2024-2025學年高中數(shù)學第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法第1課時綜合法演練含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-其次章推理與證明2.2干脆證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法第1課時綜合法A級基礎鞏固一、選擇題1．若“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列推斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b與a＜b及a＝b中，至少有一個成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．其中正確推斷的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：因“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，則“a≠c，b≠c，a≠b”可能同時成立．所以③不正確，①，②正確．答案：C2．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，則f(－a)等于()A．b B．－b C.eq\f(1,b) D．－eq\f(1,b)解析：函數(shù)f(x)的定義域為{x|－1<x<1}，且f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：B3．命題“假如數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}肯定是等差數(shù)列”是否成立()A．不成立 B．成立C．不能斷定 D．與n取值有關解析：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－5又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1適合上式．∴an＝4n－5(n∈N*)，則an－an－1＝4(常數(shù))故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．答案：B4．若a，b∈R，則下面四個式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D.eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)解析：在B中，因為a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B5．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形態(tài)為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定解析：由于bcosC＋ccosB＝asinA，所以asinA＝a，從而sinA＝1.由A∈(0，π)，得A＝eq\f(π,2)，所以△ABC為直角三角形．答案：B二、填空題6．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)＝x－xlnx求導，得f′(x)＝－lnx，當x∈(0，1)時，f′(x)＝－lnx>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)”，應用了________的證明方法．解析：本命題的證明，利用題設條件和導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，經(jīng)推理論證得到了結論，所以應用的是綜合法的證明方法．答案：綜合法7．角A，B為△ABC內(nèi)角，A>B是sinA>sinB的________條件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B?a>b由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，從而sinA>sinB.因此A>B?a>b?sinA>sinB，為充要條件．答案：充要8．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p，q的大小關系為________．解析：因為p＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(（a－2）·\f(1,a－2))＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答題9．已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.證明：法一因為a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，所以a＋b≥2eq\r(ab)，所以eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4.當且僅當a＝b時，取“＝”號．法二因為a，b是正數(shù)，所以a＋b≥2eq\r(ab)>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0，所以(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4.又a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.當且僅當a＝b時，取“＝”號．法三eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.當且僅當a＝b時，取“＝”號．10．設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)y＝f(x＋1)與y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，求證：函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))為偶函數(shù)．證明：∵函數(shù)y＝f(x)與y＝f(x＋1)的圖象關于y軸對稱．∴f(x＋1)＝f(－x)則y＝f(x)的圖象關于x＝eq\f(1,2)對稱∴－eq\f(b,2a)＝eq\f(1,2)，∴a＝－b.則f(x)＝ax2－ax＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up10(2)＋c－eq\f(a,4)∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝ax2＋c－eq\f(a,4)為偶函數(shù)．B級實力提升1．不相等的三個數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項，y是b，c的等比中項，則x2，b2，y2三數(shù)()A．成等比數(shù)列，而非等差數(shù)列B．成等差數(shù)列，而非等比數(shù)列C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列解析：由題設得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，①,x2＝ab，②,y2＝bc.③))由②得a＝eq\f(x2,b)，由③得c＝eq\f(y2,b)，代入①得eq\f(x2,b)＋eq\f(y2,b)＝2b，所以x2＋y2＝2b2，故x2，b2，y2成等差數(shù)列．答案：B2．若不等式(－1)na＜2＋eq\f(（－1）n＋1,n)對隨意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當n為偶數(shù)時，則a＜2－eq\f(1,n)恒成立，所以a＜2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).①當n為奇數(shù)時，則a＞－2－eq\f(1,n)恒成立．又－2－eq\f(1,n)＜－2，因此a≥－2.②由①②知，－2≤a＜eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))3．(2024·山東卷)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求證：AC⊥FB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點．求證：GH∥平面ABC.證明：(1)因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF.如圖，連接DE.因為AE＝EC，D為AC的中點，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.