2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）322雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（九大題型）

3．2．2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 2題型二：雙曲線的漸近線 6題型三：求雙曲線離心率的值 8題型四：求雙曲線離心率的范圍 12題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系 14題型六：弦長、面積問題 17題型七：中點(diǎn)弦問題 20題型八：定點(diǎn)定值問題 23題型九：最值問題 28【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 36【高考真題】 51【題型歸納】題型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1．（多選題）（2024·高三·海南儋州·開學(xué)考試）已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，則（

）A．雙曲線的一條漸近線方程為B．橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)C．橢圓的離心率D．橢圓和雙曲線的圖像有4個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【解析】對于橢圓的方程為，可得，對于雙曲線的方程為，可得，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，對于選項(xiàng)A：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的一條漸近線方程為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓和雙曲線不共焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：橢圓的離心率，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知雙曲線的頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以橢圓和雙曲線的圖像有4個(gè)公共點(diǎn)，故D正確；故選：ACD.2．（多選題）（2024·高二·河北保定·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，若與一條漸近線平行，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．的面積為D．直線與圓相切【答案】ACD【解析】不妨設(shè)直線平行于雙曲線的漸近線，從而可得是線段的垂直平分線，且直線的方程為，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，即，又F1-c,0，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得代入雙曲線，可得，整理得，，對于A，雙曲線的離心率，故A正確；對于B，雙曲線的漸近線，故B錯(cuò)誤；對于C，的面積，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故D正確.故選：ACD3．（多選題）（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則（

）A．若，則B．若，則的面積為4C．D．的最小值為4【答案】AD【解析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，由題意可知，四邊形為平行四邊形，由雙曲線可知：，對于A，因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，所以，故A正確；對于B，據(jù)雙曲線定義可知：，若，則四邊形為矩形，則，所以，即所以，所以，所以，故B不正確；對于C，由雙曲線的方程可知，在中，，又因?yàn)殡p曲線漸近線方程為：，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值為4，故D正確．故選：AD．4．（多選題）（2024·高三·安徽黃山·階段練習(xí)）已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的離心率B．若，則的漸近線方程為C．若，則的漸近線方程為D．若，則的漸近線方程為【答案】AC【解析】對于A，，，，，，，又與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，，即，，，A正確；對于B，由A知：，又，，直線即為雙曲線的一條漸近線，，，又，，，，，，，整理可得：，，，，即，解得：，的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；對于C，，，，，，整理可得：，即，，，的漸近線方程為，C正確；對于D，，，，，，，，整理可得：，，，，的漸近線方程為，D錯(cuò)誤.故選：AC.題型二：雙曲線的漸近線5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，且直線與另一條漸近線交于點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為.【答案】【解析】由題意，得雙曲線的漸近線方程為.不妨設(shè)直線為過右焦點(diǎn)且與漸近線垂直的直線，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即.同理，聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：.6．（2024·高二·北京·階段練習(xí)）若雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則兩條漸近線方程為.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線互相垂直，的漸近線方程為，所以，即，所以漸近線方程為，故答案為：.7．（2024·高二·吉林·期末）已知雙曲線，焦點(diǎn)到漸近線距離為3，則其漸近線方程為.【答案】【解析】雙曲線，（），其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，，又，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.8．（2024·高二·福建·期末）雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線l1交雙曲線的右支于A、B兩點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線為.【答案】【解析】令，則，依題意，，，等腰中，，而，在中，由余弦定理得：，整理得：，又，解得，，所以雙曲線的漸近線為.故答案為：題型三：求雙曲線離心率的值9．（2024·高二·上?！て谥校┮阎獧E圓，雙曲線.設(shè)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，記雙曲線的一條漸近線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若且，則的值為.【答案】【解析】如圖所示，橢圓，因?yàn)?所以，又因?yàn)?，所以，故，雙曲線的一條漸近線設(shè)為，即，故，所以雙曲線離心率，所以.故答案為：.10．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，為曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則曲線與的離心率的乘積為.【答案】【解析】因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的上頂點(diǎn)，所以，如圖，所以，所以，故，設(shè)雙曲線的方程為，假設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，得，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，則，，所以，所以，故.故答案為：11．