2024年高考數(shù)學一輪復習基礎(chǔ)講義-超幾何分布與二項分布（解析版）

第46講超幾何分布與二項分布

1-二項分布

在?次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是P，此時稱

隨機變量X服從二項分布，記作XB",p）,并稱尸為成功概率

在〃次獨立重復試驗中，事件4恰好發(fā)生上次的概率2*=左）=。力（1-4\左=0,1,2n）

2.超幾何分布：

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取九件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發(fā)生的概率

p（x=k[=Mg-Mk=。,12m即

X01m

1f~\mf\n-m

P

5C'N

其中wi=min{M,〃},且,M<N,n,M,NGN*

如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布.

題型一：超幾何分布

1.（全國高二課時練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為123,4,5,6,還有4個同樣大小的白球，

編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：

①X表示取出的最大號碼；

②X表示取出的最小號碼；

③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；

④X表示取出的黑球個數(shù).

這四種變量中服從超幾何分布的是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

【答案】B

【詳解】

對于①，當X表示最大號碼，比如X=6表示從黑球編號為1,2,3,4,5中取3個黑球,

而X=8表示從6個黑球和編號為7的白球共7個球中取3個球,

故該隨機變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機變量不服從超幾何分布.

對于③，X的可能取值為4,5,6,7,8,

X=4表示取出4個白球；

X=5表示取出3個白球1個黑球;

X=6表示取出2個白球2個黑球;

X=7表示取出1個白球3個黑球;

X=8表示取出4個黑球；

因此X服從超幾何分布.

由超幾何分布的概念知④符合,

故選：B.

3

2.（全國高二課時練習）盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現(xiàn)從盒中隨機抽取4個，則概率是1G的事

件為（）

A.恰有1個是壞的B.4個全是好的

C.恰有2個是好的D.至多有2個是壞的

【答案】C

【詳解】

CY1

對于A,事件的概率為片;

do2

身」.

對于B,事件的概率為

C：。6’

C2C23

對于c,事件的概率為

do

29

對于D,事件的概率為

30

故選C.

3.（全國高二課時練習）下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（）

A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為X

B.從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，記選出女生的人數(shù)為X

C.某射手的射擊命中率為0.8,現(xiàn)對目標射擊1次，記命中的次數(shù)為X

D.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為X

【答案】B

【詳解】

解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機變量X服從超幾何分布.

故選：B.

4.（全國高二課時練習）袋中有除顏色外完全相同的3個白球和2個紅球，從中任取2個，那么下列事件

7

中發(fā)生的概率為歷的是（）

A.都不是白球

B.恰有1個白球

C.至少有1個白球

D.至多有1個白球

【答案】D

【詳解】

尸（都不是白球）=言=］，尸（恰有1個白球）=?，尸（至少有1個白球）=0。:0、="，尸（至多

.入-4+c'c'7

有1個白球)=2c2

10

故選：D.

5.（全國高二單元測試）在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10

個村莊中交通不方便的村莊數(shù),則下列概率中等于寫算的是（

)

A.P(X=2)B.P(X<2)

C.P(X=4)D.P(X<4)

【答案】c

【詳解】

X服從超幾何分布,P（x=k）=，故&=4,

故選：C.

6.（全國）一個班級共有30名學生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活

動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則P（X=2）+尸任=2）等于

ARGo+C；。

A.「3B.―-5—

C30C30

「+do（c*+c；。）.（c'o+cf0）

--區(qū)--&

【答案】C

【詳解】

由題得尸（X=2）=工滬，尸（Y=2）=,

。30。30

所以尸（X=2）+P（Y=2）=?；?。：CoGo.

。30

故選：C.

7.（全國高二單元測試）某社區(qū)為積極配合消防宣傳工作，準備成立由4名業(yè)主組成的志愿者招募宣傳隊，

現(xiàn)初步選定5男4女共9名業(yè)主為候選人，每名候選人被選為志愿者招募宣傳隊隊員的機會是相同的.記X

為女業(yè)主當選人數(shù)，求X的分布列.

【答案】分布列見解析.

