2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題十二（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知集合A={x|x?+;/=1},3={丁|丁=尤2},則AB=()

A.[0,1]B.[0,+oo)C.{-1,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】

集合A={x|V+y2=i}是x的取值范圍，5={丁|丁=尤2}是函數(shù)的值域，分別求出再求交集.

【詳解】解：y2=l-x2>0,-1<x<l,5={y|y=/}=[0,+oo)

AB==[-l,l]f[0,+oo)=[0,1]

故選：A

【點(diǎn)睛】考查求等式中變量的范圍以及集合的交集運(yùn)算；基礎(chǔ)題.

2.已知復(fù)數(shù)(2+5)(3+。在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x上，則實(shí)數(shù)。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

化簡復(fù)數(shù)，求出對應(yīng)點(diǎn)，代入直線方程求解即可.

【詳解】因?yàn)?2+az')(3+z)=6—a+(2+3tz)z,

所以對應(yīng)的點(diǎn)為(6—a,2+3a),

代入直線V=x可得6-a=2+3。，

解得4=1,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，直線的方程，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

3.若loga〃<0(a>0且awl),2/外>1，則()

A.a>l,b>lB.Q<a<\,b>l

C.a>\,0<Z?<lD.0<Q<1,0<Z?<l

【答案】B

【解析】

【分析】

先由2/4>1得，b2-b>Q>又由匕>0,可得Z?〉l,而loga6<0,可得0<。<1

【詳解】解：因?yàn)?戶4>1，所以人>0，

因?yàn)閎>0,所以Z?〉l,

因?yàn)閘og°Z?<0,b>l,

所以0<。<1,

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查的是指數(shù)不等式和對數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題

4.我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的唇長損益相同（辱是依

據(jù)日影測定時(shí)刻的儀器，密長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及署長改變?nèi)鐖D所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣號

長削減或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的署長為一丈三尺五寸，夏至的署長為一尺五寸（一丈

等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（）

A.相鄰兩個(gè)節(jié)氣密長削減或增加的量為一尺

B.春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的辱長相同

C.立冬的署長為一丈五寸

D.立春的唇長比立秋的唇長短

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可知夏至到冬至的號長構(gòu)成等差數(shù)列，其中為=15寸，63=135寸，公差為d寸，可求出d,利

用等差數(shù)列學(xué)問即可推斷各選項(xiàng).

【詳解】由題意可知夏至到冬至的署長構(gòu)成等差數(shù)列{4},其中4=15寸，63=135寸，公差為d寸，則

135=15+124,

解得d=10（寸），

同理可知由冬至到夏至的號長構(gòu)成等差數(shù)列也J,首項(xiàng)［=135,末項(xiàng)九=15,公差d=—10（單位都為

寸）.

故選項(xiàng)A正確；

,春分的署長為57，二年=4+61=135-60=75

秋分的辱長為%，二%=%+6〃=15+60=75,所以B正確；

?.?立冬的署長為4。，；?%）=%+91=15+90=105,即立冬的號長為一丈五寸，C正確；

?.?立春的號長，立秋的號長分別為“，為，

%=%+3d=15+30=45,Z?4-b1+3d—135-30=105,

b4>a4,故D錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.

5.有三個(gè)筐，一個(gè)裝著柑子，一個(gè)裝著蘋果，一個(gè)裝著柑子和蘋果，包裝封好然后做“柑子”“蘋果”“混

裝”三個(gè)標(biāo)簽，分別貼到上述三個(gè)筐上，由于馬虎，結(jié)果全貼錯(cuò)了，則（）

A.從貼有“柑子”標(biāo)簽的筐里拿出一個(gè)水果，就能訂正全部的標(biāo)簽

B.從貼有“蘋果”標(biāo)簽的筐里拿出一個(gè)水果，就能訂正全部的標(biāo)簽

C.從貼有“混裝”標(biāo)簽的筐里拿出一個(gè)水果，就能訂正全部的標(biāo)簽

D.從其中一個(gè)筐里拿出一個(gè)水果，不行能訂正全部的標(biāo)簽

【答案】C

【解析】

【分析】

若從貼有“柑子”或“蘋果”標(biāo)簽的筐內(nèi)拿出一個(gè)水果，無法判定剩余水果是一種還是兩種，不能訂正全

部標(biāo)簽，若從“混裝”標(biāo)簽中取出一個(gè)，就能推斷其余兩個(gè)筐內(nèi)水果.

