2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末題型歸納總結(jié)

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算經(jīng)典題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用經(jīng)典題型三：對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用經(jīng)典題型四：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用經(jīng)典題型五：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用經(jīng)典題型六：指對冪比較大小經(jīng)典題型七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算【典例11】（2024·高一·浙江寧波·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）原式.【典例12】（2024·高一·江蘇揚(yáng)州·期中）求值：(1)；(2).【解析】（1）；（2）.【變式11】（2024·高一·上海閔行·期中）（1）已知，求的值；（2）已知，，用表示.【解析】（1）由題設(shè)有可得，故.（2）因?yàn)椋剩?【變式12】（2024·高一·云南昆明·期中）計(jì)算下列各式：(1)；(2).【解析】（1）原式；（2）原式.【變式13】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列各式的值：(1)；(2)已知，求．【解析】（1）.（2），因?yàn)椋裕?.【變式14】（2024·高一·廣東廣州·期中）計(jì)算:(1)(2)(3).【解析】（1）；（2）；（3）.經(jīng)典題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【典例21】（2024·高一·上海·期中）函數(shù)與函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】A選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.【典例22】（2024·高一·上?！ふn堂例題）若函數(shù)（且）的圖像不經(jīng)過第二象限，則有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)圖像的特征可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)（且）的圖像必經(jīng)過第二象限，故排除選項(xiàng)B、C．又函數(shù)（且）的圖像不經(jīng)過第二象限，則其圖像與軸的交點(diǎn)不在軸上方，所以當(dāng)時(shí)，，即，故選：D．【變式21】（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】函數(shù)的圖象有對稱軸，定義在R上的偶函數(shù)滿足，則函數(shù)有對稱軸，又當(dāng)時(shí)，，在同一坐標(biāo)系在內(nèi)作出與的圖象，由圖象可得，與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，又與的圖象均有對稱軸，則兩函數(shù)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【變式22】（2024·高一·廣西柳州·期中）要使的圖象不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，且為減函數(shù)，要使圖象不經(jīng)過第一象限，則，解得.故選：B.【變式23】（2024·高一·貴州黔西·期中）已知函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn).若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，,則設(shè)，則，解得，則，故選：A.【變式24】（2024·高一·江蘇無錫·期中）函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】定義域?yàn)椋?，則原函數(shù)為奇函數(shù).排除B.再取特殊值，且為正數(shù).排除D.當(dāng)時(shí)，，越大函數(shù)值越接近1，排除C.故選：A.經(jīng)典題型三：對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【典例31】（2024·高三·廣西貴港·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過第一象限，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象不經(jīng)過第一象限，合題意；顯然此時(shí)，則函數(shù)為單調(diào)遞增，又恒過點(diǎn)，因此函數(shù)的圖象不過第四象限.故選：D【典例32】（2024·高一·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過12,0當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過12,0所以滿足條件的圖象為D.故選：D.【變式31】（2024·高一·山東威?！て谀┮阎瘮?shù)，若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得：，作出的圖像如下：由，且，則，，即，解得：，所以由，則，所以，故當(dāng)，即時(shí)，取最小值為.故選：B【變式32】（2024·高一·河北滄州·階段練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】由題意知，其中，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故B正確.故選：B.【變式33】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，直線與這三個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，在x軸上方，底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸，作出的大致圖象，如圖所示，可知直線與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系是：，故選：B．【變式34】（2024·高三·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，即.故選：B【變式35】（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，且a，b是的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：易知，又，可知，所以，即，∴，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最小值為4.故選：經(jīng)典題型四：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例41】（2024·高一·天津津南·期中）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)，求在[1,3]的最小值；(3)若使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋液瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以不等式的解集為；（2）因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，則，即時(shí)取等號，取得最小值為1．（3）因?yàn)?，所以，令，∴，所以?dāng)時(shí)，．因?yàn)?，則只需，所以，解得或．【典例42】（2024·高一·天津·期中）已知指數(shù)函數(shù)且的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)，,的值域.【解析】（1）函數(shù)且的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，得，（舍，，，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間,上單調(diào)遞減，在區(qū)間,上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,．（2），令，,，則，則，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng),時(shí)，的值域?yàn)椋咀兪?1】（2024·高一·寧夏銀川·期中）給定函數(shù).，用表示fx,gx中的較大者，記為.(1)求的值；(2)分別用圖象法和解析法表示函數(shù)；(3)根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及最值.【解析】（1）因?yàn)椋?，所?（2）圖象法：先在同一平面直角坐標(biāo)系中作出fx,gx由圖象可知：當(dāng)時(shí)，的圖象不低于的圖象，故的圖象取的圖象，當(dāng)時(shí)，的圖象高于的圖象，故的圖象取的圖象；結(jié)合定義可知的圖象如下圖所示，解析法：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以所以.（3）由（2）中圖象可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的最小值為，無最大值.