高數(shù)考試知識(shí)點(diǎn)歸納

高數(shù)考試知識(shí)點(diǎn)歸納

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)函數(shù)

O函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí)）（★★★）

。鄰域（去心鄰域）（★）

U（a?）={x||x-4<6}

={x|0<卜_々|<b}

第二節(jié)數(shù)列的極限

。數(shù)列極限的證明（★）

【題型示例】已知數(shù)列上},證明理伍}=〃

【證明示例】?N語言'

1-由氏化簡得〃>g（e）,

，N=[g（g）]

2.即對D￡>0,閂N=[g（￡）],當(dāng)〃〉N時(shí)，始終有不等式氏V￡成立，

lim{x}=a

X->00M

第三節(jié)函數(shù)的極限

Oxf/時(shí)函數(shù)極限的證明（★）

【題型示例】已知函數(shù)/Q）,證明lim/G）=A

x->“0

【證明示例】￡與語言

1?由|〃力一d<￡化簡得0<|x—/|vg（￡）,

??§=g（￡）

2.即對Ve>0,mS=g（￡）,當(dāng)0<忖-與|<5時(shí)，始終有不等式-小<￡成立,

lim/（x）=A

KT.”

OXT8時(shí)函數(shù)極限的證明（★）

【題型示例】已知函數(shù)/㈤,證明lim/?（%）=A

【證明示例】?X語言

1-由|/（x）-4|<￡化簡得|x|>g（￡）,

?,x=g（￡）

2.即對V￡>0,IY=g（￡）,當(dāng)W>X時(shí)，始終有不等式-d<￡成立，

?e?lim/（x）=A

第四節(jié)無窮小與無窮大

。無窮小與無窮大的本質(zhì)(★)

函數(shù)小)無窮小=lim/(x)=0

函數(shù)f(x)無窮大<=>1皿/(x)=oo

。無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論(★★)

(定理三)假設(shè)/⑴為有界函數(shù)，小)為無窮小，則lim[/(x).g(x)]=O

(定理四)在自變量的某個(gè)變化過程中，若/⑴為無窮大，則尸(x)為無窮

??；反之，若73為無窮小，且/(九)工0,則尸⑴為無窮大

【題型小例】計(jì)算：(或x->oo)

1.?**|/(x)|WM:.函數(shù)/㈤在%=兩的任一去心鄰域6&M內(nèi)是有界的;

(V|/(x)|WM,?，?函數(shù)/㈤在％上有界;)

2.limg(x)=O即函數(shù)g(x)是if/時(shí)的無窮?。?/p>

(limg(x)=0即函數(shù)g(x)是x—8時(shí)的無窮小；)

3.由定理可知Iim[/(x)-^(x)]=O

(則[f(x).g(明=0)

第五節(jié)極限運(yùn)算法則

O極限的四則運(yùn)算法則(★★)

(定理一)加減法則

(定理二)乘除法則

關(guān)于多項(xiàng)式p(x)、夕⑴商式的極限運(yùn)算

m

p(x)-aox+

q{x)=+31+...+bn

00n<m

則有11幽」

m￡on=m

…q(x)b°

0n>m

/(一)

g伉)WO

/x

lrim-=<8gU)=0J(%)，0

』g(M0

0g(x())=/(%)=。

（特別地，當(dāng)?shù)?&=。（不定型）時(shí)，通常分子分母約去公因式即約去可

Xf%g（x）0

去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）

【題型示例】求值勤言

【求解示例】解：因?yàn)椤?,從而可得門3,所以原式

x—3..X-3..I

hm^：---=lim-：---------r=hm----

-t->3x--913(1+3)(工-3)*T3X+36

其中I=3為函數(shù)〃x）=言的可去間斷點(diǎn)

倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則表解（詳見第三章第二節(jié)）:

0,

航..x-36（x-3）11

用半：hm—=hm------=hm—=—

13d—9〃13（工2xf32冗6

。連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（★★）

（定理五）若函數(shù)f（x）是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，變/［以切=/［變夕（力］

