2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)與角的題復(fù)習(xí)講義

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)與角的題復(fù)習(xí)講義

解題策略角的問題

關(guān)于求特定角存在時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)問題，可以借助角的和差、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)求解，也可以通過三

角函數(shù)或圓周角轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解.

模型一利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化角

已知：二次函數(shù)y=返—2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn),如圖,

P是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NACP=45。時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo).

思路分析:由于NACP=45。,可以圍繞NACP作等腰直角三角形ACK,令NCAK=90。,然后由直線CK與拋物線的

交點(diǎn)確定點(diǎn)P.

因?yàn)锳ACK是等腰直角三角形,可以考慮構(gòu)造一線三等角全等模型求K點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求直線CK的解析式.

已知：二次函數(shù)y=%2-2%-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn),如圖，

P為對(duì)稱軸上一點(diǎn)若NAPC=NABC,求出P點(diǎn)坐標(biāo).

思路分析：由于NAPC與NABC都對(duì)著線段AC,故可通過作圓解決，利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，圖

中兩條優(yōu)弧上的點(diǎn)都可以使NAPC=NABC,左側(cè)圓弧不可能與拋物線對(duì)稱軸相交，故左側(cè)圓弧上不存在滿足條件的

P點(diǎn).

由圖可知：過A,B,C三點(diǎn)的外接圓的圓心W是AB,BC的垂直平分線的交點(diǎn)，而ABOC為等腰直角三角形，

所以BC的垂直平分線經(jīng)過原點(diǎn)0,所以這條垂直平分線的解析式為y=-x,通過它與對(duì)稱軸的交點(diǎn)可以知道圓心

W的坐標(biāo)為（1,-1）,最后通過WP=WB求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

模型三利用三角函數(shù)和圓轉(zhuǎn)化角

已知：二次函數(shù)y=返_2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)

為D.如圖,P是拋物線上一點(diǎn)若NAPB=NADE,請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo).

思路分析：是定角,可通過相似或三角函數(shù)改變它的位置，由于Z4PB中A、B兩點(diǎn)為定點(diǎn)，故可通過

圓周角求出P點(diǎn)位置.

精選例題

例1.綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交,

y=4%-3xA,BAByfz

于點(diǎn)C.直線I與拋物線交于A,D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-3).\/

(1)請(qǐng)直接寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線I的函數(shù)解析式；1,

(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>0),過點(diǎn)P作PM1X軸，垂足\

為M.PM與直線I交于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且.^ADQ=45:求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解析

Q)令y=0,有:/—久一3=0,解之可得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；利用待定系數(shù)法可得直線I的函數(shù)表達(dá)式；

4

⑵分兩種情況討論點(diǎn)P的坐標(biāo)：①當(dāng).PM=3MN時(shí);②當(dāng).PM=3NP時(shí)；

(3)分兩種情況點(diǎn)Q的坐標(biāo).①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)(Qz；;②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)

Q2.

解(l)A(-2,0),B(6,0)直線I的函數(shù)解析式為：y=-|x-l;

(2)如答圖L根據(jù)題意可知,04mW4,點(diǎn)P與點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為

P—|m—1^.

PM2=--m2+m+3,

=1I-4m—1m—341

MN=|--m—1|=-m+1,

NP=^—|m—1^—Qm2—m—3^=—^m2++2.

分兩種情況：

答圖1

①當(dāng)PM=3MN時(shí)彳導(dǎo)-jm2+m+3=3Qm+1).

解，得加=0,m2=-2(舍去).

當(dāng)m=0時(shí)，^m2-m-3=-3..,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3).

②當(dāng)PM=3NP時(shí)彳導(dǎo)—+7n+3=3(―1m2+[7n+2).

解，得啊=3,m2=-2(舍去).

當(dāng)m=3時(shí),；病-zu-3=,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(31一牛).

「?當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3)或(3，-手);

⑶直線y=-六-1與y軸交于點(diǎn)E,.?.點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,-1).

分兩種情況：①如答圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí),記為點(diǎn)Qi.

過點(diǎn)Qi作QIH_L直線I,垂足為點(diǎn)H.則.NQiHE=NAOE=9-ZQ.EH=ZAEO,/.△Q.HEO^AOE.

