\f(1,3),1)＝eq\f(1,3).4.邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積為eq\f(8,3).解析：在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，其結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)落在陰影區(qū)域內(nèi)為事務(wù)A，則事務(wù)A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?，設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是正方形的面積，則P(A)＝eq\f(S,4)，∴eq\f(S,4)＝eq\f(2,3)，即S＝eq\f(8,3).5．取一根長(zhǎng)為3m的繩子，拉直后在隨意位置剪斷，利用隨機(jī)模擬法求剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？解：方法1：(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組[0,1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND.(2)經(jīng)過伸縮變換，a＝a1]N1,N)即為概率P(A)的近似值．方法2：做一個(gè)帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標(biāo)上刻度[0,3](這里3和0重合)．轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤登記指針在[1,2](表示剪斷繩子位置在[1,2]范圍內(nèi))的次數(shù)N1及試驗(yàn)總次數(shù)N，則fn(A)＝eq\f(N1,N)即為概率P(A)的近似值．——本課須駕馭的兩大問題1．利用隨機(jī)模擬的方法求概率，其實(shí)質(zhì)是求頻率，用頻率近似代替概率．其關(guān)鍵是設(shè)計(jì)好“程序”或者“步驟”，并找到各數(shù)據(jù)滿意的條件，把實(shí)際問題中事務(wù)A及基本領(lǐng)件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍．找到隨機(jī)數(shù)的取值范圍后，有時(shí)需對(duì)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行平移、伸縮變換，可以利用解析幾何學(xué)問，依據(jù)兩曲線“長(zhǎng)度”的方程進(jìn)行．隨著試驗(yàn)次數(shù)N的增加，得到的概率近似值的精度會(huì)越來越高．2．在應(yīng)用勻稱隨機(jī)數(shù)進(jìn)行幾何概型的概率計(jì)算時(shí)