【變式42】（2024·高一·湖南·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值；(2)若，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），令，，所以，在單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上的最小值為；（2）由題意得在的值域包含于在的值域，由二次函數(shù)的性質(zhì)得的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，為對勾函數(shù)，，所以，，此時(shí)，所以，又，可知無解；綜上，.【變式43】（2024·高一·浙江寧波·期中）已知雙曲函數(shù)，.(1)證明：(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明），并解關(guān)于x的不等式.(3)若，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）雙曲函數(shù)，,則.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式，則，即，解得，所以原不等式的解集為.（3）不等式，當(dāng)時(shí)，，則，依題意，，恒成立，令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，因此，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式44】（2024·高一·福建廈門·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).（為常數(shù)，）(1)求的值及函數(shù)的值域；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在R上是增函數(shù)；(3)求不等式的解集.【解析】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，則，解得，于是，，函數(shù)為奇函數(shù)，所以；由，得，因此，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）任取，且，則，由，得，則，，，于是，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).（3）函數(shù)是上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則，于是，整理得，解得，即，解得，所以原不等式的解集為.經(jīng)典題型五：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例51】（2024·高一·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，，過定點(diǎn)．(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)檫^定點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，則，解得，所以的定義域?yàn)?（2）因?yàn)椋圆坏仁皆谏虾愠闪?，即在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立且恒成立，則且在上恒成立，因?yàn)?，且，均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，所以，解得，即的取值范圍.【典例52】（2024·高一·吉林延邊·期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷奇偶性，并加以證明；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意得：且，解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋唬?）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為偶函數(shù)；（3），則<3，化簡得且，解得或.【變式51】（2024·高一·浙江·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)解不等式；(3)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)中，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以f-x=-fx整理得，所以.（2）由（1）可知，其定義域?yàn)椋傻?，即，整理得，解得，所以不等式的解集?,1.（3）由（2）知，，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上值域?yàn)?，又，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上值域?yàn)?，因?yàn)閷θ我獾模偞嬖?，使得成立，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.【變式52】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，對于，成立，所以．（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以，，，，，所以?dāng)時(shí)的值域，又，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式53】（2024·高三·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)中，，由是奇函數(shù)，得，即，整理得，解得，函數(shù)定義域?yàn)椋?，得，即，整理得，解得，所以不等式的解集?（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，由（1）得在的值域，又，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上的值域，由對任意的，總存在，使得成立，得，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式54】（2024·高三·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若在區(qū)間上的最大值是，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)的值域?yàn)椋蟛坏仁降膶?shí)數(shù)t的取值范圍．【解析】（1））①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以,解之可得，②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，可得，綜上所述：或.（2）設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，即，所以，即，得，根?jù)是單調(diào)遞增函數(shù)，設(shè)則，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.經(jīng)典題型六：指對冪比較大小【典例61】（2024·江西新余·一模）故，，，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，故選：D【典例62】（2024·高一·北京豐臺·期末）函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則，，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，即，令gx=0，即令，即，分別作出，，和的圖象，如圖所示：由圖象可知：，所以.故選：.【變式61】（2024·高一·遼寧大連·期末）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，，得，，，則為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別做出，，和的圖像，如圖所示，由圖可知，，故選：B．【變式62】（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）設(shè)，，，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，即.故選：D.【變式63】（2024·高一·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，由得，由得，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，，，的圖象如圖，由圖知，故選：B.【變式64】（2024·高一·湖北·開學(xué)考試）比較，，的大小（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：，，，∴．故選：B【變式65】（2024·高一·天津·期中）設(shè)，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，，即，因?yàn)?，所以，即，綜上：.故選：A【變式66】（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）已知，，，則a、b、c的大小順序?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【解析】，又，因?yàn)椋瑔握{(diào)遞增，所以.故選：C經(jīng)典題型七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