.Q1H_HEgr,Qi"_HF

AO~OE網(wǎng)2-1

???QiH=2HE.

又「NQQH=45。,NQiHD=90。,

??.NHQQ=NQ/H=45:

???DH=Q1H=2HE.HE=ED.

連接CD,?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-3),

答圖2

/.CD±y軸.?.?.ED=VCE2+CD2=7[-1-(-3)]2+42=2A/5

HE=2y/5,Q±H=4A/5.

??.QiE=yjHE?+Qi“2=J(26)+(4V5)=10.

???OQi=QNE—OE=10—1=9

.?點(diǎn)Qi的坐標(biāo)為(0,9).

②如答圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)(Qz過點(diǎn)Qz作QzG1直線I,垂足為點(diǎn)G.則ZQ2GE=NAOE

NQ2EG=ZAEO,

Q2GEO△AOE.

.Q2G_￡￡gnQ2G_￡￡

??AO~OE間2-1

???Q2G=2EG.

又ZQ2DG=45:NQ2GD=90:

???NDQ2G=NQ2DG=45:

DG=Q2G=2EG.

??.ED=EG+DG=3EG.

由①可知，ED=2V5.

3EG=2V5.EG=誓.：.Q2G=竽

I22

EQ2=JEG2+Q2G2=J(邛)+(竽)=拳

。＜22=OE+以2=1+￡=停點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為—3

，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,9)或(0，-葭).

例2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(l,0).已知拋物線y^x2+mx-2?、耸浅?shù))，頂點(diǎn)為P.

(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)ZAOP=45田寸，求拋物線的解析式；

(3)無(wú)論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H.當(dāng)ZAHP=45f寸，求拋物線的解析式.

解析

(1)待定系數(shù)法代入A點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的解析式，然后即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)可先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)P在X軸的下方，當(dāng).ZAOP=45?寸，P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

(3)函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，需把為止系數(shù)作為主元，令其系數(shù)為0即可，即y=x2+mx-2m=x^+m(x-2),

令久-2=0,x=2,y=4,即過定點(diǎn)(2,4).當(dāng)NAHP=45時(shí)，我們可以構(gòu)造等腰直角三角形，利用一線三等角全等

模型求解.

解Q)；拋物線y=久2+mx—2m經(jīng)過點(diǎn)A(1,O),

0=1+m—2皿解得：m=1,

???拋物線解析式為y=/+%_2,

1、29

(

，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(_}_?;

(2)拋物線—2nl的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(—葭，—空詈)，

由點(diǎn)A(1,0)在x軸的正半軸上，點(diǎn)P在x軸的下方，ZAOP=45知點(diǎn)P在第四象限，如答圖1,過點(diǎn)P

作PQ，x軸于點(diǎn)Q

貝！INPOQ=NOPQ=45°

m

可知PQ=OQ,即

21

解得：=0,m2=-10,

當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)P不在第四象限,舍去;

，拋物線的解析式為y=%2-10X+20;

⑶解法一：由y=X2+mx-2m-x2+m(x-2)可知當(dāng)x=2時(shí)，無(wú)論m取何值時(shí)y都等于4,二點(diǎn)H的坐標(biāo)

為(2,4),

如答圖2,過點(diǎn)A作AD±AH,交射線HP于點(diǎn)D,分別過點(diǎn)D、H作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、G,

貝UNDGA=NAEH=90°,

.?NDAH=90°,NAHD=45°,

.?.zADH=45°,

.-.AH=AD,

?.zDAG+zHAG=zAHE+zHAG=90°,答圖2

.-.zDAG=zAHE,

.-.△ADG^HAE,

,?.DG=AE=1,AG=HE=4,

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)或(5,-1);

①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)時(shí)，可得直線DH的解析式為y=|x+y,

.點(diǎn)2(_會(huì)一中)在直線y=|x+募上，

一中=|X(―5)+?解得:孫=_4、」=一虧，

當(dāng)m=-4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)H重合,不符合題意，

m=—14

5

②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,-1)時(shí)，可得直線DH的解析式為y=-|x+p

.點(diǎn)―中)在直線、=—1"+等上，卜、

..._2：8m=_,X(_1)+/解得:啊=—4(舍)，巾2=一爭(zhēng)宗上，m=一3或

答圖3

則拋物線的解析式為y=X2-^-x+g或y-X2-yx+y.