（2024·高二·河南開封·期末）已知過雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0左焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與C交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)【答案】/【解析】由題意，F(xiàn)1-c,0，所以直線的方程為，令得，因?yàn)锳是的中點(diǎn)，所以，將點(diǎn)代入得，結(jié)合化簡得，所以，所以或，所以或，又，所以，所以.故答案為：12．（2024·高二·上?！て谥校╇p曲線具有如下光學(xué)性質(zhì):從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線，如圖從的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和.若，則的離心率為.【答案】【解析】由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,的反向延長線交于雙曲線的左焦點(diǎn),如圖所示：由,兩邊平方可得,所以，所以，所以，又，所以，設(shè)則，設(shè)，則，根據(jù)雙曲線定義，可得，所以，解得，所以在中，所以所以C的離心率為.故答案為：.13．（2024·高二·上海·階段練習(xí)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】設(shè)，則，可知點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)與雙曲線的左支的交點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，即，即，，因?yàn)椋呻p曲線的對稱性可知：為平行四邊形，則，，，因?yàn)?，則，由余弦定理可得：，整理得，即，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.題型四：求雙曲線離心率的范圍14．（2024·高二·浙江嘉興·期末）已知雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】在中，，由余弦定理得，又，所以，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，，在中，由余弦定理得，得，由得，，．所以離心率的取值范圍是.故答案為：15．（2024·高三·陜西榆林·階段練習(xí)）若雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是其右支上的動點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，所以，由于，所以，解得，所?故答案為：16．（2024·高二·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知雙曲線，若過右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是.【答案】【解析】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因?yàn)殡p曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是，故答案為：．題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系17．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條，它們的方程分別是．【答案】和【解析】若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得到，當(dāng)時(shí)，方程無解，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿足條件；當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)恰好為漸近線的斜率，不滿足條件，所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為和．故答案為：；和.18．（2024·高二·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知雙曲線C的方程為.(1)求與雙曲線C有公共漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)過點(diǎn)的直線與雙曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求直線斜率取值范圍.【解析】（1）由已知可設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，即，解得，故雙曲線方程為，即；（2）設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立得，，解得：且，綜上所述：.19．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線與點(diǎn)，討論過點(diǎn)的直線的斜率的情況，使與雙曲線分別有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)．【解析】①當(dāng)垂直于軸時(shí)，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線的方程中，有．當(dāng)，即或時(shí)，方程有一個(gè)解．當(dāng)時(shí)，，令，可得；令，可得；令，可得．綜上所述，當(dāng)直線的斜率或直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)．20．（2024·高二·上海·期中）已知，直線與雙曲線相交于不同的點(diǎn).(1)若點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，求的取值范圍；(2)若以線段為直徑的圓，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.【解析】（1）直線與雙曲線方程聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，所以有：，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）設(shè)，因?yàn)榫€段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以有，即，由（1）可知：，則，即.題型六：弦長、面積問題21．（2024·高二·北京·開學(xué)考試）已知雙曲線，則雙曲線的離心率為；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線，則故；當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè),故，故答案為：；.22．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的實(shí)軸長為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為，所以，解得：；又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，Qx由題可得過點(diǎn)且斜率為的直線方程為：，即，聯(lián)立，消去可得：，所以，，所以23．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【解析】（1）根據(jù)題意由可知，動點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，即，所以，所以可得的方程為；（2）如下圖所示：依題意設(shè)Ax聯(lián)立與的方程，消去整理可得，則；且，解得；所以，解得，滿足，符合題意；所以直線的方程為.24．（2024·高二·黑龍江·期中）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，焦距為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，求的面積．【解析】（1）由題意得：，解得，，，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)Ax1,y1,Bx則，，，，原點(diǎn)到直線AB的距離，所以．題型七：中點(diǎn)弦問題25．