【題型示例】求值：lim、室

x->3VX-9

【求解示例】呵口=隔二《,

x->3Vx-9V-v->3x2-9V66

第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

。夾迫準(zhǔn)則（P53）（★★★）

第一個(gè)重要極限：lim皿=1

KTOx

??一(八江、??sinx

?VAG0,—,sinx<x<tanx??rlim----

I2)iox

riliml

=lim--=——

nsinxx^°sinx(sinx

---lim-

Xx->olX

（特別地,lim皿工1)

x-xQ

。單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57）（★★★）

第二個(gè)重要極限：+

X）

(一般地，lim[/⑼則=[limf(x)『g%其中l(wèi)im/(x)>0)

【題型示例】求值：聞，2x+3

1-*力<2x+l

【求解示例】

X4-I

2X-F32x+l+2

解：lim=lim|=lim

2x4-1X->cc2x+l2x>l->oo

2x+l2,、

丁罰t")

2

lim1+=lim

2.v+l->?\2x+\"J

2KlM島司r2]

22

=e

2x+l

hm-——.

麗142KlJ=3=e

第七節(jié)一無窮小量的階(無窮小的比較)

。等價(jià)無窮小(★★)

?U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(l+U)

~(e"T

2.it/2~1-cost/

2

(乘除可替，加減不行)

ln(l+x)+xln(l+x)

【題型示例】求值：lim

XTO

【求解示例】

ln(l+x)+xln(l+x)

解：因?yàn)閤f0,即XHO,所以原式=lim

x->0A-2+3x

..(1+x)ln(l+x)「(l+x)x..x+11

=lim------7——三——-=hm=lim-------=-

*>0A(A+3)*>。A-(x+3)*>0X+33

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

。函數(shù)連續(xù)的定義（★）

lim/（x）=lim/（x）=/（x0）

XT%）與

。間斷點(diǎn)的分類（P67）（★）

跳越間斷點(diǎn)（不等）

第一類間斷點(diǎn)（左右瞰存在乂

〔可去間斷點(diǎn)（相等）（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去

第二類間斷篇

無窮間斷點(diǎn)（極限為0）

相應(yīng)公因式）

2x

【題型示例】設(shè)函數(shù)應(yīng)該怎樣選擇數(shù)〃，使得了⑴成為在R上

a+xx>0

的連續(xù)函數(shù)？

【求解示例】

f/(0')=e2^=el=e

1??(o+)=a+o+=q

40)=4

2.由連續(xù)函數(shù)定義lun/(x)=lim/(x)=/(0)=e

第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

O零點(diǎn)定理(★)

【題型示例】證明：方程〃x)=g(x)+C至少有一個(gè)根介于〃與b之間

【證明示例】

1.(建立輔助函數(shù))函數(shù)e(x)=/(x)-g(x)-C在閉區(qū)間[〃,以上連續(xù)；

2.?.■夕⑷/0)<0(端點(diǎn)異號)

3./.由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間(〃力)內(nèi)至少有一點(diǎn)一使得痣)=0,即/⑷-g@-c=o

(0<4<l)

4.這等式說明方程"X)=g(x)+C在開區(qū)間(4㈤內(nèi)至少有一個(gè)根4

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

。高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(P83)(★★)

【題型示例】已知函數(shù)f(x)=『+i,在％=0處可導(dǎo)，求〃，b

[ax+bx>0

【求解示例】

1??/(0)1=1[/(0)=^+1=?+1=2

*|/：(0)=?，/…

/(0)=e°+l=2

2.由函數(shù)可導(dǎo)定義/⑼

/(0-)=/(0+)=/(0)=Z,=2

a=l,b=2

【題型示例】求尸/⑺在x=〃處的切線與法線方程

(或：過y=/(x)圖像上點(diǎn)(叫處的切線與法線方程)

【求解示例】

，=1

1-yf（x）,y\x_a=f（a）

2.切線方程：y-/（a）=r（a）（x—a）

法線方程：y-f（a）=--L-^X-a）

第二節(jié)函數(shù)的和（差”積與商的求導(dǎo)法則

O函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（★★★）

1.線性組合（定理一）:（au±/3v）,=au+ftv,

特別地，當(dāng)a=￡=l時(shí)，有（〃土uy=M±M

2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：（-），=八+/

f

3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）：閨=史零：

第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

。反函數(shù)的求導(dǎo)法則（★）

【題型示例】求函數(shù)尸⑴的導(dǎo)數(shù)