【詳解】假如從貼著蘋果標(biāo)簽的筐中拿出一個(gè)水果，假如拿的是柑子，就無法推斷這筐裝的全是柑子，還

是有蘋果和柑子；

同理從貼著柑子的筐中取出也無法推斷，因此應(yīng)從貼著蘋果和柑子的標(biāo)簽的筐中取出水果.

分兩種狀況：(1)假如取出的是柑子，那說明這筐全是柑子，則貼有柑子的那筐就是蘋果，貼有蘋果的那筐

就是蘋果和柑子.

(2)假如取出的是蘋果，那說明這筐全是蘋果，那貼有蘋果的那筐就是柑子，貼有柑子的那筐就是蘋果和柑

子.

故選：C

【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵在于，其中貼有混裝的這筐確定不是蘋果和柑子混在一起，所以能推斷不是蘋果

就是柑子，考查了邏輯推理實(shí)力，屬于簡潔題.

6.已知向量歷,2行)，將op繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到0P的位置，則()

A.(1,3)B.(-3,1)C.(3,1)D.(-1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)向量0P與x軸的夾角為a,結(jié)合三角函數(shù)的定義和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，求得

cosa,sina,cos(?+45°),sin(?+45°),得到點(diǎn)p的坐標(biāo)，進(jìn)而求得op.

【詳解】由題意，向量OP=(J5,20),則囪=屈,

則cosa=￡,sina=矍

設(shè)向量0P與X軸的夾角為a

VWVW

41y/22V2V2710

所以cos(a+45°)=cosacos450-sinasin45°

Vid2Tio210

2V2V2V2V23V10

sin(a+45°)=sinacos45°+cosasin45°=.——x---F—j=x——二------,

屈2屈210

可得口年05(￡+45。)=加工(—嚕)=—1,|OP|sin(a+45°)^^0x=3

所以O(shè)P=(—1,3).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示，以及三角函數(shù)的定義的應(yīng)用和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的

綜合應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.

n]

7.己知函數(shù)/（九）對隨意eR,都有2/（x+y）=/（x）/（y）,且/⑴=1,則^7六=（）

i=0j（I）

C.1,1cl

A.2n-lB.2"——C.1——D.2——

22n2"

【答案】B

【解析】

【分析】

利用賦值法再結(jié)合條件，即可得答案；

【詳解】由所求式子可得;'（0）/0,

/(0)/(0)

令x=y=0可得：y(0)=2=>/(0)=2,

令x=y=l可得：/(2)=/⑴"⑴」

令x—l,y—2可得：/(3)=

令x=y=2可得：/(4)="2>:⑵1

21

/（〃）=擊，

V-----=Y2,-1=2-1+2°+21++2"T=2------------=2"——'

占內(nèi)）占1-22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，等比數(shù)列求和，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化

歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意將抽象函數(shù)詳細(xì)化.

8.已知正四棱柱ABC。-A4GD，設(shè)直線4片與平面ACC】A所成的角為々，直線C"與直線4。所成

的角為夕，則（)

JT

A.B=2aB.a=213C.a-[3D.a+/3~—

【答案】D

【解析】

【分析】

分別在正四棱柱中找到a和夕，將a和尸放在同一個(gè)平面圖形中找關(guān)系即可.

【詳解】作正四棱柱A3CD—44G2如下圖:

；在正四棱柱ABCD-44￡口中，A4,，平面ABCR,

/.A41BtDt

?.?底面44GA是正方形

BQi±AC

又：A4]C4G=A

BXDX，平面

NgAO是直線A5]與平面ACG4所成的角，即/B|AO=a

?；CD.//A.B

.../BAG是直線CD{與直線AG所成的角，即NBAG=0

'：A}B=B.A,4。=用0,OA=OB

：.

NBACi=NABQ=0

?：月2，平面4耳G2

BtO1OA

冗

：.a+/3=AB,AO+^ABxO=-

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面和異面直線的夾角，屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題

9.隨著我國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和方式轉(zhuǎn)變，社會對高質(zhì)量人才的需求越來越大，因此考研現(xiàn)象在我國不斷升

溫.某高校一學(xué)院甲、乙兩個(gè)本科專業(yè)，探討生的報(bào)考和錄用狀況如下表，則

性別甲專業(yè)報(bào)考人數(shù)乙專業(yè)報(bào)考人數(shù)性別甲專業(yè)錄用率乙專業(yè)錄用率

男100400男25%45%

女300100女30%50%

A.甲專業(yè)比乙專業(yè)的錄用率高B.乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄用率高

C.男生比女生的錄用率高D.女生比男生的錄用率高

【答案】BC

【解析】

【分析】

依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，甲專業(yè)錄用了男生25人，女生90人；乙專業(yè)錄用了男生180人，女生50人；結(jié)合選

項(xiàng)可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得甲專業(yè)錄用了男生25人，女生90人；乙專業(yè)錄用了男生180人，女生50人；

甲專業(yè)的錄用率為-25+90-=28.75%,乙專業(yè)的錄用率為當(dāng)土亞=46%,所以乙專業(yè)比甲專業(yè)的錄

100+300400+100

用率高.

