2024年中考數(shù)學復習：最值綜合練習復習講義

最值綜合練習復習講義

典例精析

【題目6-17］已知0<a<l,0<b<l,求，yja2+b2+Ja2+(1—b)2+J(1—a)2+爐的最小值.

解法如圖6-64,在平面直角坐標系中，在x軸、y軸正半軸上分別取點B,A,使得OB=OA=1,P為第一象限內(nèi)的

點，過點P作PMLy軸于點M,PNLx軸于點N,設(shè)OM=b,ON=a.

易知OP=y/ON2+PN2=加+爐,

AP=VXM2+PM2=Ja2+(i一、)2,

BP=y/PN2+BN2=yjb2+(1-a)2.

求7dz+爐+1呼+(1—b)2+—a)2+爐的最小值,即為求OP+AP+BP的最小值，問題轉(zhuǎn)化成了“費馬

點問題

將4OAP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60。至4OCD處，連接DP,AC,易知△OAC與△ODP均為等邊三角形，故OP+AP+

BP=CD+DP+PB,其中C,B兩點為固定點.

故當C,D,P,B四點共線時,OP+AP+BP的值最小，即為線段BC的長.

易知BC=^CH2+BH2=72+V3=電.J(V3+1)2=月底,即所求最小值為空產(chǎn).

點撥：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)三個根式的被開方數(shù)均為平方和，不禁讓人聯(lián)想到勾股定理，從而構(gòu)造幾何圖形求解.

賞析數(shù)形結(jié)合往往能夠達到意想不到的效果.

【題目6-18］如圖6-65,在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,E,F為AD上兩點，且/EBC+NFCB=90。,求四邊形BE

FC面積的最大值.

解法1如圖6-66,過點E作EH〃FC交BC于點H,貝|NEHB=NFCB,NEBH+/EHB=90。,故點E在以BH為直

徑的。0上.

要使得四邊形BEFC面積最大，則EF要最大，即HC最大，從而BH最小，即。0最小.

當。。與AD相切時,。0最小，如圖6-67.

VOB=OE=OH且OEXAD,

/.0E=AB=2,

.*.BH=2OE=4,

.\HC=2.

???四邊形EHCF為平行四邊形，

.\EF=HC=2,

???四邊形BCFE面積的最大值Smax=竺等烏=竺譬=8.

點撥:核心條件"NEBC+/FCB=90。”中的兩個角是分散的，故通過構(gòu)造平行四邊形將兩個角放到一個直角三角

形里，再根據(jù)直角所對的弦為直徑，將求面積最大問題轉(zhuǎn)化為求圓最小問題，可知相切時圓最小.

解法2如圖6-68.

Zl+Z2=Z2+Z4=90°,ADZ/BC,

???/1二/3二/4,

AABE^ADFC,

.DF_CD

??AB-AE'

設(shè)AE=x，則—=-,DF=

2xx

：.EFAD-(AE+DF)=6—(x+￡)W2,當且僅當x=%即.x=2時，x+(取得最小值4,

'.當且僅當x=2時，EF取得最大值2,

..四邊形BCFE面積的最大值Smax="等0=至詈=8.

點撥:在矩形內(nèi)結(jié)合NEBC+/FCB=90。聯(lián)想到相似，設(shè)未知數(shù)，利用相似表示線段，最后用均值不等式求出最

值，屬于代數(shù)解法.

解法3如圖6-69,過點C作CH/7BE交AD的延長線于點H,設(shè)DF=a,DH=b.

ZEBC+ZFCB=90°,CH/7BE,

ZFCH=90°,AABE^ADCH,

；.DH=AE=b,

.,.△CDF^AHDC,

吆=空，即CD2=DF-DH,

DFCD

ab=4.

_(EF+BCyCD

??、”邊BCFE~

2

_(AD-AE-DF+BCyCD

一2

=(6-a-1+6)X2

一2

=12-(a+b),

又：a+b之2A/OF=2V4=4,當且僅當a=b=2時取等號,

AS四邊形BCFE=12-(a+b)S12-4=8,即面積的最大值為8.