【求解示例】由題可得/⑴為直接函數(shù)，其在定于域。上單調(diào)、可導(dǎo)，且尸3工0；

⑼=力

。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（★★★）

【題型示例】設(shè)尸￡尸向+廬可，求y，

【求解示例】

第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

。*（1）=[?）]'（或翳=仁?。ā铮?/p>

【題型示例】求函數(shù)y=ln（l+x）的〃階導(dǎo)數(shù)

【求解小例】y=」—=(i+x)”，

/=[(1+J)-，]=(-l)(l+x)-2,

H(7).(1+“)['=(T).(_2)L

y（”）=（_1）1.（〃_］）!.（］+幻-n

第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

O隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對X求導(dǎo)）（★★★）

【題型示例】試求：方程y=x+e'所給定的曲線C:二山）在點(diǎn)（1-段1）的切線方程

與法線方程

【求解示例】由y=x+e,兩邊對％求導(dǎo)

即V=/+（e'）化簡得V=l+e，R

/.y=A=—

l-e

???切線方程：y-1=—^―（x-1+e）

l-e

法線方程：=

。參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)

【題型示例】設(shè)參數(shù)方程f=弓’［,求色

b=/Wdx~

【求解示例】1.%照2.g=顯

第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）

第七節(jié)函數(shù)的微分

?；境醯群瘮?shù)微分公式與微分運(yùn)算法則（★★★）

dy=f\x）-dx

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第一節(jié)中值定理

O引理（費(fèi)馬引理）（★）

。羅爾定理（★★★）

【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)〃力在［0,句上連續(xù)，在（0㈤上可導(dǎo)，試證明：*?0,萬）,

使得f3）cosj+r（4）sin4=0成立

【證明示例】

1.（建立輔助函數(shù)）令e（x）=f（x）sinx

顯然函數(shù)e（x）在閉區(qū)間［0,句上連續(xù)，在開區(qū)間（0,”）上可導(dǎo)：

2.又\?°（0）=/（0）sin0=0

°（萬）=/（;r）sin；T=O

艮|j°（0）=（p（7t）=0

3.???由羅爾定理知

.€（0,萬）,使得/（4）cosJ+r?sin4=0成立

。拉格朗日中值定理（★）

【題型示例】證明不等式：當(dāng)入,1時(shí)，/"X

【證明示例】

1.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)=則對Vx>l,顯然函數(shù)在閉區(qū)間［1,同上

連續(xù),在開區(qū)間（1,力上可導(dǎo),并且廣（"）="：

2.由拉格朗日中值定理可得，結(jié)式1,可使得等式，-4=（戈-1）新成立，

又??/>3,ex—e1>（x—l）e'=ex—e,

化簡得即證得：當(dāng)x>l時(shí)，

【題型示例】證明不等式：當(dāng)”0時(shí)，ln（l+x）vx

【證明示例】

1.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)〃%）=ln（l+x）,則對Vx>0,函數(shù)/（x）在閉區(qū)間［0,可上

連續(xù)，在開區(qū)間（o,句上可導(dǎo)，并且r（?二出；

1

2.由拉格朗日中值定理可得,人?0,司使得等式ln（l+%）-ln（l+0）=(x-O)成立,

1+4

化簡得In（1十八）=y^入，又,:《三［0,大］,

?'?1,/?ln（14-x）<lx=x,

即證得：當(dāng)時(shí)，

第二節(jié)羅比達(dá)法則

O運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（★★）

L☆等價(jià)無窮小的替換（以簡化運(yùn)算）

2.判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件

A.屬于兩大基本不定型（*藝）且滿足條件，則進(jìn)行運(yùn)算：

0co

..../(力

hm-=lim—

ig(x)-^'(x)

(再進(jìn)行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出)

B.☆不屬于兩大基本不定型(轉(zhuǎn)化為基本不定型)

(1)0.8型(轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式)

【題型小例】求值：limdnx

XTO

【求解示例】

解：limxa\nx=lim=lim0r＞一)=limX

ai

XTOX-M)1L'XTOZ-YXTOax

-limxa=O

a

(一'般地，li聯(lián)a.(lnx)"=O,其中a/wR)