（2024·高二·山東泰安·階段練習(xí)）直線被雙曲線所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】【解析】設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，代入直線方程可得，所以截得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.26．（2024·高二·江西贛州·期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線：對稱，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】由題意可知：直線：的斜率為，可知直線的斜率，設(shè)，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，，因?yàn)锳，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，則，兩式相減整理得，即，解得，即直線，聯(lián)立方程，解得，可知線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.27．（2024·高二·河南南陽·期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．【解析】（1）由題意，知，解得，故雙曲線的方程為．（2）設(shè)Ax則，兩式相減，得，整理得．因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．經(jīng)檢驗(yàn)，直線與雙曲線相交，所以直線的方程為.28．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）雙曲線C的離心率為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程．（2）雙曲線C上是否存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對稱？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．【解析】（1）橢圓：，所以雙曲線.所以雙曲線的方程為.（2）畫出圖象如下圖所示，設(shè)，，兩式相減并化簡得，即，所以直線的方程為.題型八：定點(diǎn)定值問題29．（2024·高三·浙江紹興·期末）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證直線過定點(diǎn).【解析】（1）由題意，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為：，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，可得，又因?yàn)?，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，則聯(lián)立方程組，得整理得：.，且，,，令得，，直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線:，此時(shí)均在軸上，故直線過定點(diǎn).綜上：直線過定點(diǎn).30．（2024·高二·四川瀘州·階段練習(xí)）設(shè)直線．點(diǎn)和點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)已知直線：經(jīng)過定點(diǎn)P，直線經(jīng)過點(diǎn)P，且，求直線的方程.(2)求點(diǎn)的軌跡方程；(3)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）對于直線，將其變形為.令，解方程組：將其代入，得到.那么，所以定點(diǎn).已知直線，其斜率，因?yàn)椋瑑芍本€垂直斜率之積為，所以直線的斜率.由點(diǎn)斜式可得直線的方程為，整理得.（2）設(shè)，則，所以從而因?yàn)椋?，即．則，化簡得．所以點(diǎn)的軌跡方程為．（3）設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率存在，易得且，則直線的方程為，注意到，化簡得．點(diǎn)與關(guān)于直線AB對稱，設(shè)，則由，解得，又，所以，從而，令，得，因此直線過定點(diǎn)．31．（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡可得，故點(diǎn)的軌跡的方程為：（2）由題意，,設(shè)直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，綜上，為定值．32．（2024·高三·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率為.過點(diǎn)的直線l與C的右支交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為．(1)若，求：；(2)證明：為定值．【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，所以．因?yàn)?，所以，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．直線，由消去y化簡并整理得，解得或（舍），所以．又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，所以．（2）設(shè)Mx1,因?yàn)?，所以．設(shè)直線，由消去x化簡并整理得．設(shè)Nx2,故．所以為定值．題型九：最值問題33．（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為4，離心率為2，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)，都在C上.(1)求C的方程；(2)若，求直線AB的方程；(3)若，且，，求四個(gè)點(diǎn)A，B，，所構(gòu)成四邊形的面積的最小值.【解析】（1）由題意可得，解得，故曲線的方程為，（2）根據(jù)題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，得，都在右支上，由，消去可得，易知，其中恒成立，，代入，消元得，所以，解得，滿足，所以直線的方程為，（3）Ax1,則分別在兩支上，且都在的上方或的下方，不妨設(shè)都在的上方，又，則在第二象限，在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線與點(diǎn)，延遲交雙曲線于點(diǎn)，由對稱性可知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，由題設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由第（2）問易得，因?yàn)?所以，所以，兩條直線與間的距離，所以，令，，所以，設(shè)，則，在上恒為減函數(shù)，所以在上恒為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)即，取得最小值為12，所以四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的最小值為12.34．（2024·高三·上海寶山·階段練習(xí)）已知雙曲線的虛軸長為4，漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，是雙曲線上的動點(diǎn)，求的最小值；(3)過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）由題意可知，又漸近線方程為，所以，易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)Px,y，，因?yàn)榛?，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)取得最小值1.（3）設(shè)Ax1,y1，B得，，且，，由，，三點(diǎn)共線得①，由得，即②，由①②解得.由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.35．（2024·湖北黃岡·二模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，虛半軸長為1.如圖，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限.