2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何探究題專項(xiàng)練習(xí)

幾何探究題專項(xiàng)練習(xí)

類型1非動(dòng)點(diǎn)探究題

1.（2022浙江湖州）已知在R3ABC中,NACB=9（T,a,b分別表示/A,/B的對(duì)邊,a>b.記AABC的面積為S.

⑴如圖1,分別以AC,CB為邊向外作正方形ACDE和正方形ACDEBGFC.記正方形的面積為Si,正方形BGFC的

面積為S2.

①若Si=9,Sz=16,求S的值；

②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接FN,交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)H.若FHLAB（如圖2所示），求證：S2-

Si=2S;

（2攻口圖3,分別以AC,CB為邊向外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE,記等邊三角形ACD的面積為Sx,等邊

三角形CBE的面積為S2.以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在AABF內(nèi)），連接EF,CF.若EFLCF,試探索S2-

Si與S之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

2.（2022浙江寧波）

【基礎(chǔ)鞏固】

⑴如圖1,在AABC中,D,E,F分別為AB,AC,BC上的點(diǎn),DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)G,求證:DG=EG;

【嘗試應(yīng)用】

⑵如圖2,在（1）的條件下，連接CD,CG,若CG_LDE,CD=6,AE=3,求北的值；

DC

【拓展提高】

⑶如圖3,在nABCD中,NADC=45*AC與BD交于點(diǎn)O,E為AO上一點(diǎn),EG〃BD交AD于點(diǎn)G,EF，EG交BC于點(diǎn)

F.若/EGF=4（r,FG平分/EFC,FG=10,求BF的長(zhǎng).

圖3

3.(2022江蘇蘇州)(1)如圖1,在AABC中,/ACB=2NB,CD平分NACB,交AB于點(diǎn)D,DE〃AC,交BC于點(diǎn)E.

①若DE=1,BD=|,求BC的長(zhǎng)；

②試探究喘-器是不是定值，如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

ADDE

⑵如圖2,/CBG和/BCF是AABC的2個(gè)外角,/BCF=2/CBG,CD平分NBCF,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,DE〃AC,交CB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.iBAACD的面積為SiACDE的面積為Sz/BDE的面積為S3,若-S=求cos/CBD的

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值.

4.(2022廣西貴港)如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，乙ABC=60。,,動(dòng)點(diǎn)E在AB邊上(與點(diǎn)A、B均不重合)，點(diǎn)F

在對(duì)角線AC±,CE與BF相交于點(diǎn)G,連接AG,DF,若AF=B3則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.DF=CEB.ABGC=120°

C.AF2=EG-ECD.AG的最小值為BI2

5.(2022山東青島)如圖，在RSABC中,NACB=9(T,AB=5cm,BC=3cm將AABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到

△ADE,連接CD.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s洞時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻

速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s.PQ交AC于點(diǎn)F,連接CP,EQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<5)解答下列問(wèn)題：

⑴當(dāng)EQXAD時(shí)，求t的值；

⑵設(shè)四邊形PCDQ的面積為S(cW),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使PQ〃CD?若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（2022湖南衡陽(yáng)）如圖,在菱形ABCD中,AB=4,NBAD=60。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQLAB于點(diǎn)Q,作PMLAD交直線AB于點(diǎn)M,交直線BC于點(diǎn)F,設(shè)APQM與菱形

ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.

⑴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí).求t的值；

（2）當(dāng)t為何值時(shí),AAPQ與ABMF全等？

⑶求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑷以線段PQ為邊，在PQ右側(cè)作等邊三角形PQE,當(dāng)2<t<4時(shí)，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

7.（2022江蘇揚(yáng)州）如圖在AABC中,/BAC=9（T,NC=60。點(diǎn)D在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合）,

過(guò)點(diǎn)D作DELAD,交射線AB于點(diǎn)E.

⑴分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

①點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上且BE=BD;

②點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED;

⑵若AB=6.

①當(dāng)案=爭(zhēng)寸，求AE的長(zhǎng)；

②直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AE長(zhǎng)度的最小值.