22．（2024·高一·北京·期中）函數(shù),①當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.②若恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，對稱軸為，且圖象開口向下，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，單調(diào)遞增區(qū)間，又，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.②的圖象如圖，由圖知，當(dāng)時(shí)，在上有個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，對稱軸，又，，則滿足題意，當(dāng)時(shí)，在上有個(gè)零點(diǎn)，則在有個(gè)零點(diǎn)，又對稱軸為，圖象開口向下，且，，當(dāng)，即時(shí)，，所以滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則，得到，當(dāng)時(shí)，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，且在有個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)對稱，又，則，即，令，對稱軸，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【典例71】（2024·高一·廣東珠?！て谥校┖瘮?shù)關(guān)于直線對稱，若，是方程的兩個(gè)根，且．則的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線對稱，所以，即，，令，則，，即，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.【典例72】（2024·高三·海南·階段練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.【答案】【解析】由為偶函數(shù)，故，即，由，故關(guān)于對稱，且，即有，故周期為，則也關(guān)于對稱；由，故，由，即hx關(guān)于對稱，由x∈0,2時(shí)，，作出及hx圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，與hx圖象無交點(diǎn)，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)交點(diǎn)2,0，當(dāng)時(shí)，與hx圖象存在一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則結(jié)合函數(shù)對稱性可知，當(dāng)，與hx圖象必有兩交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，故與hx圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故答案為：.【變式71】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為?【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)的圖象如下：方程化為，解得或，方程有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象與直線和共有五個(gè)交點(diǎn)，而，因此或，解得或，所以的取值范圍為.故答案為：

44．（2024·高一·寧夏銀川·期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示.

(1)畫出函數(shù)在軸右側(cè)的圖象，根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求時(shí)，函數(shù)的解析式.【解析】（1）在軸右側(cè)的圖象如下圖所示，由圖象可知，在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為和1,+∞.（2）因?yàn)榉匠逃袀€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以的圖象有個(gè)交點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象，如下圖所示，當(dāng)?shù)膱D象有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖象可知.（3）當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，所以.【變式72】（2024·高一·遼寧大連·期中）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，；(1)求函數(shù)的解析式；(2)作出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(3)若方程有個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以；所以.（2）函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，的單調(diào)增區(qū)間為和1,+∞.（3）因?yàn)榉匠逃袀€(gè)相異的實(shí)數(shù)根，所以的圖象有個(gè)不同交點(diǎn)，由圖象可知，的取值集合為或.【變式73】（2024·高一·遼寧沈陽·期中）已知函數(shù)，(1)解關(guān)于的不等式；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)小于的不等實(shí)根，求的取值范圍：(3)若對任意的，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由整理得，所以，（i）當(dāng)時(shí)，不等式解集為；（ii）當(dāng)時(shí)，不等式解集為；（iii）當(dāng)時(shí)，不等式解集為；綜上所述，（i）當(dāng)時(shí)，不等式解集為；（ii）當(dāng)時(shí)，不等式解集為；（iii）當(dāng)時(shí)，不等式解集為．（2）方程有兩個(gè)小于的不等實(shí)根，所以，解得，故的取值范圍為．（3）對任意的，恒成立，即恒成立，即對任意的，恒成立．①時(shí)，不等式為恒成立，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號成立，所以，綜上．【變式74】（2024·高一·湖南長沙·期中）已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若，求證：，并求的值；(3)令，則，已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，所以，函數(shù)的值域?yàn)?（2）證明：若，則，，設(shè)，則，兩式相加得，即，則，故.（3），設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)等價(jià)于，若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則等價(jià)于在上有零點(diǎn)，即在區(qū)間上有解，所以，在區(qū)間上有解，所以，，設(shè)，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例81】若函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

