大二經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)試卷

大二經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x/(x+1)

2.若函數(shù)f(x)=x^3在x=0處的導(dǎo)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.3

D.無(wú)定義

3.已知函數(shù)f(x)=e^x，則f'(x)=（）

A.e^x

B.e^(-x)

C.e^(2x)

D.e^(-2x)

4.下列各式中，不屬于冪函數(shù)的是（）

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=(1/2)^x

D.y=x^(1/2)

5.若函數(shù)f(x)=ln(x)，則f'(x)=（）

A.1/x

B.-1/x

C.x

D.-x

6.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f'(1)=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

7.若函數(shù)f(x)=e^x，則f''(x)=（）

A.e^x

B.e^(-x)

C.e^(2x)

D.e^(-2x)

8.下列函數(shù)中，可導(dǎo)的函數(shù)是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=1/x

C.f(x)=x/(x+1)

D.f(x)=x^2

9.若函數(shù)f(x)=x^2，則f''(x)=（）

A.2x

B.2

C.0

D.-2

10.下列各式中，屬于指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=ln(x)

D.y=x^(1/2)

二、判斷題

1.導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。（）

2.如果函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，則該點(diǎn)一定連續(xù)。（）

3.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是冪函數(shù)。（）

4.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是常數(shù)乘以原函數(shù)。（）

5.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是其底數(shù)的倒數(shù)乘以原函數(shù)。（）

三、填空題

1.函數(shù)f(x)=x^3-6x+5的導(dǎo)數(shù)f'(x)=________.

2.若函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)f'(x)=________，則f''(x)=________.

3.對(duì)于冪函數(shù)f(x)=x^n，其中n為實(shí)數(shù)，當(dāng)n________時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)n________時(shí)，f(x)是減函數(shù)。

4.已知函數(shù)f(x)=ln(x)，則f(x)的積分F(x)=________，其中C為任意常數(shù)。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=2x-3，若函數(shù)g(x)=f(x)+C，其中C為常數(shù)，則g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x)=________.

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。

2.解釋函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明。

3.討論冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法，并給出一個(gè)具體例子。

4.描述對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分的基本性質(zhì)，以及它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)的重要性。

5.闡述微積分基本定理的內(nèi)容，并說(shuō)明其在計(jì)算定積分中的應(yīng)用。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算函數(shù)f(x)=x^4-2x^2+1在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)。

2.求函數(shù)g(x)=e^(2x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率。

3.已知函數(shù)h(x)=ln(x)+3x，求h(x)在x=1處的切線方程。

4.計(jì)算定積分∫(1to3)(2x+1)dx。

5.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)f''(0)。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其生產(chǎn)成本函數(shù)為C(x)=100+2x+0.1x^2，其中x為生產(chǎn)數(shù)量。市場(chǎng)需求函數(shù)為P(x)=200-0.5x，其中P(x)為產(chǎn)品價(jià)格。

問(wèn)題：

（1）求該公司生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本函數(shù)AC(x)。

（2）求該公司的邊際成本函數(shù)MC(x)。

（3）當(dāng)市場(chǎng)需求達(dá)到平衡時(shí)，即生產(chǎn)數(shù)量等于銷售數(shù)量，求此時(shí)的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量和對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品價(jià)格。

2.案例背景：某城市計(jì)劃在市中心修建一條新的道路，預(yù)計(jì)這條道路將增加城市的交通便利性。為了評(píng)估這條道路對(duì)城市經(jīng)濟(jì)的影響，研究人員收集了以下數(shù)據(jù)：

-道路建設(shè)成本：C(x)=10x^2+100x+1000，其中x為道路長(zhǎng)度（單位：公里）。

-道路帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)收益：R(x)=5x^3-3x^2+100，其中R(x)為經(jīng)濟(jì)收益（單位：百萬(wàn)美元）。

問(wèn)題：

（1）求該道路的平均建設(shè)成本函數(shù)AC(x)。

（2）求該道路的邊際收益函數(shù)MR(x)。

（3）根據(jù)邊際收益等于邊際成本的原則，計(jì)算最優(yōu)的道路長(zhǎng)度，并估算此時(shí)的總經(jīng)濟(jì)收益。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某商品的需求函數(shù)為Q=100-2P，其中Q為需求量，P為商品價(jià)格。假設(shè)該商品的供給函數(shù)為Q=5P，求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量。

2.應(yīng)用題：已知某公司生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為F=2000元，每單位產(chǎn)品的可變成本為V=10元，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=50-0.5Q，其中P為產(chǎn)品價(jià)格，Q為銷售量。求：