圖6-69

點撥：通過構(gòu)造平行轉(zhuǎn)線移角得到直角三角形，利用射影定理從而得到線段的乘積為定值，再利用均值不等式

求最值.

解法4如圖6-70,延長BE,CF交于點P,過點P作PM±AD于點M,延長PM交BC于點N.

易知NBPC=90。,故點P在以BC為直徑的。O上.

?_(EF+BC》CD

"5可逆：SBCFE=2，

.,?要使得S四邊形BCFE最大，即EF最大.

"?APEF^APBC,

EFPMEFPN-22

—=--，即Bn—=----=1----.

BCPN6PNPN

:點P在。O上，

APN小于等于。O的半徑，即PN<3,

EF2一321

—=1------41-----=―,

6PN33

AEF<25

竺苧也〈處詈=8,即面積的最大值為8.

S四邊^(qū)REE

圖6-70

點撥：通過延長構(gòu)造直角，利用PN小于等于半徑及相似求得面積的最大值，幾何解法，甚為奇妙.

賞析解法1、解法4為幾何解法，利用了圓中的最值技巧，解法1利用相切取最值，解法4利用圓和相似求

最值，但是都脫離不了利用“直角所對的弦為直徑”構(gòu)造圓來解題.解法2、解法3均利用相似及均值不等式，從代數(shù)

角度求解.幾何法、代數(shù)法各有優(yōu)點.

【題目6-19］如圖6-71,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(2,3),交y軸的正半軸于點A,交x軸的正半軸于點B,

求4AOB的面積的最小值.

圖6-71

解法1如圖6-72,過點P作PM，y軸于點M,PN，x軸于點N,設(shè)AM=x.

：PM=2,PN=3,又易知△AMP^APNB,

tAM_MPnr.x_2

,,PN-BN'3―BN'

ABN=

X

OAOB_（3+%乂2+￡）9

=6+大

'''SAOB=22

2,??%+->2x?I=6,當且僅當x=3時取等號,

x7

???SAOB=6+^4-X>12,當且僅當x=3時取等號,

???△AOB的面積的最小值為12.

點撥：設(shè)未知數(shù)后，通過相似表示出其他線段，最終利用均值不等式求出最值.

解法2:一次函數(shù)過定點P(2,3),

/.設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=k(x-2)+3,

即y=kx+3-2k,

.\A(0,3-2k),B(2-3/k,0),

■■■SA0B=10X-0F=|(2-g(3-2k)=|[12—(4k+￡)].

Vk<0,

???4fc+1<-2tfc4=一12,當且僅當4k=之即k=一三時取等號，

k7kk2

SMB=|[12-(4fc+3]>|(12+12)=12,

即AAOB面積的最小值為12.

點撥：可以設(shè)出過定點的一次函數(shù)解析式，從而求出函數(shù)與x軸、y軸的交點，再來計算面積，最終利用均值

不等式求解.因為k為負數(shù)，故4k與9/k同負，也可以使用均值不等式，只是要提取一個負號，所以要注意符號的

變化.

解法3同解法2,得S1.=|[12—（4k+￡）].

令SAAOB=S,.則12-4k-三=2S,

兩邊同乘以k得4k2+（2S-12）fc+9=0.

：k為負數(shù)，這個關(guān)于k的一元二次方程必有解，

b2-4ac=（2S-12）2-4x4x920,

S2-12s>0.

利用數(shù)形結(jié)合的方法可知S>12或SW0（舍去），故小AOB面積的最小值為12.

點撥：通過變形后，將S作為常數(shù)，k作為未知數(shù)，利用k有解從而得出b2-4ac>0?解出S的取值范圍.

解法4如圖6-73,當P為AB的中點時,△AOB面積最小.理由如下：

過點P任作一條直線交y軸于點M,交x軸于點N,過點B作BH〃y軸交MN于點H,過點P作PC±y軸于

點C,作PDLx軸于點D.

易知NMAP=NHBP,

又PA=PB,ZAPM=ZHPB,

.,.△AMP^ABHP,

SA0B=SAMP+s可逆在MOBP=SBHP+S四邊形MOBP=S四邊形MOBH<SAMON,

...當P為AB的中點時,△AOB面積最小.