與關(guān)于原點(diǎn)對稱，連接與，其中垂直于的平分線，垂足為.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線與直線的斜率之積為定值；(3)求的最小值.【解析】（1）由題設(shè)，故，所以，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)Ax0,y0，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)易知直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的斜率為，記，因?yàn)橹本€為的平分線，所以，因?yàn)閮牲c(diǎn)均在雙曲線上，所以，此時(shí)，則，同理得，因?yàn)?，又，所以，整理得，則，故直線與直線的斜率之積為定值；（3）由（2）知，因?yàn)?，所以，?lián)立，又，解得，所以，不妨設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，解得，所以直線的方程為，易知，因?yàn)橹本€的斜率為，不妨設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)椋?，此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為3.36．（2024·高二·河南商丘·期末）若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實(shí)軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線．已知橢圓的共軛雙曲線為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，直線（不過點(diǎn)）與相交于、兩點(diǎn)，且，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．【解析】（1）由題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Mx1,聯(lián)立，得，所以且，即且，由韋達(dá)定理可得，，．因?yàn)?，且，，所以．所以或．?dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，合乎題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則、因?yàn)?，所以，解得或（舍去）．所以直線恒過點(diǎn)，所以當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，距離的最大值為．37．（2024·高三·遼寧·階段練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求的方程；(2)過原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線和直線的斜率分別為，，證明：的值為定值；(3)過雙曲線上不同的兩點(diǎn)，分別作雙曲線的切線，若兩條切線相交于點(diǎn)，且，求的最大值.【解析】（1）依題意可得，解得，所以雙曲線方程為；（2）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在雙曲線的右支，設(shè)，（且），則，，所以，為定值.（3）依題意可得，兩點(diǎn)處的切線的斜率都存在且不為，設(shè)，兩點(diǎn)處的切線方程為，，依題意，由，消元整理得，則且，整理得到，同理可得，又點(diǎn)在兩切線上，所以，所以，，所以、為關(guān)于的方程的兩根，即的兩根，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以.【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·河南南陽·期中）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線上一點(diǎn)，若P與恰好關(guān)于C的一條漸近線對稱，且，則的面積為（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【解析】連接交雙曲線的漸近線于點(diǎn)，則（為原點(diǎn)），而分別為的中點(diǎn)，則，，且，由雙曲線的一條漸近線為，得，則，所以的面積為.故選：D2．（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則的焦距的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意雙曲線的一條漸近線方程為，即，設(shè)點(diǎn)Fc,0到漸近線的距離為，則，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以；的焦距為，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故選：C3．（2024·高三·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線的平行線分別與兩漸近線交于，兩點(diǎn)．若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線方程為，設(shè)交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，由正弦定理可得，即，設(shè)，即，因?yàn)?，，所以，即，所以，即，所以離心率.故選：C.4．（2024·高三·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且圓的圓心是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以，又雙曲線的兩條漸近線為，即，由題知，整理得到，又，得到，所以，，得到雙曲線的方程為.故選：B.5．（2024·高二·云南曲靖·階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為．若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨設(shè)以為圓心，為半徑的圓與漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為．則，又，所以為等邊三角形，所以點(diǎn)Fc,0到直線的距離等于，所以，又，故，所以，所以雙曲線的離心率為.故選：D.6．（2024·高二·上海浦東新·階段練習(xí)）已知方程的根大于，則實(shí)數(shù)滿足（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，原方程轉(zhuǎn)化為，問題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線與實(shí)軸在軸上的雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)要大于的問題，因?yàn)橹本€過，所以只需要保證直線和右支相交，而與左支不相交，即可，觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)兩條漸近線的斜率是臨界情況，所以.故選：A7．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，虛軸長為，離心率為是上一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B．3或6 C．3 D．2或10【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線虛軸長為，且離心率為，可得，所以，又因?yàn)?，即，解得，?dāng)在的左支時(shí)，，因?yàn)?，所以；?dāng)在的右支時(shí)，，因?yàn)?，所以．綜上，或10．故選：D.8．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知離心率為的雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為右支上的一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，所以，由雙曲線定義可得，則，則，所以為直角三角形，所以．故選：B.9．（多選題）（2024·高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則或1B．