(2)8一8型(通分構(gòu)造分式，觀察分母)

【題型示例】求值：lim(—

【求解示例】

解：］而(=上網(wǎng)q=］im(上型］

lolsinix)x-sinx)x^\x)

(XSinX)Z1COSX(1COSX

ilim-=lim-ilim-Llim^=0⑶。。型(對數(shù)求極限法)

ux—>o(2yx->o2x匕x—>0(2x)'XTO2

【題型示例】求值：lim/

XTO

【求解示例】

解：設(shè)y=x\兩邊取對數(shù)得：lny=lnV=xln.v=-5^p

,:,⑷r型(對數(shù)求極限法)

對對數(shù)取f00寸的極限：lii?0n力=lim?！?lim”

】IjJ

\_

==-limx=0,從而有l(wèi)imy=lim3"=/叫"=e°=1

x-M)Ix-M).T-M)X->0

X

【題型不例】求值：lim(cos%+sinx)；

XTO''

【求解示例】

解：令y=(8Sx+sin兩邊取對數(shù)得Iny=呵弋+即1,

對iny^jcf(M的極限,limIny=lim”化吟+力力

XTOXTOx

%[ln(cosx+sinx)]'cosA;-sinx1-0?口而國舛

=hm----------------------—=lim----------------=------=1,從而可得

cz(xjx-cosx+sinx1+0

limy=limeln)=』曾"=el=e

.r-fOx-M)

⑸8。型(對數(shù)求極限法)

/1\tanx

【題型示例】求值：lim（」

1。⑴

【求解示例】

，兩邊取對數(shù)得Iny=tanx/np）,

解：令y

對Iny求x->Offt的極限,limIny=limtanx-ln

.v->0XTO

8,J

Inx《..(Inx)

=-hrm7------r-=-hm----------=-hmX

XTO(1\I：x-*Oz|yXT0sec2x

tan2x

0

..sin2xosin2x2sinxcosx八

lim-------=hm------=lim-----------------=U,

L，1

XTOxx-*oxzO1

…lim\ny

從而可得limy=lim*)=6-=e0=\

x->0x->0

O運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路（★★）

00°

00—8-^6^^0.OO3

r

00

oo°

oo

⑴通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無窮小的替換）

⑵取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）

⑶取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）

第三節(jié)泰勒中值定理（不作要求）

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性

。連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（★★★）

【題型示例】試確定函數(shù)〃x）=2八9/+12>3的單調(diào)區(qū)間

【求解示例】

L???函數(shù)/（力在其定義域R上連續(xù)，且可導(dǎo)

:.r（x）=6x2-18X+12

2.令r(x)=6(x-l)(x-2)=0,解得：XI=1,X2=2

3.(三行表)

S/)(1,2)(2,”)

X12

ra)+0—0+

極大極小

/w

/值值/

4./.函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(YO,1],[2,+CO)；

單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)

【題型示例】證明：當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+\

【證明示例】

1.(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè)夕=-1,(x>0)

2.d(x)=ev-1>0,(x>0)

:,°(x)>e(o)=o

3.既證：當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+\

【題型不例】證明：當(dāng)x>0時(shí)，ln(l+x)<x

【證明示例】

1.(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè)0(x)=ln(l+x)-%,(x>0)

2.(p'(x\=---1<0>(x>0)

:.°(x)＜夕(0)=0

3.既證：當(dāng)為＞0時(shí)，ln(l+力vx

。連續(xù)函數(shù)凹凸性(★★★)

【題型示例】試討論函數(shù)y=l+3f的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)

【證明示例】

y'=-3x2+6x=-3x(x-2)

/=-6X+6=-6(X-1)

X|=0,X2~2

2.令解得:

x=l

3.(四行表)

XS,0)0(0,1)1(1,2)2(2收)

/

y—0++0—

/

y"++—/—

y1J(1.3)r5

4.⑴函數(shù)>=1+3/7單調(diào)遞增區(qū)間為(OJ),(1,2)單調(diào)遞增區(qū)間為(~oo,0),(2,+oo);

⑵函數(shù)y=l+3x2_V的極小值在x=0時(shí)取到，為/⑼=i,

極大值在>2時(shí)取到，為"2)=5;