【詳解】

由題意知，X的取值為0,1,2,,3,4的超幾何分布,

因此P(X=O)，=*,尸(x=D=詈琮

C912oC963

22（）曾

唳=2)=百cc$PX=3=10

63，

C=_L

P(X=4)=

^"126'

故X的分布列為：

X01234

52010101

P

126632163126

8.（全國高二單元測試）某校高二年級某班的物理課外活動小組有5名男生，4名女生，從中選出3人參

加物理競賽考試，用X表示其中男生的人數(shù).

（1）請列出X的分布列；

（2）求選出的3人中至少有2名男生的概率.

25

【答案】（1）分布列見解析；（2）

【詳解】

（1）依題意，得隨機變量X服從參數(shù)為9,3,5的超幾何分布，即X~"（9,3,5）,

1「（2sc2cxio03ro弓

因此P（x=o）=*=L,p（x=i）=*=2,p（x=2）=q=U,P（X=3）=#=2.

j'Cl21'v'Cl14'v'Cl21'v'Cl42

所以X的分布列為：

（2）由（1）中分布歹I」可知P（XN2）=P（X=2）+P（X=3）=/+K=||,

25

故選出的3人中至少有2名男生的概率是五.

9.（全國高二課時練習）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取1件，假設(shè)事件A“取出的

2件產(chǎn)品都是二等品”的概率P（A）=0.04.

（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；

（2）若該批產(chǎn)品共10件，從中任意抽取2件，X表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求X的分布列.

【答案】（1）02;（2）分布列見解析.

【詳解】

（1）設(shè)任取一件產(chǎn)品是二等品的概率為。，依題意有尸（A）=p2=Q04,

解得0=0.2或〃=一0.2（舍），

故從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率為02；

（2）若該批產(chǎn)品共10件，由（1）知其二等品有10x0.2=2（件），故X的可能取值為0、1、2,

尸(x=o)=3=||,*=1)窄M*X=2)咯1

Mo4,5owJo45

所以，隨機變量X的分布列如下表所示：

X012

28161

P

454545

題型二：二項分布

1.（全國）如果x3（15,：）,則使P（X=Q最大的左值（）

A.3B.4

C.4或5D.3或4

【答案】D

【詳解】

「上+1,1、女+1，3、14人一

V_15-k1

解.P(X=k)￡*.(5,(2產(chǎn)一"+13」守心

所以當晨3時，P(X=k+V)..P(X=k),

當左>4時，P(X=Z:+1)<P(X=6,

其中％=3時,P(X=k+l)=P(X=k),

從而％=3或4時，尸（X=A）取得最大值，

故選：D

B(4,g),則尸(X=2)=()

2.（全國高二單元測試）已知隨機變量X服從二項分布X

A1BcD-11

-2-1-i

【答案】C

【詳解】

P(X=2)=C：(1}2{1-1}2=1-

故選：C

3.(全國)已知隨機變量X服從二項分布8(3,手，當丘｛0,123｝時，P(X=k)的最大值是(

)

41

BcD.—

?-?27

【答案】B

【詳解】

解：因為隨機變量X服從二項分布8(3，!，

所以P(X=%)=《.(9彳產(chǎn)，丘｛0/23｝

所以P(X=())=《.①守得,

1o4

P(X=l)=C^(-)1-(-)2=-,

p(x=2)=ci(y.(|y=|,

尸—3)=《*(|)。=：,

4

???尸(X=6max=RX=l)=§,

故選：B.

4.(福建上杭一中)《乘風破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜爰的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團比賽的方式進行，

參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手

2

每場比賽獲勝的概率是§,則這名選手能參加決賽的概率是()

A%B也C受D這

'243'243'243'243

【答案】D

【詳解】

由題意可知五場中獲勝的場次X815,|],

所求選手能參加決賽的概率尸=c.mf+c；

故選：D

4

5.（福清西山學校高二期中）某籃球運動員每次投籃投中的概率是二,每次投籃的結(jié)果相互獨立，那么在

他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為加,則機的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【詳解】

記投籃命中的次數(shù)為隨機變量X,

由題意，X《10,：）,

則投籃命中加次的概率為P（X=〃2）=Ck（g）—）=c%

mm+l

'rm.A!71C^+i4加+IAA1〉4（10-m）

Jo什Ao>4Ao

Am-小+1

510510m+1

由＜,1得<,，即<

/.4根4機一]4（10-m+l）>]

10Am.