男生的錄用率為25+180=4%,女生的錄用率為90+50=35%,所以男生比女生的錄用率高.

100+400300+100

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查頻數(shù)分布表的理解，題目較為簡潔，明確錄用率的計(jì)算方式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考

查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

10.己知函數(shù)/（x）=sin（（9x+。）（口＞0,。＜。＜萬），將y=/（%）的圖像上全部點(diǎn)向左平移2個(gè)單位，然后

6

1JT

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的不，得到函數(shù)y=g（x）的圖像.若g（x）為偶函數(shù)，且最小正周期為一，

22

則（）

7TS77

A.丁=/（%）圖像關(guān)于點(diǎn)（-二,0）對稱B.Ax）在（0,二）單調(diào)遞增

X57cITSIT

C./00=8(；)在(0,—)有且僅有3個(gè)解D.g(x)在(一,一)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

24124

【答案】AC

【解析】

【分析】

依據(jù)題意求得啰=2,(p=~,進(jìn)而求得g(%)=cos4x,/(x)=sin(2x+-),然后對選項(xiàng)逐一推斷即可.

【詳解】解：將y=/(x)的圖像上全部點(diǎn)向左平移子個(gè)單位后變?yōu)椋簊in[ox+-^-+0J,

O

然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的人后變?yōu)椋簊in|20%+-^+

216

所以g(x)=sin120x+等+.

JTTT27r

因?yàn)間(x)的最小正周期為一，所以一=—,解得：＜9=2.

222a)

所以g(x)=sin[4x+]+o],

"llrll'll

又因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以彳+0=刀+而次eZ,所以夕=一+左左,keZ.

326

兀

因?yàn)?。?〈萬，所以。二一.

6

(冗\(yùn)冗

所以g(X)=sin[4x+]J=cos4x,/(%)=sin(2x+—).

jrjrjrTT

對于選項(xiàng)A,因?yàn)?(一二)=sin2(---)+—=sin0=0,所以y—f(-^)圖像關(guān)于點(diǎn)(-五,0)對稱,

12|_126_

故A正確.

對于選項(xiàng)3,因?yàn)閤e(0,9X)時(shí)，2x+Je[J,%],

12616J

設(shè)/=2x+?,則/=

因?yàn)?(')在]巳，兀]不是單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,^|)不單調(diào)遞增，

故6錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C,g(1)=cos2x,/(x)=sin(2x+?),畫出在(0,充)圖像如圖所示:

從圖中可以看出：在(0,紅)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，所以/(x)=g(±)在(0,組)有且僅有3個(gè)解,

\2)424

故C正確.

TT5冗

對于選項(xiàng)D,g(x)=cos4x在(一,—)的圖像如圖所示：

124

TTSir

從圖中可以看出g(x)在(一,——)有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

124

故選：AC

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的周期、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性等，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)

合的實(shí)力，計(jì)算實(shí)力等，屬于中檔題.

11.已知拋物線y2=2px(p>。)上三點(diǎn)A(XQI)，3。,2),C(x2,y2),歹為拋物線的焦點(diǎn)，則()

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-l

B.FA+FB+FC=0>貝1j|E4|，MW，成等差數(shù)列

C.若A,F,C三點(diǎn)共線，則為為=-1

D.若|A。=6,則AC的中點(diǎn)到了軸距離的最小值為2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

把點(diǎn)3(1,2)代入拋物線V=2°x即可得到本題答案；依據(jù)拋物線的定義，以及E4+EB+EC=0,可得

X,+X2=2,從而可證得網(wǎng)+陽=2網(wǎng)；由A,F,C三點(diǎn)共線，得含?二最色，結(jié)合

西=；靖遣2=：當(dāng)2,化簡即可得到本題答案；設(shè)”的中點(diǎn)為S|AF|+|CF|>|AC|,結(jié)合

=

|AF'I+1CF*|+l+x2+1=2x0+2,即可得到本題答案.