備用圖

類型3平移探究題

8.（2021山東淄博）在正方形ABCD的邊BC上任取一點(diǎn)F，連接AF，一條與AF垂直的直線1（垂足為點(diǎn)P）沿AF方

向，從點(diǎn)A開(kāi)始向下平移，交邊AB于點(diǎn)E.

圖①圖②

圖③

⑴當(dāng)直線1經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖①所示，求證:AE=BF;

⑵當(dāng)直線1經(jīng)過(guò)AF的中點(diǎn)時(shí)，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)Q,連接FQ,如圖②所示，求/AFQ的度數(shù)；

⑶直線1繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在對(duì)角線BD上時(shí)，交邊CD于點(diǎn)G,如圖③所示.設(shè)AB=2,BF=x,DG=y，求y與x

之間的關(guān)系式.

9.（2020浙江嘉興）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與

點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖①），其中/ACB=/DFE=90。,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并進(jìn)行如下研究活動(dòng).

活動(dòng)一：將圖①中的紙片DEF沿AC方向平移，連接AE,BD（如圖②），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移.

【思考】圖②中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；

【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖③），求AF的長(zhǎng)；

活動(dòng)二：在圖③中，WAD的中點(diǎn)O,再將紙片DEF繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a度（0三心90）,連接OBQE（如圖

@）.

【探究】當(dāng)EF平分/AEO時(shí).探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖③圖④

10.（2022廣西貴港）已知:點(diǎn)C,D均在直線1的上方,AC與BD都是直線1的垂線段，且BD在AC的右

側(cè),BD=2AC,AD與BC相交于點(diǎn)O.

⑴如圖1,若連接CD廁ABCD的形狀為_(kāi)______，星/AD的的值為；

⑵若將BD沿直線1平移，并以AD為一邊在直線1的上方作等邊AADE.

①如圖2,當(dāng)AE與AC重合時(shí)，連接OE,若AC=|,求OE的長(zhǎng)；

②如圖3,當(dāng)/ACB=60。時(shí).連接EC并延長(zhǎng)交直線1于點(diǎn)F,連接OF.求證:OF，AB.

類型4旋轉(zhuǎn)探究題

11.（2022廣西柳州）如圖，在正方形ABCD中,AB=4,G是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG=2,連接DE,

將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,連接CF,則線段CF長(zhǎng)的最小值為.

12.（2022湖南岳陽(yáng)）如圖,AABC和ADBE的頂點(diǎn)B重合,/ABC=ZDBE=90°,ZBAC=ZBDE=30°,BC=3,BE=2.

⑴特例發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)點(diǎn)D,E分別在AB,BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：%=，直線AD與直線CE的位置關(guān)系是_____；

⑵探究證明:如圖2,將圖1中的ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D恰好落在線段AC上，連接EC，⑴中的結(jié)論是否

仍然成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）拓展運(yùn)用：如圖3,將圖1中的.ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（a（19。<?<60。）,連接AD、EC,它們的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)F,當(dāng)DF=BE時(shí)，求tan（60"a）的值

13.（2022江蘇連云港）

【問(wèn)題情境】

在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中/ACB=NDEB=90。,

ZB=30°,BE=AC=3.

【問(wèn)題探究】

小昕同學(xué)將三角板DEB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).

⑴如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時(shí)，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F,求BF的長(zhǎng);

⑵若點(diǎn)C、E、D在同一條直線上，求點(diǎn)D到直線BC的距離：

⑶連接DC,取DC的中點(diǎn)G,三角板DEB由初始位置（圖1）旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上（如圖3）,求點(diǎn)G

所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

（4攻口圖4,G為DC的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值是.

BH

圖4

14.（2022河北）如圖1,四邊形ABCD中,AD\\BC,/.ABC=90。,〃=30°,AD=3,AB=2百,于點(diǎn)H.將A

PQM與該四邊形按如圖所示方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上.其中NQ=90QPM=

30°,PM=4V3.

