2024年山東單招數(shù)學(xué)模擬試題及答案

2024年山東單招數(shù)學(xué)模擬試題及答案

一、填空題：(本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)將答案填入答題紙?zhí)?/p>

空題的相應(yīng)答題線上.)

1.已知集合A={x\x2+x-2<0,xeZ},則集合A中全部元素之和為▲.

2.假如實(shí)數(shù)p和非零向量〉與3滿意p)+(p+M=6,則向量"和B.

(填"共線"或"不共線").

3.AABC中,若sinA=2sin3,AC=2,則6C=▲.

4.設(shè)f(x)=33—2。+1,a為常數(shù).若存在與e(0,1)，使得/(尤°)=0,則實(shí)數(shù)a

的

取值范圍是▲.

5.若復(fù)數(shù)zt=-l+ai,z2=b-y[3i,a,beR，且+z?與z1,z2均為實(shí)數(shù),

則五二▲.

Z2

6.右邊的流程圖最終輸出的”的值

是▲?

第6題圖

7.若實(shí)數(shù)加、〃€{-1,1,2,3},且加工”，貝曲線

22

—+^=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率是—4

mn

8.已知下列結(jié)論：

_[Xy>0

①修、/都是正數(shù)"八

x{x2>0

%+/+/>0

②陽(yáng)、元2、者B是正數(shù)0rl%2+%2%3+X3X\>0，

元1%2%3>0

則由①②猜想：

▲

X1、％2、%3、14都是正數(shù)

Lv)vV.-0.

9.某同學(xué)五次考試的數(shù)學(xué)成果分別是120,129,121,125,130,則這五次考試成

果

的方差是▲.

10.如圖，在矩形ABCD中,AB=6,BC=1,以

A為圓心,1為半徑作四分之一個(gè)圓弧OE,在圓弧

DE

上任取一點(diǎn)P,則直線AP與線段有公共點(diǎn)的概率

是▲

第10題圖

11.用一些棱長(zhǎng)為1cm的小正方體碼放成一個(gè)幾何體，圖1為其俯視圖，圖2為其主

視圖，則這個(gè)幾何體的體積最大是▲cm3.

圖1（俯視圖）圖2（主視圖）

第11題圖

12.下表是某廠1~4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，

月份x1234

用水量y4.5432.5

由其散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來(lái)方程

是_______4_________?

13.已知平面內(nèi)一區(qū)域A,命題甲:點(diǎn)（a,b）e｛（x,y）||x|+|y|Vl｝；命題乙：點(diǎn)

（a,b）eA.假如甲是乙的充分條件,那么區(qū)域A的面積的最小值是▲.

22

14.設(shè)P是橢圓二+J=1上隨意一點(diǎn)，A和尸分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，

2516

則西?麗+!西?的最小值為▲.

二'解答題：（本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步

驟.）

15.（本小題滿分14分）

直三棱柱ABC-AB]G中，AC=BC=BB｛=1,

AB】=V3.

（1）求證：平面ABC，平面四底;

（2）求三棱錐A-AB〈的體積.

16.（本小題滿分14分）

某化工企業(yè)2024年底投入100萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的運(yùn)

轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)肯定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由

于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.

(1)求該企業(yè)運(yùn)用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用y(萬(wàn)元)；

(2)問(wèn)為使該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低，該企業(yè)幾年后須要重新更換新的

污水處理設(shè)備？

17.(本小題滿分14分)

如圖，已知圓心坐標(biāo)為(61)的圓M與x軸及

直線y=百x分別相切于A、B兩點(diǎn)，另一圓N與

圓M外切、且與x軸及直線y=瓜分別相切于C、

。兩點(diǎn).

(1)求圓M和圓N的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)6作直線的平行線/,求直線/被圓N截得的弦的長(zhǎng)度.

18.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=sinx-cosx,x^R.

(1)求函數(shù)/(%)在［0,2萬(wàn)］內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在x=/處取到最大值，求/(4)+/(2x0)+/(3x0)的值；

(3)若g(x)="(尤eH)，求證：方程/(x)=g(x)在［0,”)內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

(參考數(shù)據(jù)：In2?0.69,?儀3.14)

19.(本小題滿分16分)

已知函數(shù)/⑴=；/_2犬+3%(xeH)的圖象為曲線C.