⑶函數(shù))，=1+3/_/在區(qū)間y,o),(0,1)上凹,在區(qū)間(1,2),(2,二)上凸;

⑷函數(shù)y=l+3f_丁的拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1J)

第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值

。函數(shù)的極值與最值的關(guān)系(★★★)

⑴設(shè)函數(shù)“力的定義域?yàn)閆),如果加的某個(gè)鄰域U(4)uD,使得對VxeU(%),

都適合不等式

我們則稱函數(shù)/(力在點(diǎn)(均)］處有極大值f{xM);

令如￡{々/1，//2，七03-巧新}

則函數(shù)“力在閉區(qū)間回上的最大值M滿足：

M=max{/(a),不⑼，為2，%3，…，加J3)}；

⑵設(shè)函數(shù)7(力的定義域?yàn)?。，如?的某個(gè)鄰域U8)u。，使得對

都適合不等式“X)>/(4)，

我們則稱函數(shù)/(X)在點(diǎn)\_xnJ(4)］處有極小值/(%);

YXmW{%，42，加，…，}

則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［〃,句上的最小值加滿足：

m=min{/(a),%,xm7,加，…>J3)};

【題型示例】求函數(shù)“力=3%-丁在［-1,3］上的最值

【求解示例】

1.??,函數(shù)/(力在其定義域［T3］上連續(xù)，且可導(dǎo)

，/(力=-3/+3

2.令r(x)=-3(x-l)(x+l)=0,

解得：百=-1,々=1

3.(三行表)

(Tl)

X-11(問

0+0—

極小極大

/⑺

值/值

4.又T/（—l）=—2J⑴=2，〃3）=—18

"⑸皿"（1）=2J（＜L=/⑶=-18

第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪（不作要求）

第七節(jié)曲率（不作要求）

第八節(jié)方程的近似解（不作要求）

第四章不定積分

第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)

。原函數(shù)與不定積分的概念（★★）

⑴原函數(shù)的概念：

假設(shè)在定義區(qū)間/上，可導(dǎo)函數(shù)尸（力的導(dǎo)函數(shù)為尸（力，即當(dāng)自變量工￡/

時(shí)，有尸（“）=/（引或成立，則稱尸⑺為/（大）的一個(gè)原函數(shù)

⑵原函數(shù)存在定理：（★★）

如果函數(shù)“力在定義區(qū)間/上連續(xù)，則在/上必存在可導(dǎo)函數(shù)網(wǎng)力使得

F（x）=/（x）,也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導(dǎo)必連續(xù)）

⑶不定積分的概念（★★）

在定義區(qū)間/上，函數(shù)”力的帶有任意常數(shù)項(xiàng)。的原函數(shù)稱為在定

義區(qū)間/上的不定積分，即表示為：//（工協(xié)=網(wǎng)力+。

（J稱為積分號，“X）稱為被積函數(shù)，"⑼公稱為積分表達(dá)式，）?則稱為積分

變量）

?；痉e分表（★★★）

O不定積分的線性性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式）（★★★）

J.（X）+&g（x）K=4J/（浜+Mg（加

第二節(jié)換元積分法

。第一類換元法（湊微分）（★★★）

（力=/（。公的逆向應(yīng)用）

J/［。（力］"（力公=J“?。?/p>

【題型示例】求

Ja~+X-

【求解示例】

【題型示例】求1/，戊

【求解示例】

解:=/冊或2x+l）=J47r/（2川）

=j2x+\+C

。第二類換元法（去根式）（★★）

（dy=/⑴心的正向應(yīng)用）

⑴對于一次根式（"0/wR）:

\lax+b:令t=dcix+b，于是x=-———，

a

則原式可化為,

⑵對于根號下平方和的形式以＞0）：

7777：令”yTY），

于是￡=arctan-，則原式可化為asecl;

⑶對于根號下平方差的形式以＞0）：

a.\la2-x2:令x=osinz(--</<—),

22

于是f=arcsinL則原式可化為acosr;

a

b.yjx2-a2:令x=asecl(0</<—),

2

于是f=arccosj則原式可化為atan/；

x

【題型示例】

求J高公一次根式）

【求解示例】

解：f.rdx—1?號~~?[―-tdt=fdt=t+C=+1+C【題型示例】求JJH公（三角換元）

JV2x+1TTJr」

dx-td!