-5、AnAn-1、m

解得二4加4彳,又加eN,

因此加=8時，尸（X=加）=釜「機匚.4取陽最大值

即該運動員1。次投籃中，最有可能投中的次數(shù)為8次.

故選：D.

6.（全國高二專題練習）下列說法正確的個數(shù)是

①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個隨機變量，且X3（10,0.6）;

②某福彩中獎概率為〃，某人一次買了8張，中獎張數(shù)X是一個隨機變量，且X8（8,p）;

③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)X是隨機變量，且

XB[n，2

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【詳解】

①某同學投籃的命中率為0.6,該同學投籃10次，是一個獨立重復試驗，所以他10次投籃中命中的次數(shù)X

是一個隨機變量，且X8（10,0.6）,所以該命題正確；

②某福彩中獎概率為P,某人一次買了8張，相當于買了8次，每次中獎的概率都為P,相當于做了8次獨

立重復試驗，中獎張數(shù)X是一個隨機變量，且X8（8,p）,所以該命題正確；

③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球為止，所以它不是一個獨立

重復性試驗，因為當X=1時，概率為9,當X=2時，概率為,當X=3時，概率為:=：,

乙2Z4222o

依次類推，即每次試驗摸到白球的概率不相等，所以它不是獨立重復性試驗，所以X不服從8卜］］所以

該命題錯誤.

故選：C

7.（全國高二課時練習）若X5（6,1）,則使P（X=k）最大的k的值是（）

A.2B.3C.2或3D.4

【答案】B

【詳解】

解：p(x=k)=c>

尸(X=k+l)_CE'(/)6

則,得匕,2.5,

P(X=k)c：.(g)6

所以當左=2時，尸（X=2）=2，

04

70

當％=3時，尸（X=3）=x，

從而X=3時，P（X=k）取得最大值.

故選：B.

8.（全國（文））將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣?小球在

下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、

右兩邊下落的概率都是g，則小球落入A袋中的概率為（）

【答案】C

【詳解】

由于小球每次遇到黑色障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時，小球?qū)⒙淙階袋,

所以P（A）=C；］劭臼+咱=|-

故選：C.

9.（北京延慶?高二期中）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為:與P,且乙

投球2次均命中的概率為白.

16

（1）求甲投球2次，命中1次的概率；

（2）若乙投球3次，設(shè)命中的次數(shù)為X,求X的分布列.

4

【答案】（1）§；（2）答案見解析.

【詳解】

解：（1）設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,

則尸⑷=§,P（A）=-

故甲投球2次命中1次的概率為

P=P（A-A）+P（A）P（A）=|x|+|x1=^

（2）設(shè)“乙投球一次命中”為事件B.

11

由題意得P(a3)=P,P=”，解得P=：,

lo4

所以P(3)=；,P(B)=|

由題意得X服從80,；］,則

o

13

尸(X=0)=C；IX

4

1

尸(X=l)=c；&27

IX

64

P(X=3)=C；5,({I*

X0123

272791

P

64646464

10.(浙江麗水?高二課時練習)某單位舉辦2020年杭州亞運會知識宣傳活動，進行現(xiàn)場抽獎，盒中裝有9

張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“亞運會會徽”或“五環(huán)”圖案；抽獎規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片

兩張，若抽到兩張都是“五環(huán)”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復

進行.

(I)活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“五環(huán)”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“會

徽”卡的概率是工，求抽獎者獲獎的概率；

lo

(II)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎，用&表示獲獎的人數(shù)，求4的分布列及的值.

【答案】(I)J；(II)見解析

O

【詳解】

5C25

(I)設(shè)“會徽”卡有”張，因為從盒中抽取兩張都是“會徽”卡的概率是6