2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：與軸對稱相關(guān)的最短路徑問題復(fù)習(xí)講義

與軸對稱相關(guān)的最短路徑問題復(fù)習(xí)講義

與軸對稱相關(guān)的折線和最短路徑問題，其作輔助線方法是作定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在的直線的對稱點(diǎn)，然后利用兩

點(diǎn)間距離線段最短、點(diǎn)到直線的距離垂線段最短、三角形的三邊關(guān)系計(jì)算求解.

模型一利用軸對稱求最短距離-----兩點(diǎn)間距離最短

模型1-1將軍飲馬

場景：點(diǎn)A,B是直線1同側(cè)的定點(diǎn)，在直線1上求一點(diǎn)P，使.PA+PB的值最小.

作輔助線方法：作點(diǎn)B關(guān)于1的對稱點(diǎn)B1,連接.AB，,與1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短.PA+PB的最小值為AB'.

AA

一一

模型1-2

場景：點(diǎn)A,B是直線1異側(cè)的定點(diǎn)，在直線1上求一點(diǎn)P,使P2+PB的值最小.

作輔助線方法：連接AB,與1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短.PA+PB最小值為AB.

模型1-3

場景：點(diǎn)P是定點(diǎn)，在直線h,L上分別求點(diǎn)M,N,使△PMN的周長最小.

作輔助線方法：分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對稱點(diǎn)P和P〃,連接P'P",,與兩直線交點(diǎn)即為點(diǎn)M,N.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短.PM+MN+PN的最小值為線段PP”的長.P'P"

模型1-4

場景：點(diǎn)P,Q是定點(diǎn)，在直線h,%上分別求點(diǎn)M,N,使四邊形PQMN的周長最小.

作輔助線方法：分別作點(diǎn)Q,P關(guān)于直線h,%的對稱點(diǎn)Q'和P',連接Q'P',,與兩直線交點(diǎn)即為點(diǎn)M,N.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短.四邊形PQMN周長的最小值為線段QP的長.

模型1-5造橋選址

場景：直線m〃n,且m,n之間的距離為d,點(diǎn)A,B是M、N兩側(cè)的定點(diǎn)，在m,n上分別求點(diǎn)M,N,

使MN_Lm,且AM+MN+BN的值最小.

作輔助線方法：將點(diǎn)A向下平移MN的長度得點(diǎn)A',連接AB,交n于點(diǎn)N,過N作NMLm于點(diǎn)M.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短.AM+MN+BN的最小值為AB+MN.

4.

4：、

m

坂模型1-6

場景:點(diǎn)A,B是直線1同側(cè)的定點(diǎn),在直線1上求兩點(diǎn)M,N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小.

作輔助線方法：將點(diǎn)A向右平移a個(gè)單位長度得點(diǎn).4,,作點(diǎn)A，關(guān)于1的對稱點(diǎn)A”,連接A“B,交直線1于點(diǎn)

N,將點(diǎn)N向左平移a個(gè)單位長度得點(diǎn)M.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短.AM+MN+BN的最小值為A"B+MN.

模型1-7

場景:A為（1上一定點(diǎn)，B為已上一定點(diǎn)，在12上求點(diǎn)M.在11上求點(diǎn)N,使AM+MN+NB的值最小.

作輔助線方法：作點(diǎn)A關(guān)于b的對稱點(diǎn)A,作點(diǎn)B關(guān)于人的對稱點(diǎn)B',連接.A'B,交b于點(diǎn)M,交A于點(diǎn)N.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短AM+MN+NB的最小值為線段.4?的長.

模型1-8

場景：點(diǎn)A,B是直線1同側(cè)的定點(diǎn)，在直線1上求一點(diǎn)P,使IPA-PB曲值最小.

作輔助線方法：連接AB，作AB的中垂線與直線1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.|PA-PB|=O.

模型1-9

場景：點(diǎn)A,B是直線1同側(cè)的定點(diǎn)，在直線1上求一點(diǎn)P,使IPA-PB曲值最大.

作輔助線方法：連接AB并延長，與直線1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊」PA-PB5AB.

模型1-10

場景：點(diǎn)A,B是直線1異側(cè)的定點(diǎn)，在直線1上求一點(diǎn)P，使IPA-PB由勺值最大.

作輔助線方法：作點(diǎn)B關(guān)于1的對稱點(diǎn)B，作直線AB，,與1交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊.IPA-PB區(qū)AB：

AA

=>B'

一“P

?BB

精選例題

例1.如圖在矩形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)E,AD-.AB=V3:1將4ABD沿BD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,

連接AF交BC于點(diǎn)G,且BG=2,在AD邊上有一點(diǎn)H，使得BH+EH的值最小，此時(shí)差=().