（1）公司的總成本函數(shù)TC(Q)。

（2）公司的平均成本函數(shù)AC(Q)。

（3）公司的邊際成本函數(shù)MC(Q)。

3.應(yīng)用題：某投資者在股票市場(chǎng)上的投資組合由兩種股票組成，股票A和股票B。股票A的收益率函數(shù)為R_A=0.5t+1，股票B的收益率函數(shù)為R_B=-0.3t+2，其中t為時(shí)間（年）。假設(shè)投資者在股票A上的投資比例為x，在股票B上的投資比例為1-x，求：

（1）投資組合的期望收益率R(t)。

（2）當(dāng)時(shí)間t=5年時(shí)，投資組合的期望收益率。

4.應(yīng)用題：某城市計(jì)劃進(jìn)行一項(xiàng)公共設(shè)施建設(shè)，預(yù)計(jì)該項(xiàng)目的建設(shè)成本函數(shù)為C=10000+500Q，其中C為建設(shè)成本，Q為建設(shè)規(guī)模（單位：平方公里）。同時(shí)，該項(xiàng)目的收益函數(shù)為R=20000-1000Q，其中R為收益。假設(shè)該項(xiàng)目的成本和收益都隨著建設(shè)規(guī)模的增加而線性增加，求：

（1）該項(xiàng)目的平均成本函數(shù)AC(Q)。

（2）該項(xiàng)目的平均收益函數(shù)AR(Q)。

（3）為了使項(xiàng)目達(dá)到盈虧平衡，即成本等于收益，求所需的建設(shè)規(guī)模Q。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.A

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.A

8.D

9.B

10.B

二、判斷題答案

1.對(duì)

2.錯(cuò)

3.錯(cuò)

4.對(duì)

5.對(duì)

三、填空題答案

1.3x^2-6

2.2e^x,2e^x

3.>0,<0

4.xln(x)+C

5.2

四、簡(jiǎn)答題答案

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)表示成本、收益、利潤(rùn)等經(jīng)濟(jì)變量的瞬時(shí)變化率。

2.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間有密切關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，則該點(diǎn)一定連續(xù)；反之，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，并不意味著該點(diǎn)一定可導(dǎo)。

3.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法為：f(x)=x^n，則f'(x)=nx^(n-1)。指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法為：f(x)=a^x，則f'(x)=a^x*ln(a)。

4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)為：f(x)=ln(x)，則f'(x)=1/x。對(duì)數(shù)函數(shù)的積分性質(zhì)為：∫ln(x)dx=xln(x)-x+C。

5.微積分基本定理的內(nèi)容是：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則定積分∫(atob)f(x)dx等于函數(shù)F(x)在區(qū)間[a,b]上的增量，即F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。

五、計(jì)算題答案

1.f'(1)=3

2.平均變化率=(g(2)-g(0))/(2-0)=(e^4-1)/2

3.切線方程：y-(ln(1)+3*1)=(1/1)(x-1)，即y=x+2

4.∫(1to3)(2x+1)dx=[x^2+x]from1to3=(9+3)-(1+1)=10

5.f''(0)=6

六、案例分析題答案

1.（1）AC(x)=(C(x)/Q)=(100+2x+0.1x^2)/x=100/x+2+0.1x

（2）MC(x)=C'(x)/Q=(2+0.2x)/(100-0.5x)

（3）市場(chǎng)均衡時(shí)，P=Q，即200-0.5x=x，解得x=80，P=80

2.（1）TC(Q)=F+VQ=2000+10Q

（2）AC(Q)=TC(Q)/Q=2000/Q+10

（3）MC(Q)=TC'(Q)=10

七、應(yīng)用題答案

1.市場(chǎng)均衡時(shí)，Q=P，即100-2P=5P，解得P=20，Q=60

2.（1）TC(Q)=2000+10Q

（2）AC(Q)=TC(Q)/Q=2000/Q+10

（3）MC(Q)=TC'(Q)=10

3.（1）R(t)=xR_A+(1-x)R_B=0.5xt+x+(-0.3t+2)(1-x)

（2）當(dāng)t=5年時(shí)，R(5)=0.5*5x+x+(-0.3*5+2)(1-x)=2.5x+x-0.5+2-2x=x+1.5

4.（1）AC(Q)=C(Q)/Q=10000/Q+500

（2）AR(Q)=R(Q)/Q=20000/Q-1000

（3）盈虧平衡時(shí)，C(Q)=R(Q)，即10000+500Q=20000-1000Q，解得Q=10

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷涵蓋了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、積分、函數(shù)、成本收益分析等基礎(chǔ)知識(shí)。