(1)求曲線C上隨意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍；

(2)若曲線。上存在兩點(diǎn)處的切線相互垂直，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的

橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)試問(wèn)：是否存在一條直線與曲線。同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)？假如存在，求出符

合條件的全部直線方程；若不存在，說(shuō)明理由.

20.(本小題滿分18分)

已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是%=2"T,數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，令集合

A=3=｛仇也%.將集合AIJ5中的元素按從

小到大的依次排列構(gòu)成的數(shù)列記為｛%｝.

(1)若％=〃，〃eN*,求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)若，數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，且。=1,。9=8,求滿意

c〃+i、5

------>一

C.4

的正整數(shù)九的個(gè)數(shù).

三、附加題部分(本大題共6小題,其中第21和第22題為必做題，第23?26題為

選做題，請(qǐng)考生在第23-26題中任選2個(gè)小題作答，假如多做，則按所選做的前兩

題記分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)

21.(本小題為?'做題,滿分12分)

已知直線y=2x+k被拋物線/=4y截得的弦長(zhǎng)A3為20,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)攵的值；

(2)問(wèn)點(diǎn)C位于拋物線弧上何處時(shí)，△ABC面積最大？

22.（本小題為?'做題,滿分12分）

甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)一起參與某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩

部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預(yù)錄用生（可在高考中加分錄用），兩次

考試過(guò)程相互獨(dú)立.依據(jù)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的平常成果分析，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)

能通過(guò)筆試的概率分別是06,0.5,0.4,能通過(guò)面試的概率分別是0.5,0.6,0.75.

（1）求甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)中恰有一人通過(guò)筆試的概率；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)兩次考試后，能被該高校預(yù)錄用的人數(shù)為4,求隨機(jī)變量4的期望

23.（本小題為選做題，滿分8分）

如圖,在△ABC中，。是AC的中點(diǎn)，￡是5。的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交5。于

F.

⑴求而的值；

（2）若35E戶的面積為S],四邊形CD"的面積為S2,求S]:邑的值.

24.（本小題為選做題，滿分8分）

已知直線/的參數(shù)方程：[x=t”為參數(shù)）和圓。的極坐標(biāo)方程:

<

y=\+It

p=2V2sin（。+7）-

（1）將直線/的參數(shù)方程化為一般方程，圓。的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）推斷直線/和圓。的位置關(guān)系.

25.（本小題為選做題，滿分8分）

試求曲線y=sinx在矩陣MV變換下的函數(shù)解析式，其中”=；；,N=

1o]

2

01

26.（本小題為選做題，滿分8分）

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：1+」-+,++4>l（neN*且”>1）.

nn+1〃+2n

參考答案

一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分.）

11/□

1.-22.共線3.44.(—00,—1)o(―,+oo)5.————z

6.58.XjXX+>09.16.4

7-Z23x1x2x4+xtx3x4+x2x3x4

1O

-I11.712.y=-0.7%+5.2513.214.-9

二'解答題：（本大題共6小題，共90分.）

15.（本小題滿分14分）

解：（1）直三棱柱ABC—AiBiCi中，BBi_L底面ABC,

則BBi±AB,BB」BC,

一3分

又由于AC=BC=BBi=l,ABi=V3，則AB=V^,

則由AC2+BC2=AB2可知，AC_LBC,-------------------------------6

分

又由上BBJ底面ABC可知BBi±AC,貝!JAC,平面BiCB,

所以有平面ABiC_L平面BiCB;-----------------------------------9

分

(2)三棱錐4—ABC的體積匕「Me*=；義；'1=\--------14

分

（注：還有其它轉(zhuǎn)換方法）

16.（本小題滿分14分）

/-i\100+0.5尤+（2+4+6+…+2%）

解：（1）y-----------------------------

X

gPy=x+lP2+i,5（x〉o）;--------------------------------

X

—7分

（不注明定義域不扣分，或?qū)⒍x域?qū)懗蓌eN*也行）

（2）由均值不等式得：

100]I100…

y—x-----F1.522、x----F1.5=21.5（萬(wàn)兀）----------------

xVx

11分

當(dāng)且僅當(dāng)X=W2,即x=10時(shí)取到等號(hào).----------------------------13

X

分

答：該企業(yè)10年后須要重新更換新設(shè)備.------------------------------

14分

17.（本小題滿分14分）

解：（1）由于。M與NBOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為OM的

半

徑，則M在NBOA的平分線上，

同理，N也在NBOA的平分線上，即0,M,N三點(diǎn)共線，且OMN為NBOA

的平分線，

■.M的坐標(biāo)為（括,1）,」.M到x軸的距離為1,即。M的半徑為1,

則OM的方程為（x—百尸+⑶一1尸=1,-----------------------

4分

設(shè)ON的半徑為一其與x軸的的切點(diǎn)為C,連接MA、MC,

由RbOAMsRtAOCN可知，OM:ON=MA:NC,

r1

即——=±n〃=3,

3+rr

貝！JOC=3若，貝[]ON的方程為（x—36）2+（y—3）2=9；---------8分

（2）由對(duì)稱性可知，所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)A點(diǎn)直線MN的平行線被ON截得的