【求解示例】

解：j\/a2-ATdx—二叫一)：<[)—>Jcos?皿='](1+cos2t)dt

rarcsin”2

dx=aa?t

CJ~(1.__(1~z\_

=—r+-sin2/+C=——(/+sin/cos/)+C

212)2，)

第三節(jié)分部積分法

。分部積分法(★★)

⑴設(shè)函數(shù)〃=/(x),u=g(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：

jU(lv=UV-^vdu

⑵分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對、幕、三、指”

。運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基本步驟：

⑴遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；

⑵就近湊微分：(小公=小)

⑶使用分部積分公式：\udv=uv-\vdu

⑷展開尾項(xiàng)上=Ju，/公，判斷

a.若,〃以是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算出答案(容易表示使用

基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果)；

b.若卜“公依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重

復(fù)⑵、⑶，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，

則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)C

【題型示例】求『工公

【求解示例】

解：Jex-x2dx=Jx2exdx=Jx2dex=x2ex-Jexd(x2)

=x2ex-2jxexdx=-2Jxd(婕)

=x2ex-2xex+2jexdx=jcex—2xex+2ex+C

【題型示例】求『.sinju/v

【求解示例】

解：Je*?sinxdx=-Jexd(cosx)=-excosx+JcosM卜，)

=-excosx+Je、cosxdx=-excosx+Jexd(sinx)

=-excosx+exsinx-JsinM(e，)

=-excosx+exsinx-jexsinxdx

即:Jsinxdx=-excosx+exsinx-jsinxd(1)

Jex-sinxdx=-ev(sinx-cosx)+C

第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分

O有理函數(shù)(★)

設(shè).尸=

?Q(x)夕(x)=%r"+b/"T+…+"

對于有理函數(shù)易’當(dāng)「("的次數(shù)小于Q(x)的次數(shù)時(shí)‘有理函數(shù)制是真分

式；當(dāng)P（M的次數(shù)大于°a）的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)需是假分式

。有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（★）,

⑴將有理函數(shù)器的分母Q（x）分拆成兩個(gè)沒有公因式的多項(xiàng)式的乘積：其中

一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為一次因式（%-”；而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為二次

質(zhì)因式+px+g），（p1-4（7<O）;

即:Q(X)=Q(X)Q2(X)

一般地：/nx+n=m\L，則參數(shù)〃=一巴

VfnJ，n

,(bcA

ax~2+Z?x+c=ax2+—x+—

\aa)

貝(J參數(shù)〃=2,9，

aa

⑵則設(shè)有理函數(shù)型的分拆和式為：

。(力

-p-(-x)-_十-6-(-x-)------外--⑺---

。(“)(1一“(x2+px+q^

其中

<3=A+—_+…+4

x-a(x-a)2

修(x)_MX+N|,MX+N

7--------7=-2--------+----2-----2-7

(f+px+q)x+px+q(f+px+g)

+...+Mi、

（x2+px+qj

參數(shù)4甘由待定系數(shù)法（比較法）求出

⑶得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解

【題型示例】求〕。（構(gòu)造法）

JX+1

【求解示例】

=^xdx-^dr+11dx=-x2-x+ln(x+l)+C

7+T2

第五節(jié)積分表的使用（不作要求）

第五章定積分極其應(yīng)用

第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

。定積分的定義（★）

〕：/"世=!吧￡/（。加=/

/=1

（/⑴稱為被積函數(shù)，/（x）公稱為被積表達(dá)式，X則稱為積分變量，〃稱為積

分下限，人稱為積分上限，回句稱為積分區(qū)間）

O定積分的性質(zhì)（★★★）

⑴I：，（“岫=J：，（"M"

（2）=0

（3）fW（x）性=比/（浜

（4）（線性性質(zhì)）

f（x）+hg3W=4J：小9+&J：g（大灶

（5）（積分區(qū)間的可加性）““

￡f"）dx=￡f（x）dx+J：f［x\ix

⑹若函數(shù)在積分區(qū)間［則上滿足/（x）>0,貝叮：/（xg>0;

（推論一）