2021全國高三(上)期中數(shù)學(xué)匯編：空間幾何體

第1頁/共1頁2021全國高三（上）期中數(shù)學(xué)匯編空間幾何體一、單選題1．如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．32．“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（

）A． B． C． D．3．中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧長度是弧長度的3倍，，則該曲池的體積為（

）A． B． C． D．4．北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（

）A． B． C． D．5．在正方體中，M，N，Q分別為棱AB，的中點(diǎn)，過點(diǎn)M，N，Q作該正方體的截面，則所得截面的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形6．已知圓錐SO的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB，SC兩兩垂直，且，則圓錐SO的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題7．在空間直角坐標(biāo)系中，棱長為1的正四面體的頂點(diǎn)A，B分別為y軸和z軸上的動(dòng)點(diǎn)（可與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合），記正四面體在平面上的正投影圖形為S，則下列說法正確的有（

）A．若平面，則S可能為正方形B．若點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，則S的面積為C．若，則S的面積不可能為D．點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離不可能為8．若正三棱錐和正四棱錐的所有棱長均為，將其中兩個(gè)正三角形側(cè)面與按對應(yīng)頂點(diǎn)粘合成一個(gè)正三角形以后，得到新的組合體是（

）A．五面體 B．七面體 C．斜三棱柱 D．正三棱柱三、填空題9．邊長為2的正四面體內(nèi)有一個(gè)球，當(dāng)球與正四面體的棱均相切時(shí)，球的體積為_____．10．已知球的表面積是，則該球的體積為________.11．已知體積為的圓柱底面是外接球的截面，圓柱的底面積為，則該球的表面積是___________.12．已知一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖（1）所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個(gè)直角邊長為1的等腰直角三角形如圖（2）所示，則此幾何體的體積為_________13．已知正方體棱長為1.一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面爬到頂點(diǎn).則螞蟻經(jīng)過的最短路程為______.14．某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長為的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個(gè)截面圓的周長為，則該球的半徑是________.

參考答案1．B【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，判斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中?,由余弦定理得：.故選B.【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開）過程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：①幾何法：通過位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；②代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.2．C【分析】求出內(nèi)層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓柱高出的幾何體的體積之和，計(jì)算可得解.【詳解】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，可知內(nèi)層圓柱的高同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，可知外層圓柱的高此模型的體積為故選：C3．D【分析】利用柱體體積公式求體積.【詳解】不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長度為弧BC長度的3倍可知，，所以，.故該曲池的體積.故選：D.4．B【分析】根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選：B.5．D【分析】分別為中點(diǎn)，M，N，Q確定平面，證明六邊形的每條邊均在內(nèi)，得到答案.【詳解】如圖所示：分別為中點(diǎn)，M，N，Q確定平面，且，故，，故，同理可得，，，故截面為六邊形.故選：D.6．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理與正弦定理，求出圓錐底面半徑和高，再根據(jù)體積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，，兩兩垂直，且，所以，設(shè)圓錐底面半徑為，結(jié)合正弦定理，知，即，因此，故.故選：C.7．ABD【分析】對于A，舉例說明可能性成立即可；對于B，當(dāng)點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，到的距離均為，再利用正四面體兩個(gè)面所成二面角的正弦值為，從而可求出結(jié)果；對于C，當(dāng)位于軸上時(shí)，且且兩兩垂直，故把正四面體放入外接正方體中，從而可求得結(jié)果；對于D，由正四面體的性質(zhì)可知到的距離為，當(dāng)時(shí)，到的距離最大，進(jìn)而可求出的最大值【詳解】對于A，如圖，當(dāng)B為時(shí)，正投影圖形為正方形，所以A正確；對于B，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，兩點(diǎn)已定，即在軸上，此時(shí)正四面體在空間中的形態(tài)已定，到的距離就是正三角形的高，均為，則正四面體在平面上的正投影圖形為以為腰，1為底的等腰三角形，所以，所以B正確；對于C，當(dāng)位于軸上時(shí)，且且兩兩垂直，故把正四面體放入外接正方體中,如圖所示，可知投影到面為正方形，且邊長為，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對于D，頂點(diǎn)到的距離為，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則,得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且為，所以的最大值為，所以D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查空間直角坐標(biāo)系中正四面體的有關(guān)面積、距離問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正四面體的性質(zhì)，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題8．AC【分析】根據(jù)正三棱錐與正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征即可得出答案.【詳解】由題意作出正三棱錐與正四棱錐按對應(yīng)頂點(diǎn)粘合成新的組合體，如圖，所以新的組合體是五面體或斜三棱柱.故選：AC9．【分析】取球心，若且為底面中心，為中點(diǎn)，由正四面體的性質(zhì)確定球心的位置且為球的半徑，根據(jù)三角形相似求，由球的體積公式求體積即可.【詳解】結(jié)合正四面體的性質(zhì)：球心在正四面體的體高上，且為外接球的球心，如下圖：取球心，若，則即為球的半徑，而為底面中心，∴面，若為中點(diǎn)，則，∴，，，由，則，故，∴球的體積為.故答案為：10．【解析】設(shè)球的半徑為r，代入表面積公式，可解得，代入體積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查已知球的表面積求體積，關(guān)鍵是求出半徑，再進(jìn)行求解，考查基礎(chǔ)知識掌握程度，屬基礎(chǔ)題.11．【分析】根據(jù)圓柱的體積、底面積，結(jié)合體積、底面積公式求圓柱的高和底面半徑，由外接球半徑與圓柱的高、底面半徑的關(guān)系求，進(jìn)而求球的表面積.【詳解】由題設(shè)，若圓柱的高為，底面半徑為，則，即，設(shè)外接球半徑為，則，∴該球的表面積是.故答案為：12．【分析】由直觀圖得俯視圖是一個(gè)直角三角形，直角邊長分別為，2，從而得出原幾何體是一個(gè)三棱錐，其中一條側(cè)棱與底面垂直，且三條棱長已知，由此可求得體積．【詳解】由直觀圖得俯視圖是一個(gè)直角三角形，直角邊長分別為，2，如圖，由三視圖知原幾何體是一個(gè)三棱錐，如下圖，其中兩兩垂直，且，，，所以體積為．故答案為：．13．【分析】由正方體對稱性，最短路線有6條，距離相等，把最短路線所過平面攤平后，由平面上兩點(diǎn)間距離線段最短可得．【詳解】