圖1

圖2

（1）求證:zkPQM烏ACHD;

⑵APQM從圖1的位置出發(fā),先沿著B(niǎo)C方向向右平移（圖2）,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（圖3）,

當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50。時(shí)停止.

①邊PQ從平移開(kāi)始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過(guò)的面積；

②如圖2,點(diǎn)K在BH上，且BK=9-4遍若APQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5。,

求點(diǎn)K在APQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)；

③如圖3,在APQM旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)PQ,PM分別交BC于點(diǎn)E,F,若BE=d，直接寫出CF的長(zhǎng)(用含

d的式子表示).

類型5折疊探究題

15.(2022天津)將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,6),點(diǎn)P在邊OC上(點(diǎn)P

不與點(diǎn)OC重合)，折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,并與x軸的正半軸相交于點(diǎn)Q,且/OPQ=30。,點(diǎn)O

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O落在第一象限.設(shè)OQ=t.

⑴如圖①，當(dāng)t=l時(shí)，求/OQA的大小和點(diǎn)O的坐標(biāo)；

(2)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，OQQP分別與邊AB相交于點(diǎn)E,F,試用含有t的式子表示OE的長(zhǎng)，并直接

寫出t的取值范圍；

(3)若折疊后重合部分的面積為33遍，則t的值可以是(請(qǐng)直接寫出兩個(gè)不同的值即可).

16.(2022河南)綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

⑴操作判斷

操作一:對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二:在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30。的角:;

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片ABCD按照(1)中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交

CD于點(diǎn)Q,連接BQ.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí),乙MBQ=。，/CBQ='

②改變點(diǎn)P在AD上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合)，如圖3,判斷乙MBQ與NCBQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)拓展應(yīng)用

在⑵的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm,當(dāng)FQ=Ion時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng).

圖3

17.(2022湖北鄂州)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△。48的直角邊OA在y軸的正半軸上，且。4=6,斜邊OB=

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P滿足乙POB=45。,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE以PE為折痕，在平面內(nèi)將AAPE折疊點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A；當(dāng)PA'XOB

時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)如圖3,若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF=2,連接FP,將線段FP繞點(diǎn)F按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得線段FG,連接OG,當(dāng)

OG取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出OG的最小值和此時(shí)線段FP掃過(guò)的面積.

18.（2022新疆）如圖，在AABC中，NABC=30°,AB=AC?^。為BC的中點(diǎn)點(diǎn)D是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與

點(diǎn)O,C重合），將△ACD沿AD折疊得到.△4ED,連接BE.

⑴當(dāng)AE1BC時(shí)，/.AEB=。；

⑵探究“EB與NC4D之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

（3）設(shè)AC=4,A4CD的面積為x,以AD為邊長(zhǎng)的正方形的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

19.（2022海南）如圖1,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點(diǎn)P在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線AP與DC的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)E.

⑴當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí),求證:AABP絲Z\ECP;

⑵將AAPB沿直線AP折疊得到AAPB；點(diǎn)B落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長(zhǎng)PB交直線AD于點(diǎn)F.

①證明FA=FP,并求出在⑴條件下AF的值；

②連接BC求APCB，周長(zhǎng)的最小值；

③如圖2,BB交AE于點(diǎn)H,點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，當(dāng)乙EAB'=2乙4E二時(shí),請(qǐng)判斷AB與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

圖1圖2

類型6類比探究題

20.（2022陜西）

問(wèn)題提出

⑴如圖1,AD是等邊AABC的中線點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，且AP=AC則/APC的度數(shù)為；

問(wèn)題探究

（2）如圖2,在AABC中,CA=CB=6,NC=120。.過(guò)點(diǎn)A作AP〃BC,且AP=BC.過(guò)點(diǎn)P作直線UBC,分別交AB、BC于點(diǎn)O、

E.求四邊形OECA的面積;

問(wèn)題解決

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊AABC型板材,NACB為鈍角，/BAC=45。.工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)AABP型部件，并要求

NBAP=15o,AP=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點(diǎn)C為圓心，以CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D,連接CD;

②作CD的垂直平分線1與CD交于點(diǎn)E;

③以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交