2024-2025學年浙江省杭州市高二上冊階段性測試數(shù)學試題（含解析）

2024-2025學年浙江省杭州市高二上學期階段性測試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可設(shè)向量與的夾角為，因為，，且，所以，得，所以，所以，因為，所以，故選：A2.已知、、是三個不同的平面，、、是三條不同的直線，則（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，且，則【正確答案】B【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.對于A：若，，則或與相交或與異面，故A錯誤；對于B：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，若，且，，則，故B正確；對于C：若，，則，又，則或與相交或與異面，故C錯誤；對于D：若，且，則或，故D錯誤.故選：B3.設(shè)點，點C關(guān)于面對稱的點為D，則線段的中點P到點D的距離為（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】求出對稱點和中點坐標，由兩點間距離公式計算．點C，D關(guān)于面對稱,則有，由中點坐標公式得的中點的坐標為，所以．故選：C．4.“”是“兩條直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)直線平行的等價條件求出，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．因為兩條直線平行，所以直線斜率相等或斜率不存在，當兩直線斜率不存在時，即，兩直線為x=1，成立；當兩直線斜率存在時，即，解得，兩直線成立，綜上或.所以“”是“兩條直線平行”的充分不必要條件.故選：A.5.已知點，，若直線：與線段有公共點，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)直線：過定點，求出，再根據(jù)直線：與線段有公共點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.解：如圖所示：直線：過定點，，因為直線：與線段有公共點，所以，故選：D6.圓錐的底面半徑為，高為2，點是底面直徑所對弧的中點，點是母線的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得正確答案.設(shè)是圓錐底面圓心，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設(shè)直線與所成角為，則.故選：B7.正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將平面與平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，建立空間直角坐標系，，然后用空間向量求解由正方體的性質(zhì)：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面的距離．以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：由正方體的棱長為1，所以，，，，，所以，，，．連接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離：．故選：D.8.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（）A B. C. D.1【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標系，借助空間向量求出點到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值作答.由題意以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為正方體棱長為1，，所以，不妨設(shè)，所以，而，所以點到直線投影數(shù)量的絕對值為，所以點到直線距離，等號成立當且僅當，即點到直線距離的最小值為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知空間向量，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若在上的投影向量為，則D.若與夾角為銳角，則【正確答案】ABD【分析】對于A：結(jié)合向量垂直的性質(zhì)即可求解；對于B：結(jié)合向量的四則運算即可求解；對于C：利用投影的幾何意義即可求解；對于D：根據(jù)向量的夾角公式即可求解.對于A：，，即：，解得.故A選項正確；對于B：，，解得.故B選項正確；對于C：在上的投影向量為：，即，代入坐標化簡可得：，無解，故C選項錯誤；對于D：與夾角為銳角，，解得：，且與不共線，即，解得：，所以與夾角為銳角時，解得.故D選項正確；故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2B.點關(guān)于直線的對稱點為C.過，兩點的直線方程為D.經(jīng)過點且在x軸和軸上截距都相等的直線方程為【正確答案】AB【分析】對選項A，分別令和，求出直線與坐標軸交點，再結(jié)合面積公式判斷即可；對選項B，求出對稱點坐標即可判斷；對選項C特殊情況不成立；對選項D，缺少過原點的直線．A．令得，令得，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，正確；B．設(shè)關(guān)于直線對稱點坐標為，則，解得，正確；C．兩點式使用的前提是，錯誤；D．經(jīng)過點且在x軸和軸上截距都相等的直線還有過原點的直線，錯誤．故選：AB．11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則下列選項正確的是（）A.直線與直線平行B.直線與底面所成的角為C.直線與直線距離為D.直線到平面的距離為【正確答案】ACD【分析】利用平行公理4，線面角的定義，等面積法，等體積法等逐一判斷每個選項即可．以D為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則對于選項A：且不是同一條直線，，正確；對于選項B：底面的一個法向量為，設(shè)直線與底面所成的角為，則，故直線與底面所成的角不為，錯誤；對于選項C：，在中，，所以到的距離為，即直線與直線的距離為，正確；對于選項D：由A得面，面，所以面，到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)為．則三棱錐的體積等于三棱錐的體積，在正方體中，又到平面的距離即為棱長2，所以：，在中，，所以．即．即直線到平面的距離為．正確．故選：ACD．關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標系，利用向量法證明線線平行，以及求解線面夾角的余弦值，再結(jié)合等體積法求解點到平面的距離.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.無論為何值，直線必過定點坐標為__【正確答案】【分析】把直線方程變形可得，聯(lián)立方程組，即可求解.