弦

的長(zhǎng)度，此弦的方程是y=三（x-百），即：=0,

圓心N到該直線的距離d=—,------------------------------

2

-11分

貝!I弦長(zhǎng)=2j——=回------------------------------------

-14分

733

另解：求得B(三《)，再得過(guò)B與MN平行的直線方程

x-"\［^y+*\/3-0,

n______

圓心N到該直線的距離優(yōu)=—,則弦長(zhǎng)=2^P-d2=V33.

2

(也可以干脆求A點(diǎn)或B點(diǎn)到直線MN的距離，進(jìn)而求得弦長(zhǎng))

18.(本小題滿分14分)

解：(1)/(x)=sinx-cosx=72sin(x-—),

4

令九一?￡［2k/r-,2左乃+1］(keZ)

7T3冗

貝!］九￡［2左〃---2k兀?----］,----------------------------------2分

44

37r7IT

由于xe［0,2刈，則/(x)在［0,2幻內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,衛(wèi)］和［上,2幻；

44

-4分

(注：將單調(diào)遞增區(qū)間寫成［吟］U呼叫的形式扣1分)

37r

(2)依題意，x0=2kji+—(eZ)z

■■6分

由周期性，/(%)+/(2x0)+/(3x0)

/.3?3?、/.3〃3?、/.9?9?、不、

=(sin------cos—)+(sin------cos—)+(sin-------cos—)=々2—I;

442244

8分

(3)函數(shù)g(x)=/(xeH)為單調(diào)增函數(shù),

且當(dāng)xe［0,—］時(shí)，/(x)<0,g(x)=ex>0,此時(shí)有/(x)<g(x)；—

4

-------------10

分

jrA_jrI-1

當(dāng)x￡—,+<x)時(shí)，由于In/=—x0.785,而In收=—In2?0.345,

L4J42

71

則有Ine”>InV2,BPg(—)=e4〉0,

4

又g(x)為增函數(shù)，二當(dāng)xe?,+<|時(shí)，g(x)〉0-――12分

而函數(shù)/(x)的最大值為a,即/⑴<逝，

則當(dāng)xe［,+oo］時(shí)，恒有/(x)<g(x),

綜上，在［0,”)恒有/(x)<g(x),即方程/(x)=g(x)在［0,4w)內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)

解

-14分

19.(本小題滿分16分)

解：(1)尸(X)=/_4X+3,貝！J尸(x)=(x—2產(chǎn)—12—1,

即曲線C上隨意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍是［-1,”)；--------4分

k>-l

(2)由(1)可知，1---------------------------------------------6

-----W>—11

、k

分

解得一1W左<0或左21,由一1<一—4%+3<0或無(wú)2-4%+321

得：xe(―oo,2—(1,3)U［2+V2,+co)；------------------------9分

(3)設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A(X］,%)的切線曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B(x2,y2),

再H%2，

則切線方程是：y——2x「+3七）=（X；-4七+3）（x—馬）,

2

化簡(jiǎn)得：y=（x/―4/+3）x+（-§x；+2xJ）,-----------------11分

232

而過(guò)B（x2,y2）的切線方程是y=（x2-4X2+3）x+（--x2+2x2）,

由于兩切線是同始終線，

2

貝!J有:%」-4xl+3=x2-4X2+3，得國(guó)+%=4,--------------13分

又由一§%；+2%]2=——x^+2/2/

2

2

即-§（X]-x2）（%/+xxx2+x2）+25-x2）（x；+x2）=0

2

—g（x:+xrx2+x2）+4=0，即巧（七+X2）+/2-12=0

—

即（4—%）x4+x，—12=0,x2"4X2+4=0

得X2=2，但當(dāng)％=2時(shí)，由X1+%2=4得再=2,這與％片％2沖突。

所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)。------------------------16分

