上海市靜安區(qū)2024-2025學年高三第一次月考（9月）數(shù)學檢測試題（含答案）

上海市靜安區(qū)2024-2025學年高三第一次月考（9月）數(shù)學檢測試題一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）1．已知全集，集合，則________．2．函數(shù)的最小正周期是________．3．在等比數(shù)列中，若公比，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式________．4．參考數(shù)學競賽決賽的15人的成績（單位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，則15人成績的第80百分位數(shù)是________．5．在中，，，，將繞邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體，則的側(cè)面積為________．6．已知的二項展開式的各項系數(shù)之和為256，則訪二項展開式中的常數(shù)項為_____．7．雙曲線的漸近線與直線交于，兩點，且，那么雙曲線的離心率為________．8．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為________．9．春天是鼻炎和感冒的高發(fā)期，某人在春季里鼻炎發(fā)作的概率是，感冒發(fā)作的概率是，鼻炎發(fā)作且感冒發(fā)作的概率是，則此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率是________．10．已知函數(shù)，則不等式的解集為________．11．已知函數(shù)，若關于的不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是________．12．已知數(shù)列的前項和為，滿足，函數(shù)定義域為，對任意都有，若，則的值為.二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分）13．下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．14．已知是定義在上的可導函數(shù)，若，則（）A． B． C．1 D．15．設等比數(shù)列的前項和為，設甲：，乙：是嚴格增數(shù)列，則甲是乙的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要16．已知實數(shù)、、、、、同時滿足：①，，；②；③，則下列選項中恒成立的是（）A． B．C． D．三、解答題（本大題共5題，共分）17.（本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題7分,第（2）小題7分.)在直四棱柱中，，，，．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．18.(本題滿分14分.本題共2小題，第（1）小題8分,第（2）小題6分.)設函數(shù)，為常數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）設，，為嚴格減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．19.(本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題6分,第（2）小題8分.)近年來，隨著智能手機的普及，網(wǎng)上買菜迅速進入了我們的生活?，F(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”．某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100（1）能否有95%的把強認為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上頭菜與年齡有關？（2）M社區(qū)的市民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，如果周一選每平臺買菜，那么周二選擇平合買菜的概率為，求小張周二選擇平臺買菜的概率；（3）用頻率估計概率，現(xiàn)從社區(qū)隨機抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為隨機變量，并記隨機變量，求、的期望和方差．參考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820.（本題滿分16分.本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第（2）小題滿分6分.第(3)小題滿分6分)已知常數(shù)，拋物線的焦點為．（1）若直線被截得的弦長為4，求的值；（2）設為點關于原點的對稱點，為上的動點，求的取值范圍；（3）設，直線、均過點，且，與相交于、兩點，與相交于、兩點，若，求四邊形的面積．21.（本題滿分18分.本題共有3個小題,第（1）小題滿分4分,第（2）小題滿分6分,第(3)小題滿分8分)已知函數(shù)的導函數(shù)為．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若存在兩個不同的零點，，求實數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明：． 答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知函數(shù)，若關于的不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是________．【正確答案】由題意得,,當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增,當時,;當時,;,且時,,作出函數(shù)的圖象，如圖所示：直線過定點,要使不等式有且僅有一個整數(shù),只需解得,故答案為:.二、選擇題13.B14.C15.D16.A14.C15.D16.A15．設等比數(shù)列的前項和為，設甲：，乙：是嚴格增數(shù)列，則甲是乙的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【正確答案】D等比數(shù)列中,前項和為,當時,若,則,數(shù)列嚴格單調(diào)遞減,充分性不成立;若數(shù)列嚴格遞增,則數(shù)列是正項等比數(shù)列,只需滿足即可,若,則,必要性不成立;所以甲是乙的既不充分也不必要條件.故選:.三．解答題17.（1）證明略（2）18.（1）（2）19.（1）有關（2）（3）20.（本題滿分16分.本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第（2）小題滿分6分.第(3)小題滿分6分)已知常數(shù)，拋物線的焦點為．（1）若直線被截得的弦長為4，求的值；（2）設為點關于原點的對稱點，為上的動點，求的取值范圍；（3）設，直線、均過點，且，與相交于、兩點，與相交于、兩點，若，求四邊形的面積．【正確答案】（1）（2）（3）(1)由得,由,得.(2)點是關于原點的對稱點,則,設過的直線聯(lián)立拋物線方程得,由直線與拋物線相切得,過作軸的垂線，則該垂線為拋物線的準線，過點作準線的垂線，垂足為,由拋物線的對稱性,不妨取可得切線的傾斜角為,則取由拋物線定義可得,,即,取值范圍.(3)由題知拋物線為,焦點,且直線的斜率都存在且不為0,直線的方程可設為,則直線的方程,設,由得,.由韋達定理得.,同理可得,即,則,,由拋物線的定義知,,,即,,代入方程,得,在上,,化簡得,解得故四邊形的面積為.21.（本題滿分18分.本題共有3個小題,第（1）小題滿分4分,第（2）小題滿分6分,第(3)小題滿分8分)已知函數(shù)的導函數(shù)為．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若存在兩個不同的零點，，求實數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明：．【正確答案】（1）（2）（3）見解析（1