解法二：同解法一，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,4),

如答圖3,過點(diǎn)A作EF，x軸，過點(diǎn)D作DELEF于點(diǎn)E,過點(diǎn)H作HF1EF于點(diǎn)F,則NDEA=NAFH=90°,

.NDAH=90°,NAHD=45°,

.?.zADH=45°,/.AH=AD,

則如果可構(gòu)造出一線三等角，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)或(5,-1);下同解法一.

例3如圖,已知點(diǎn)A(-1,O),B(3,O),C(O,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.

(1)求拋物線解析式；

(2)在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)P，使APBC面積為1;

(3)在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)Q,使NBQC=NBAC?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

說(shuō)明理由.

解析

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-3),將C(O,1)代入求得a的值即可；

⑵過點(diǎn)P作PD，x,交BC與點(diǎn)D,先求得直線BC的解析式為y=-梟+1,設(shè)點(diǎn)P(x,-|x2+|x+1),則

D(久，+1),然后可得到PD與x之間的關(guān)系式，接下來(lái)，依據(jù)△PBC的面積為1列方程求解即可；

(3)首先依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得到.NBQC=ZBAC=45：設(shè)△ABC外接圓圓心為M則NCMB=90°,

設(shè)。M的半徑為x,則RbCMB中，依據(jù)勾股定理可求得OM的半徑，然后依據(jù)外心的性質(zhì)可得到點(diǎn)M為直線y

=-x與x=l的交點(diǎn)，從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)M的坐標(biāo)以及。M的半徑可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解Q)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x--3),將C(0,l)代入得-3a=1,解得：a=.

,拋物線的解析式為y=-1x2+|x+l;

⑵過點(diǎn)P作PD，x,交BC與點(diǎn)D.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b廁｛3k：]；°,解得

，直線BC的解析式為y=-1x+1.

設(shè)點(diǎn)「卜一1%2+|%+)則+

.?.PD=|x2+[%+1)-+1)=—1%2+x,

22

.-.SPBC=\0B-DP=ix3X(-^x+X)=-1x+|x.

又.SAPBC=L

_|^2+|x=1,整理得：x2—3x+2=0解得:x=l或x=2,

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為((嗎)或(2,1);

⑶存在.

■.A(-1,O),C(O,1),

.QC=OA=1

.?.zBAC=45°.

???NBQC=ZBAC=45°

.?.點(diǎn)Q為△ABC外接圓與拋物線對(duì)稱軸在x軸下方的交點(diǎn).

設(shè)AABC外接圓圓心為點(diǎn)M,則NCMB=90°

設(shè)0M的半徑為r,則RNCMB中，

由勾股定理可知(CM2+BM2=BC3即2T2=10,

解得：7=近(負(fù)值已舍去)，

'.AC的垂直平分線的為直線丫=r,AB的垂直平分線為直線.久=1,

，點(diǎn)M為直線y=-x與x=l的交點(diǎn)，即M(l,-1),

，Q的坐標(biāo)為((1，—1—返).

精選練習(xí)

1.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、B(0,-2),且過點(diǎn)C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且SPBA=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點(diǎn)M，使ZABO=4BM?若存在，求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，

2.已知二次函數(shù)圖象過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),C(0,4).

⑴求二次函數(shù)的解析式.

⑵如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，在線段PB上是否存在點(diǎn)M，使得NBMC=90若存在，求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)點(diǎn)K在拋物線上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，直線KD與直線BC的夾角為銳角6,且tan0=|,求點(diǎn)K的坐標(biāo).

3.如圖，已知頂點(diǎn)為(-3)的拋物線y=ax2+b{a力0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，直線y-x+m過頂點(diǎn)C

和點(diǎn)B.

⑴求m的值;

(2)求函數(shù)y=ax2+b(a豐0)的解析式；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得NMCB=152若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

精選練習(xí)

1.解:⑴：拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0,-2),，c=2又?..拋物線過點(diǎn)(3,0)(2,-2).