20.（本小題滿分18分）

解：（1）若g=〃,因?yàn)?,6,7任A，則5,6,,

由此可見(jiàn)，等差數(shù)列｛b,,｝的公差為1,而3是數(shù)列｛2｝中的項(xiàng)，

所以3只可能是數(shù)列｛0｝中的第1,2,3項(xiàng)，

若么=3，則么=〃+2,若。2=3,則2=〃+1,

若d=3,貝場(chǎng)=n;---------------------------------------

4分

（注：寫出一個(gè)或兩個(gè)通項(xiàng)公式得2分，全部寫出得4分）

（2）首先對(duì)元素2進(jìn)行分類探討:

①若2是數(shù)列｛%｝的第2項(xiàng)，由｛%｝的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得

。4=2^=8=。9，這明顯不行能；

②若2是數(shù)列｛%｝的第3項(xiàng)，由｛%｝的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得42=2,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是將集合AU8中的元素按從小到大的依次排列構(gòu)成的,

所以么>0,則-=,因此數(shù)列｛c,J的前5項(xiàng)分別為1,V2,2,2V2,4,

這樣a,

則數(shù)列匕」的前9項(xiàng)分別為1,V2,2,2V2,4,3V2,4V2,5V2,8,

上述數(shù)列符合要求；-----------------------------------------10

分

③若2是數(shù)列｛%｝的第左項(xiàng)(k>4)，則仇一仇<2-1,

即數(shù)列?,｝的公差d<l,

所以d=A+5d<2+5=7,1,2,4<°9,所以1,2,4在數(shù)列

｛%｝的

前8項(xiàng)中，由于,這樣，仇，為，…，小以及1，2,4共9

項(xiàng)，

它們均小于8,

即數(shù)列｛cj的前9項(xiàng)均小于8,這與。9=8沖突。

綜上所述，b“=?n,-----------------------------------------

12分

其次，當(dāng)“W4時(shí)，^=V2>|,

%4

C￡=3V|<5,￡L=1>5,--------------------------------14

c544c634

分

當(dāng)〃27時(shí)，4后，因?yàn)閼?yīng)｝是公差為41的等差數(shù)列，

所以c“+i-c?<V2,-----------------------------------------16

分

所以S±L=&+*+i-%=1+c“+i-g<1+叵=,

gC“C"4724

此時(shí)的〃不符合要求。所以符合要求的〃一共有5個(gè)。-------------

18分

三、附加題部分：

21.（必做題）（本小題滿分12分）

解：（1）將y=2x+左代入/=4y得--Sx-4k^0,---------------2分

由△=64+16左＞0可知左＞T,

另一方面，弦長(zhǎng)AB=V^xJ⑨+16B=20,解得％=1;---------6分

（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線為y=2x+1,要使得內(nèi)接AABC面積最大，

則只須使得其=1x2xc=2,---------------------------------10分

即％=4，即C位于（4,4）點(diǎn)處.----------------------------12分

22.（必做題）（本小題滿分12分）

解：（1）分別記甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)筆試合格為事務(wù)4、A?、A3;

E表示事務(wù)"恰有一人通過(guò)筆試"

則P（E）=p（AAA）+P（4AA）+P（4辦）

=0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4

=0.386

分

(2)解法一：因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過(guò)兩次考試后合格的概率均為

p=0.3,

—9分

所以J-3(3,0.3),故E8=叩=3x0.3=0.9.---------12分

解法二：分別記甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過(guò)兩次考試后合格為事務(wù)

AC,

則P(A)=P(B)=P(C)=0.3

所以尸(J=1)=3><(1—0.3)2x0.3=0.441,

PC=2)=3x0.32x0.7=0.189,=3)==0.027.

于是，E?=1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.

23.(選做題)(本小題滿分8分)

證明：(1)過(guò)D點(diǎn)作DGIIBC,并交AF于G點(diǎn)，------------------------2分

???E是BD的中點(diǎn),/.BE=DE,

又../EBFUNEDG,ZBEF=ZDEG,

.-.ABEF^ADEG,則BF=DG,

.-.BF：FC=DG：FC,

又,「D是AC的中點(diǎn)，則DG：FC=1：2,

則BF：FC=1：2；---------------------------------------------4分

(2)若MEF以BF為底，ABDC以BC為底，

則由(1)知BF：BC=1：3,

又由BE：BD=1：2可知4:h2=l：2,其中用、力2分另