根據(jù)題意，直線，即，變形可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線必過定點.故答案為.13.在四面體ABCD中，，，，，，，則四面體ABCD的外接球的表面積為______，四面體ABCD的體積為______.【正確答案】①.②.1【分析】勾股定理判斷出、為直角三角形，取BD的中點O，O為四面體ABCD的外接球的球心，可求得四面體ABCD的外接球的表面積；將四面體ABCD補成直三棱柱，根據(jù)求出體積.在四面體ABCD中，，，，，，因為，所以為直角三角形，因為，所以為直角三角形，取BD中點O，則，所以O(shè)為四面體ABCD的外接球的球心，則BD為四面體ABCD的外接球的直徑，所以四面體ABCD的外接球的表面積為；將四面體ABCD補成直三棱柱，如圖，，，，，所以，，所以，即，故四面體ABCD的體積為.故；1.方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.14.在空間直角坐標系中，定義：平面的一般方程為，點到平面的距離，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于________．【正確答案】【分析】以底面中心為原點建立空間直角坐標系，求出點的坐標，求出側(cè)面的方程，最后利用所給公式計算即可．如圖，以底面中心為原點建立空間直角坐標系，則，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的方程為，將坐標代入計算得解得，，，，即，．故本題主要考查點、線、面間的距離計算、空間直角坐標系的應用、空間直角坐標系中點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知直線l過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點．（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值．【正確答案】（1）或（2）4【分析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過的點及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或．法二：設(shè)直線，，則，．則，∴或﹣8所以直線或．【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，此時，．∴面積的最小值為4，此時直線．法二：∵，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線．16.如圖，把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，點E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，點O是原正方形ABCD的中心.（1）求證：平面EOF；（2）求直線CD與平面DOF所成角的大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可得證；（2）由線面角的定義可得直線CD與平面DOF所成的角為，解三角形可求得答案.【小問1詳解】證明：∵點O是原正方形ABCD的中心，∴O為AC的中點，∵點F為BC的中點，，又平面EOF，平面EOF，平面EOF.【小問2詳解】解：，，，，，∵把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，平面ABC，又平面ABC，，，平面DOF，∴直線CD與平面DOF所成的角為，，∴在中，，，即直線CD與平面DOF所成角的大小為.17.已知直線l經(jīng)過點，且點到直線l的距離為1．（1）求直線l的方程；（2）O為坐標原點，點C的坐標為，若點P為直線上的動點，求的最小值，并求出此時點P的坐標．【正確答案】（1）或（2）10，【分析】（1）考慮直線l的斜率存在和不存在情況，存在時，設(shè)直線方程，根據(jù)點到直線的距離求出斜率，即得答案.（2）確定關(guān)于直線OA的對稱點，數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義即可求得答案.【小問1詳解】由題意知直線l經(jīng)過點，當直線斜率不存在時，方程為，此時點到直線l的距離為1，符合題意；當直線l斜率存在時，設(shè)方程為，即，則由點到直線l的距離為1。得，解得，即得，即，故直線l的方程為或；【小問2詳解】由點，可得直線的方程為，故點關(guān)于的對稱點為，連接，則，則，當且僅當共線時，等號成立，即的最小值為10，此時的方程為，聯(lián)立，解得，即.18.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，（1）求證：A1C⊥CC1；（2）若AB=2，AC=，BC=，問AA1為何值時，三棱柱ABC﹣A1B1C1體積最大，并求此最大值．【正確答案】（1）見解析（2）AA1=時棱柱的體積最大，最大值為：．【分析】（1）通過證明直線CC1與平面BA1C垂直，即可證明A1C⊥CC1；（2）作AO⊥B于O，連結(jié)A1O，說明∠AA1O=90°，設(shè)A1A=h，求出A1O的表達式，以及三棱柱ABC﹣A1B1C1體積V的表達式，利用二次函數(shù)的最值，求最大值．解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴A1A∥CC1∥BB1，∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，∵BC∩BA1=B，BC,BA1平面BA1C，∴CC1⊥平面BA1C，A1C?平面BA1C∴A1C⊥CC1；（2）作AO⊥BC于O，連結(jié)A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，∴AO=，設(shè)A1A=h，A1O=∴三棱柱ABC﹣A1B1C1體積V==，當h2=，即h=時，即AA1=時棱柱的體積最大，最大值為：．19.如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為.（1）求側(cè)面與底面所成的二面角的大?。唬?）若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；（3）在（2）的條件下，問在棱上是否存在一點，使側(cè)面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）（2）（3）存在，是的等分點，靠近點的位置【分析】（1）取中點，連接、，由正四棱錐的性質(zhì)知為所求二面角的平面角，為側(cè)棱與底面所成的角，設(shè)，求出的值，即可得解；（2）依題意連接、，可知為異面直線與所成的角，證明出，計算出、的長，即可求得結(jié)果；（3）延長交于，取的中點，連接、，易得平面，可得平面平面，分析出為正三角形，易證平面，取的中點，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而，可得平面，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：取的中點，連接、，由正四棱錐的性質(zhì)可知平面，平面，則，

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