CF

B.也

23CB

V6

rD.-

22

解析A

D

點(diǎn)B,E是定點(diǎn)，點(diǎn)H在定直線AD上，符合“將軍飲馬”模型，可利用“將軍飲馬”模型，找出BH+EH取最小

值時(shí)點(diǎn)H的位置,然后再根據(jù)相關(guān)的幾何知識進(jìn)行求解.

解如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD在對稱點(diǎn)E；連接BE交AD于點(diǎn)H,EE〃AB.

在矢巨形ABCD中,.AD\AB=V3:1,

???ZBDA=ZCBD=30°.

??,ADFB是由△ABD折疊得到的，

JZFDA=60°.

:?△FDA是等邊三角形.

???ZCDF=ZBAF=30°.

:?△DCF名△ABF.

???CF=BF=AB.

VBG=2,

AB=4,EA=EB,ZABE=60°,AAEB是等邊三角形.

???EB二AB=EE.

???ZEBH=30°.

???ZABH=30°.

CFABoV3

—=—=cos30=—.

BHBH2

播=笫故選B.

例2.如圖.等腰△ABC的底邊BC=20,面積為120,點(diǎn)F在邊BC上，且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分線.若點(diǎn)D

在EG上運(yùn)動，則4CDF的周長的最小值為./G

解析B/FC

題目中給出了BF=3FC,可知點(diǎn)F,C為定點(diǎn)，D為動點(diǎn)，求4CDF周長的最小值就轉(zhuǎn)化為豪DF+DC的最小

值.

解如圖.作AHXBC于點(diǎn)H,連接AD.

TEG垂直平分線段AC,

；.DA=DC.

->.DF+DC=AD+DF.

當(dāng)A,D,F共線時(shí),DF+DC的值最小.最小值就是線段AF的長.

--BCAH=120,

2

???AH=12.

VAB=AC,AH±BC,

.*.BH=CH=10.

VBF=3FC,

???CF=FH=5.

AF=7AH2+HF2=V122+52=13.

/.DF+DC的最小值為13.

ACDF的周長的最小值為18.

故答案為18.

例3.如圖,NAOB=60。,點(diǎn)P是/AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP=遮若點(diǎn)M,N分別是射線OA,OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn),

則APMN周長的最小值是（）.

43V6036

A.D.

22

C.6D.3

解析

頂點(diǎn)P在/AOB內(nèi)，動點(diǎn)M,N在/AOB的兩邊，與“模型1-3”相符，可以作定點(diǎn)P關(guān)于動點(diǎn)所在邊的對稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)

化為兩點(diǎn)間線段最短來解答.

解如圖.分別作P點(diǎn)關(guān)于OAQB的對稱點(diǎn)C,D,連接CD分別交OA,OB于點(diǎn)M,N.

則MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=V3,

ZBOP=NBOD,NAOP=ZAOC,/.PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,NCOD=NBOP+/BOD+/AOP+/AOC=2

NAOB=120°.

*此時(shí)△PMN周長最小，最小值為CD的長度.

如圖，作OHLCD于點(diǎn)H.則CH=DH.

ZOCH=30°,

OH^-OC,

22

CH=V3OH=j.

；.CD=2CH=3.

故選D.

例4.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,點(diǎn)E在AB邊上，且BE=1,點(diǎn)P,Q分別是邊BC,CD的動點(diǎn)（均不與

頂點(diǎn)重合）.當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時(shí),四邊形AEPQ的面積是.

解析

由已知條件易得AE=2為定值，且A,E為定點(diǎn)，求四邊形AEPQ的周長的最小值就轉(zhuǎn)化為求AQ+QP+PE的

最小值.仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)與“模型1-4”相符根據(jù)最短路徑的求法，先確定點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E,再確定點(diǎn)A關(guān)于

DC的對稱點(diǎn).4,連接即可得出點(diǎn)P,Q的位置.再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長，從而可求得四邊形AEPQ的面

積.

解如圖作點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E,點(diǎn)A關(guān)于DC的對稱點(diǎn)4,連接AE,與BC,CD的交點(diǎn)即為所求的P,Q

點(diǎn)，此時(shí)四邊形AEPQ的周長最小.

AD=A'D=3,BE=BE'=1,

AA'=6,AE'=4.

：DQ〃AE,D是.44的中點(diǎn)，

ADQ是△AAE的中位線.

.-.DQ==2;CQ=DC-DQ=3-2=1.

VBP/7AA',

■■.^BE'PO^AE'A'.