:此時OB=2OD=4,OA=2OC=6,

；?SOB=]X4X6=12,即4AOB面積的最小值為12.

圖6-73

點撥：通過規(guī)律知點P在特殊位置（即中點）時面積最小，再反過來證明.此法雖然是幾何法，但屬于逆向思維，

過程很容易理解，但是想到P為中點時面積最小還是有些難度的.

賞析解法1、解法2都是用均值不等式求最值，區(qū)別在于解法1利用相似，解法2利用點P設(shè)出一次函數(shù)的

解析式，都有值得學習的地方.解法3將S當作常數(shù)，利用根的判別式求出S的取值范圍，在某些代數(shù)最值問題

中可以借鑒.解法4為幾何法，但此類情況比較少見.

【題目6-20]如圖6-74,在扇形BAC中,AB=5,BC=8,E是BC上一動點，過點E作ED〃AB交圓弧于點D,求

DE的最大值.

解法1如圖6-75,過點A作AMLBC于點M,過點D作DNLBC于點N.

VAB=5,BM=CM=4,

???AM=7AB2-BM2=V52-42=3.

又?.,△EDNS^BAM,

設(shè)DN=3a,則DE=5a.

若DE最大，則DN最大，易知當D為BC的中點時DN最大，此時DN=5-3=2=3a,

210

X-=——.

33

圖6-75

點撥：通過題目條件得到三邊之比為3：4：5的AABM,再利用平行得到角相等，得到三角形相似，從而得

到DN:DE=3:5,最后利用DN的最值來得到DE的最值.

解法2如圖6-76,連接AD,易知△EPDS/\BPA.

設(shè)DE=y,DP=xWAP=5-x,

則有吆="，即

ABPA55-%

'曰_5x_5(x-5)+25_25-

侍y=r=--—=r-5.

要使y最大，則笄最大，從而5—x最小，可知當DPJ_BC時DP最小，為5—3=2,

'5-x

利用代數(shù)法求出最值.

賞析兩種解法均需要用相似將DE與其他線段聯(lián)系起來，解法1采用幾何法，解法2采用代數(shù)法，各有優(yōu)勢.

【題目6-21】已知a,b,c都是正數(shù)，且c^+b2=c2,求分的最大值.

C

解法1如圖.6-77①，構(gòu)造RtAABC,/ACB=9(r,AB=c,AC=b,BC=a，令AB長度固定，則點C在以AB為直徑的。

O上運動，延長AC至點P,使得CP=CB,則AP=a+b,ZP=45°.

,/NP=45。（定角）,AB=c（定弦）,

以AB為直徑向上構(gòu)造等腰RtAADB,則A,B,P三點在0D上.

VAB長度固定,AP=a+b,

當A,D,P三點共線時AP最長，如圖6-77@.

?..此時AP為。D的直徑，

/.△ABP為等腰直角三角形，

圖6-77

點撥：利用a2+/=c2產(chǎn)生的直角，構(gòu)造以c為直徑的圓，將a+b轉(zhuǎn)換為一條線段后發(fā)現(xiàn)定角45°,從而由

定弦、定角得到隱圓，由圓中最大線段為直徑求出結(jié)果.

解法2如圖6-78,在線段AB上取點P,令AP=a,BP=b，作ACJ_AB且AC=AP,作DB_LAB且BD=BP,貝UPC=y/2

a,PD=42b,CD=y/PC2+PD2=V2a2+2b2=V2c.

由“斜大于直”可得AB<CD,gp.a+b<夜c,故—<V2.

c

點撥：由a?+/=?2聯(lián)想到勾股定理，構(gòu)造勾股定理的基本圖形，最后利用“斜大于直”得到最值.

解法3如圖6-79,在線段AB上取點P,使得AP=b,PB=a，構(gòu)造△ACP^ABPD.

易知PC=PD=c且4PCD為等腰直角三角形，則CD=缶.

由“斜大于直''可得AB<CD,BP（a+b<V2c,

故差W也

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