2018年數(shù)學(xué)（北師大版選修1-2）練習(xí)121活頁(yè)作業(yè)3條件概率與獨(dú)立事件

活頁(yè)作業(yè)(三)條件概率與獨(dú)立事件1．下列事件A，B是獨(dú)立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”B．袋中有4個(gè)小球，其中2個(gè)白球，2個(gè)黑球，不放回地摸兩次，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到30歲”，B＝“人能活到60歲”解析：由獨(dú)立事件的意義可定性地判斷B，C，D中，其中一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件有一定的影響．答案：A2．若A與B相互獨(dú)立，則下面不是相互獨(dú)立事件的是()A．A與eq\o(A,\s\up6(－)) B．A與eq\o(B,\s\up6(－))C．eq\o(A,\s\up6(－))與B D．eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))解析：當(dāng)A，B相互獨(dú)立時(shí)，A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B以及eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))都是相互獨(dú)立的，而A與eq\o(A,\s\up6(－))是對(duì)立事件，不相互獨(dú)立．答案：A3．若P(A)＝eq\f(3,4)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，則P(AB)等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,3) D．eq\f(5,8)解析：利用條件概率的乘法公式求解．P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案：B4．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶9次，若兩人同時(shí)射擊一目標(biāo)，則他們都中靶的概率是()A．eq\f(18,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)解析：設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，依題意知，P(A)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(9,10)，且A與B相互獨(dú)立．故他們都命中目標(biāo)的概率為P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(9,10)＝eq\f(18,25).答案：A5．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得樣本空間為S＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.解析：由題意知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(1,3)，則P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,3),\f(5,6))＝eq\f(2,5)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,5)eq\f(2,3)6．有一道數(shù)學(xué)難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決的概率是eq\f(1,2)，乙能解決的概率是eq\f(1,3)，兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率為_(kāi)_______，問(wèn)題得到解決的概率為_(kāi)_______．解析：甲、乙兩人都未能解決的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).問(wèn)題得到解決就是至少有1人能解決問(wèn)題，∴P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(2,3)7．一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假設(shè)生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中有男孩又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}，對(duì)下述兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個(gè)小孩；(2)家庭中有三個(gè)小孩．解：(1)有兩個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個(gè)基本事件，由等可能性知概率各為eq\f(1,4).這時(shí)A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).由此可知P(AB)≠P(A)P(B)．所以事件A，B不相互獨(dú)立．(2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為eq\f(1,8)，這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件，AB中含有3個(gè)基本事件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，顯然有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．從而事件A與B是相互獨(dú)立的．8．盒中裝有16個(gè)球，其中6個(gè)是玻璃球，10個(gè)是木質(zhì)球．玻璃球中有2個(gè)是紅色的，4個(gè)是藍(lán)色的；木質(zhì)球中有3個(gè)是紅色的，7個(gè)是藍(lán)色的．現(xiàn)從中任取1個(gè)，已知取到的是藍(lán)球，問(wèn)該球是玻璃球的概率是多少？解：將題目信息列表如下.類(lèi)別顏色玻璃球木質(zhì)球紅色23藍(lán)色47令事件A為任取一個(gè)球是藍(lán)球，令事件B為任取一個(gè)球?yàn)椴Ａ?，顯然事件AB為一個(gè)藍(lán)色的玻璃球．解法一由于任取一個(gè)球是等可能的，且A包含的基本事件數(shù)n(A)＝11，事件AB包含的基本事件數(shù)n(AB)＝4，故所求事件的概率P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(4,11).解法二由題意可知P(A)＝eq\f(4＋7,16)＝eq\f(11,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(4,16),\f(11,16))＝eq\f(4,11).1．一個(gè)袋中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸兩個(gè)球，則在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到黃球或黑球的概率為()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(7,9)解析：設(shè)第一次摸到紅球?yàn)槭录嗀，第二次摸到黃球或黑球?yàn)槭录﨎，則P(B|A)＝eq\f(2＋3,9)＝eq\f(5,9).答案：C2．已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件為一級(jí)品的概率為()A．75% B．96%C．72% D．78.125%解析：記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A，則P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－4%＝96%.記“任選一件產(chǎn)品是一級(jí)品”為事件B．由于一級(jí)品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%為一級(jí)品知P(B|A)＝75%.故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%.答案：C3．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，記轉(zhuǎn)盤(pán)甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤(pán)乙得到的數(shù)為y，由x，y構(gòu)成數(shù)對(duì)(x，y)，則所有數(shù)對(duì)(x，y)中滿(mǎn)足xy＝4的概率為_(kāi)_______．解析：滿(mǎn)足xy＝4的所有可能有x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.所以，所求事件的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16).答案：eq\f(3,16)4．如圖，四邊形EFGH是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地?cái)S到圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形HOE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)＝__________.解析：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,4)S正方形EFGH,S正方形EFGH)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)5．1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球．問(wèn)從2號(hào)箱中取出紅球的概率是多少？解：設(shè)“最后從2號(hào)箱中取出的是紅球”為事件A；記“從1號(hào)箱中取出的是紅球”為事件B．則P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝eq\f(1,3)，P(A|B)＝eq\f(3＋1,5＋3＋1)＝eq\f(4,9)，P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5＋3＋1)＝eq\f(1,3)，P(A)＝P(AB∪Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(AB)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).6．某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)，甲、乙、丙三人100m跑(互不影響)的成績(jī)?cè)?3s內(nèi)(稱(chēng)為合格)的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3).現(xiàn)對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè)，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？解：記“甲、乙、丙三人100m跑成績(jī)合格”分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，則P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率：P0＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有兩人合格的概率：P2＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(