A． B． C． D．【答案】B

【解析】令，則原方程等價(jià)為作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知當(dāng)，時(shí)，函數(shù)和各有兩個(gè)交點(diǎn)．要使方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，令，則由根的分布可得，①當(dāng)，時(shí)，，解得②當(dāng)且時(shí)，，解得；③當(dāng)且時(shí)，可得，解得綜上，b的取值范圍為故選【典例82】（2024·湖北省·模擬題）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】由關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為：，令，得，則方程在上有解，作出與的圖象，如圖所示：因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，，由圖像可知，函數(shù)向右平移時(shí)，與函數(shù)的圖像總有交點(diǎn)，所以綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選【變式81】（2024·江西省·其他類型）若對R，使得且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】若且對任意的都成立，①當(dāng)時(shí)，由，得到，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故要使得對任意成立，有，即得②當(dāng)時(shí)，變形為，即得，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，要使得對任意成立，即有，即，即得因此，結(jié)合題意可知要使得對R，使得且恒成立，?、佗趦煞N情況下a取值范圍的交集可知故選【變式82】（2024·江蘇省蘇州市·單元測試）設(shè)函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，則，由題意可得，解得故選【變式83】（2024·河南省鄭州市·單元測試）設(shè)函數(shù)若函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)與有4個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，其中的頂點(diǎn)為，則②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，其中的頂點(diǎn)為，則故a的取值范圍是故選【變式84】（2024·山東省濰坊市·期末考試）已知函數(shù)若函數(shù)有七個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由題意，函數(shù)畫出函數(shù)的圖象，如圖由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象無交點(diǎn)，即無解；當(dāng)時(shí)，與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即有4個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)根．令，則或，由圖易知有4個(gè)根，所以要使函數(shù)有7個(gè)不同的零點(diǎn)，則有3個(gè)根，所以或故選②轉(zhuǎn)化與化歸思想【典例91】（2024·浙江省衢州市·期末考試）已知函數(shù)，若且，則abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】作出函數(shù)

的圖像如圖所示：由于

，且a，b，c互不相等，顯然，則有，，，

，即，則abc的取值范圍是故選【典例92】（2024·重慶市·期末考試）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C

【解析】令，則，令，即，轉(zhuǎn)化為和直線的交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出和直線的圖象，如圖所示：由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為，，則，，再考慮以x為未知數(shù)的方程，的實(shí)數(shù)根，時(shí)有一個(gè)根，為；時(shí)，時(shí)有3個(gè)不等實(shí)根，時(shí)有一個(gè)，時(shí)有兩個(gè)．綜上可得的實(shí)根個(gè)數(shù)為4，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是故選【變式91】（2024·浙江省溫州市·期中考試）已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對任意x，都有，則滿足不等式的x的取值范圍為

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x，有，可設(shè)，即，，即，，，由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，解得，故不等式的解為，即x的取值范圍為故選【變式92】（2024·湖南省·單元測試）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】設(shè)，則，由題意得函數(shù)在區(qū)間上是遞減函數(shù)，且在上恒成立．，求得：，故選：【變式93】（2024·全國·其他類型）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若存在?shí)數(shù)