不存在點(diǎn)為線段的中點(diǎn)C．若直線與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率D．內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】對于A，離心率為，解得：，則或1.又因?yàn)椋蔄錯(cuò)；對于B，假設(shè)存在點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，又，線段，聯(lián)立與雙曲線，整理得：，，矛盾，所以不存在點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，故B正確；對于C，由于雙曲線的漸近線斜率為，直線與雙曲線的兩支各有1個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率，故C正確；對于的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)，則由雙曲線定義得：，所以，即內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，所以D正確，故選：BCD.10．（多選題）（2024·高二·河南商丘·期末）已知雙曲線與直線無公共點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率可以是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】BC【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則的右焦點(diǎn)到的距離，即，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，可得，又因?yàn)榕c直線無公共點(diǎn)，則，所以的離心率．故選：BC．11．（多選題）（2024·高二·浙江衢州·期末）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，為其左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的焦距為6B．點(diǎn)到漸近線的距離為2C．的最小值為D．若，則的面積為【答案】AC【解析】如圖：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可知，，所以，所以雙曲線的焦距為：，故A正確；雙曲線的漸近線為，即，點(diǎn)到漸近線的距離為：，故B錯(cuò)誤；設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,根據(jù)雙曲線的定義：，所以，故C正確；在中，由，，，由余弦定理得：，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．（2024·高二·江西南昌·期中）已知雙曲線的左?右作點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，過作軸，垂足為，由題意知，則，故，在中，，故，又點(diǎn)在雙曲線C:x2a則，將代入整理得，則，解得，又，得到，所以雙曲線的離心率為，故答案為：.13．（2024·高二·云南昆明·期中）已知反比例函數(shù)可由等軸雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若的三個(gè)頂點(diǎn)均在雙曲線上，則垂心的軌跡方程是．（三角形三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為垂心）【答案】【解析】等軸雙曲線上三點(diǎn)的垂心的軌跡方程就是等軸雙曲線本身.證明如下：由題意，反比例函數(shù)可由等軸雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故證明采用反比例函數(shù).設(shè)垂心的坐標(biāo)為，且三個(gè)頂點(diǎn)都在等軸雙曲線上，設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以直線的方程為，即，因?yàn)?即，所以直線的方程為，同理由,即，所以直線的方程為，所以由，解得的垂心坐標(biāo)為，即垂心的橫縱坐標(biāo)的乘積為，所以垂心的軌跡方程就是原來的等軸雙曲線本身.故答案為：.14．（2024·高二·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，且的取值范圍為，記的面積為面積為，則取值范圍為．【答案】【解析】由題設(shè)可知，面積為面積的兩倍，記的面積為，所以.又因?yàn)楹偷母呦嗤?，所?由直線與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的右支交于Ax1,聯(lián)立方程組，可得，消去可得，而，則.由韋達(dá)定理可得，從而有，.又，則，所以.故答案為：15．（2024·高二·浙江寧波·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，滿足直線與的斜率之積為的動點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)．(1)求曲線的軌跡方程；(2)若直線和的斜率之積為，試證明直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)，由題意得，化簡得到，所以曲線C的軌跡方程為．（2）因?yàn)橹本€和的斜率之積為，所以直線的斜率存在,設(shè)，Mx1,y由，消得到，則，，，而，，化簡整理得到，得到或，當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)．16．（2024·高三·貴州·階段練習(xí)）已知是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在上.(1)求的方程.(2)已知直線的斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)在直線上.（i）證明：的斜率為定值.（ii）若的面積為，求的方程.【解析】（1）由題可得，所以的方程為.（2）（i）證明：設(shè)，由得，由題意得，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，所以，即，因?yàn)?，所以，故的斜率為定?（ii）由（i）得的方程為，且，又點(diǎn)到的距離，所以，解得，所以的方程為.17．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）動點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于，且．記點(diǎn)M的軌跡方程為．(1)求的方程；(2)過上的點(diǎn)P作圓的切線PT，T為切點(diǎn)，求的最小值；(3)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)A，B，上是否存在點(diǎn)C滿足？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】（1）根據(jù)到直線與直線的距離之積等于，可得，化簡得，由于，故，即.（2）設(shè)，，故當(dāng)時(shí)，最小值為2（3）聯(lián)立與可得，設(shè)，則，故設(shè)存在點(diǎn)C滿足，則，故，由于在，故，化簡得，即，解得或（舍去），由于，解得且，故符合題意，由于，故，故,故，故存在，使得【高考真題】1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【解析】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，解得，所以雙曲線的漸近線為，當(dāng)漸近線為時(shí)，圓心到該漸近線的距離，不合題意；當(dāng)漸近線為時(shí)，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D3．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，因?yàn)?，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因?yàn)?所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項(xiàng)A：可得，