2

.[9a+3b—2=0,解彳曰口二7

"(4a+2b—2=-2,解傳[b=-士，

???拋物線的解析式為y=|%2-1%-2;

(2)連接PO,設(shè)點(diǎn)2),

411

則SpAB=SRPA+^AOB-SROB=萬(wàn)義3.6n——根一2)+-x3x2——x2-m=m7—3m,

3722'

由題意得m2-3m=4,m=4,或m=-1(舍去)，

2410

2——m—2n=—.

333

..?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,y)；

⑶設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,

???直線AB過點(diǎn)A(3,0),B(0,-2),

k=l'

二?1’解之，得:

n=-2,

???直線AB的解析式為：y=|刀-2,設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意,點(diǎn)M的坐標(biāo)為

過點(diǎn)M作MELy軸，垂足為點(diǎn)E,作MDLx軸交于AB于點(diǎn)D,

則D的坐標(biāo)為(t，|t—2),MD=-|t2+2t,BE=-|t2+1t.

又MD〃y軸,

???NABO=NMDB.

又TNABONABM,

AZMDB=ZABM.

???MD=MB.

???MB=--t2+2t.

3

在RtABEM中，

(-碧+3)+t2=(-1t2+2t),

解之，得：t=?

o

???點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為J

o

2.解:⑴：二次函數(shù)圖象過點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)A(-2,0),

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x-4).

???二次函數(shù)圖象過點(diǎn)C(0,4),

.-.4=a(0+2)(0-4).

1

a=—.

2

.,.二次函數(shù)的解析式為y=-|(x+2)(%-4)=-|x2+x+4；

(2)存在，

:點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),C(0,4),點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC中點(diǎn)

；.P(-1,2),點(diǎn)Q(2,2),

BC=J(4-0)2+(0-4尸=4V2.

設(shè)直線BP解析式為:y=kx+b,

由題意可得：'解得：

???直線BP的解析式為：y=-|x+|.

VZBMC=90°,.".點(diǎn)M在以BC為直徑的圓上，

??設(shè)點(diǎn)M卜，一：c+

:點(diǎn)Q是R3BCM的中點(diǎn)，MQ=^BC=2vx

MQ2=8.

???(C-2)2+(一|c+g—2)2=8,.-.c=4■或

當(dāng)c=4時(shí)，點(diǎn)B,點(diǎn)M重合.即c=4,不合題意舍去，

-葛則點(diǎn)M坐標(biāo)(-亮焉)

故線段PB上存在點(diǎn)M(-￡，j1)^%BMC=90。；

(3)如答圖2,過點(diǎn)D作DEXBC于點(diǎn)E,設(shè)直線DK與BC交于點(diǎn)N.

:?點(diǎn)A(-2,0),B(4.0),C(0,4),點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)D(1,0),OB=OC=4,AB=6,BD=3,

ZOBC=45°.

VDE±BC,.\ZEDB=ZEBD=45°.

八「n「BD3^2

...DE=BE=^=—

?.,點(diǎn)B(4,0),C(0,4),

，直線BC解析式為y=-x+4.

設(shè)點(diǎn)E(n,-n+4),

,.35

—n+4=n=-.

22

???點(diǎn)E(|，|).

空r

在RtADNE中.NE=鳥=等=處.

tan。110

①若DK與射線EC交于點(diǎn)N(m,4-m).

???NE=BN-BE,：-等=V2(4-m)-乎，

.?.m=|?二點(diǎn)

???直線DK解析式為:y=4x-4,

(y=4%—4,

聯(lián)立方程組可得：［y=_72+”+4,

解得:d或"凌，

???點(diǎn)K坐標(biāo)為(2,4)或(-8,-36);

②若DK與射線EB交于N(m,4-m).

VNE=BE-BN,

9V2

誓-V2(4—m),

10

?17

..rn=—5'.

???點(diǎn)N聯(lián))

直線DK解析式為：y=；久一；

44

(y=-x

聯(lián)立方程組可得J4

Iy=--xz+%+4,

3+V1453-V145

-4-'=-4-，

解得:

—1+V145—1—\/145