..告=雪即"二,BP==

AArAEr，642

CP=BC-BP=3--=-

22f

Spq邊形AEPQ=S正力形/UiCD-SAADQ-S^PCQ—S皿p

=9--ADDQ--CQ-CP--BE-BP

222

=9c--1xc3xo2i--xl3x3--1x31x3-=9

222222

故答案為

精選練習(xí)

1.如圖在扇形BOC中,NBOC=6(T,OD平分/BOC交弧BC于點(diǎn)D.點(diǎn)E為半徑OB上一動點(diǎn).若OB=2,則陰

影部分周長的最小值為

2.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，將△ABD沿射線BD平移，得到△EGF,連接EC,GC廁EC+GC的最小值

為.

3.如圖矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，且SPAB=”「小則PC+PD的最小值是.

模型二利用軸對稱求最短距離------點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短

場景：點(diǎn)P是定點(diǎn)，在.人上求點(diǎn)A,在L上求點(diǎn)B,使PA+AB的值最小.

作輔助線方法：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于h的對稱點(diǎn)P',作P'B1。于點(diǎn)B,交21于點(diǎn)A.

結(jié)論：PA+AB的值最小為P,B.

原理：點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短.

Bk

精選例題

例1.如圖，在菱形ABCD中,AC=6夜,BD=6,E是BC邊的中點(diǎn),P,M分別是AC,AB上的動點(diǎn)，連接PE,PM,則

PE+PM的最小值是（）.

A.6B.3V3C.2V6D.4.5

解析

動點(diǎn)P在定直線AC上，動點(diǎn)M和定點(diǎn)E在AC的同側(cè)，所以可先通過作定點(diǎn)關(guān)于定直線所在的對稱點(diǎn)，然

后應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短”來解答.

解如圖作點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E'MXAB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)P.則點(diǎn)P,M即為使PE+PM取得最

小值的點(diǎn)，其PE+PM=PE'+PM=E'M.

四邊形ABCD是菱形，

點(diǎn)E在CD上.

VAC=6V2,BD=6,

AB=J（3A/2）2+32=3V3.

由=-AC-BD=AB-E'M,得-X672X6=3遮?解得E'M=2V6.

麥形ABCD22

即PE+PM的最小值是2V6.

故選C.

例2如圖在RtAABC中./ACB=9（r,AC=6,BC=8,AD平分/CAB交BC于D點(diǎn),E,F分別是AD,AC上的動點(diǎn),

貝（JCE+EF的最小值為（）.

X.-B.-

34

24

C.-D.6

5

解析

點(diǎn)C是定點(diǎn)，E,F是/CAD兩邊的動點(diǎn)，求CE+EF的最小值，可以借助“點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短”模

型進(jìn)行解答.

解如圖，在AB上取點(diǎn)C,使AC=AC,過點(diǎn)C作CF_LAC,垂足為點(diǎn)F,交AD與點(diǎn)E.在RtAABC中,依據(jù)勾股定理

可知BA=10.

*.?AC=AC,ZCAD=ZC'AD,AE=AE,

.,.△AEC^AAEC.

.,.CE=C'E.

；.CE+EF=C'E+EF.

當(dāng)C'F±AC時(shí),CE+EF有最小值.

VC'F±AC,BC±AC,

：.C'F//BC.

.,.△AFC'^AACB.

FCrAC'FC'

一=一，即nn一

BCAB8

故選c.

精選練習(xí)

1.如圖公ABC為等邊三角形，邊長為6,AD，BC,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段AD和AB上的兩個(gè)動點(diǎn),

連接CE,EF廁CE+EF的最小值為.

2.如圖,NAOB的邊0B與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是0A上的一動點(diǎn)，點(diǎn)N(3,0)是0B上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON

的中點(diǎn)/AOB=30。.要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

4.1與軸對稱相關(guān)的最短路徑問題

精選練習(xí)

模型一

1.3V3

解析：如答圖1,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得CE+EFNCF,又根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)CF±AB時(shí),CF有最小

值，此時(shí)CF與AD的交點(diǎn)即為點(diǎn)E(如答圖2),在RtAAFC中,AC=6,NAFC=9(T,/FAC=60。,FC=AC-sin60

°=6x?=3V3.

答圖1

2.解析:作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N；連接N'M交OA于P,則此時(shí),PM+PN最小，由作圖得至U(ON=ON',ZN'ON=2

NAON=60。,求得△NON是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到.N'M1ON,解直角三角形即可得到結(jié)論.

解作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N；連接N'M交OA于P,

則此時(shí),PM+PN最小,

VOA垂直平分NN,

.\0N=ON',ZN'ON=24AON