【詳解】把點(diǎn)5(1,2)代入拋物線y2=2。％,得p=2,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—l,故A正確；

因?yàn)锳(x”%),3(1,2),。(々，％)1(1,0),所以FA=(x「l,%),FB=(0,2),FC=(x2-l,y2),又由

FA+FB+FC=0<得再+%=2，

所以網(wǎng)+因=/+1+々+1=4=2閥，即網(wǎng)，網(wǎng)，因成等差數(shù)列,故B正確;

M%————=————

因?yàn)?F,。三點(diǎn)共線，所以直線斜率左轉(zhuǎn)=左CF，即17=4；，所以12[12]，化簡得，

xix24%TT

%%=-4,故C不正確；

設(shè)然的中點(diǎn)為M(5,%)，因?yàn)閨AF|+|CF|習(xí)AC|，|AF|+|CF|=%+1+W+1=2XO+2,所以

2x0+2>6,得/22,

即AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2,故D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用以及拋物線與直線的相關(guān)問題，考查學(xué)生的分析問題實(shí)力和轉(zhuǎn)化

實(shí)力.

12.己知函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+8),導(dǎo)函數(shù)為尸(x),#'(x)-/(x)=xlnx,則

B.在x=」處取得極大值

e

C.0</(1)<1D./(九)在(0,+。)單調(diào)遞增

【答案】ACD

【解析】

分析】

依據(jù)題意可設(shè)/(x)=gxln2x+bx,依據(jù)：求b,再求尸(x)推斷單調(diào)性求極值即可.

【詳解】：函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),導(dǎo)函數(shù)為/(%),礦(x)-/(x)=xlnx

即滿意

X2X

x2

/(x)=^-xln2x+/7x

1解得人=1

2eeee2

滿意0</(1)<1

;.c正確

1//f(x)=—In2x+lnx+—=—(lnx+1)2>0,且僅有/'f-j=0

222IeJ

...B錯(cuò)誤，A、D正確

故選：ACD

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，屬于中檔題.

三、填空題

13.(x+2y)(x—y)5的綻開式中爐>4的系數(shù)為.

【答案】-15

【解析】

【分析】

把(x->)5依據(jù)二項(xiàng)式定理綻開，可得(x+2y)(x-丁彳的綻開式中必、4的系數(shù).

【詳解】(x+2y)(x-4=(x+2y).(以./_仁,J,+犬丫2_以.+C^x'/-Cf-/)-

故它的綻開式中的系數(shù)為C：-2C；=-15,

故答案為：-15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知/是平面夕外的直線，給出下列三個(gè)論斷，①///a；②。，尸；③U0.以其中兩個(gè)論斷

為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個(gè)正確命題：.(用序號表示)

【答案】若①③，則②或若②③，則①(填寫一個(gè)即可)；

【解析】

【分析】

利用空間直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行推斷，H/a,。，分時(shí)，/與夕可能平行或者相交.

【詳解】因?yàn)?//a，。，分時(shí)，/與￡可能平行或者相交，所以①②作為條件，不能得出③；

因?yàn)?//a,所以a內(nèi)存在一條直線機(jī)與/平行，又I1/3,所以小，，，所以可得《，，，即①③作為

條件，可以得出②；

因?yàn)?，/?,所以///a或者/ua,因?yàn)?是平面a外的直線，所以///a,即即②③作為條件,

可以得出①；

故答案為：若①③，則②或若②③，則①(填寫一個(gè)即可)；

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的推斷，略微具有開放性，熟識空間的相關(guān)定理及模型是求解的關(guān)鍵,

側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).

22

15.已知雙曲線+—%=1(?！?,6〉0)過左焦點(diǎn)且垂直于》軸的直線與雙曲線交于「，。兩點(diǎn)，以P,Q

為圓心的兩圓與雙曲線的同一條漸近線相切，若兩圓的半徑之和為&a，則雙曲線的離心率為.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】

首先求RQ兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代人圓心到直線的距離，由已知條件建立等式求得2=苴，最終再求雙曲線的

a2

離心率.

22

【詳解】設(shè)E（—c,0）,當(dāng)x=-c，代人雙曲線方程二—當(dāng)—1，

a2b2

(-歐、

解得：y=±—，設(shè)尸一a一Q-c,

avcia,

b

依據(jù)對稱性，可設(shè)與兩圓相切的漸近線是y=—x,

a

bcb2bc+b2

則P,Q兩點(diǎn)到漸近線的距離\--\+\-\=島，

ob,上式去掉確定值為"上藝+變二生=氐，

CC

即2=好，那么￡=JI+'=2.

a2a\a22

.3

二雙曲線的離心率6=—.

2

3

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.

16.我國的西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢，實(shí)現(xiàn)了氣能源需求與供應(yīng)的東西部連接，工程建

設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好

有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經(jīng)過此拐角，從寬為2