2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：反比例函數(shù)復(fù)習(xí)講義

反比例函數(shù)復(fù)習(xí)講義

典例1如圖，若雙曲線y=:與邊長(zhǎng)為5的等邊.△AOB的邊OA、AB分別相交于C、D兩點(diǎn),且OC=3BD,求

實(shí)數(shù)k的值。

解法一

思維導(dǎo)向利用含有特殊角60。的直角三角形及OC=3BD,利用BD的長(zhǎng)度表示直角三角形各邊長(zhǎng)，從而表示

點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再通過(guò)k=K(?%=和?丹建立方程，從而求得未知數(shù)，最后求得k的值。

過(guò)點(diǎn)C作CEXOB交OB于點(diǎn)E,作DFXOB交OB于點(diǎn)F,

：OC=3BD,設(shè)OC=3a,BD=a,

@頻OEC中,OE=|a,CE=手a,二C（|a-子a）,

①RtEDADFB中,FB=汕DF=噂a,又：OB=5,

OF=5-1，.'.D（5-］號(hào)a），由k=x^-yc=xD-yD,

日、

—r/守k7=3~dXCL=（5「——a1XV—3CL,

解得Gj.=1,。2=。（舍去），

???"凡一也《。

4

解法二

思維導(dǎo)向由直線OA過(guò)原點(diǎn)且與x軸正半軸夾角(60。可得直線解析式，從而設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由OC=3BD

聯(lián)想構(gòu)造相似三角形，通過(guò)對(duì)應(yīng)線段成比例求得點(diǎn)D坐標(biāo)，由k=和?%=和?丹建立方程，或?qū)Ⅻc(diǎn)C、D代入

y=」建立方程組求得k的值。

X

NAOB=60。，?,?直線OA為:y=舊居設(shè)即OE=a,CE=V3a,

VZCEO=ZDFB=90°,ZCOE=ZDBF=60°,AAOEC^ABPD,

CEOEOC有a

???——=——=—=o3,DF=—a,FB=-

DFBFDB33

OF=5--.'.Df5--<—a\

3\337

<k=V3a

a

3

將點(diǎn)c、D的坐標(biāo)代入y=：\ka解得a=

32’

4

5-—CL

3

...0倍,逋），...々=三*延=迪

\227224

多維評(píng)析：解法一是通過(guò)對(duì)含有特殊角60。的直角三角形設(shè)邊長(zhǎng)，從而表示點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；解法二是根據(jù)直

線OA的解析式設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比得點(diǎn)D坐標(biāo)，兩種方法對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)處理有所不同，但其本

質(zhì)都是通過(guò)求點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求得k的值。

典例2如圖，直線y=與雙曲線y=3（%＞。）交于點(diǎn)A,將直線y=向下平移6個(gè)單位后，與雙曲線y=

§（%〉0）交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)Co

求:（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)；

思維導(dǎo)向由點(diǎn)A、B在雙曲線上，再由霽=2得點(diǎn)A、B坐標(biāo)間的關(guān)系，設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由關(guān)系表

示出另一點(diǎn)，最后利用k=xA-yA=xB-犯建立方程求解。

⑴如圖①，由平移可知/BC：V=打—6,令y=0得比=*故C9。）。

⑵；點(diǎn)A在直線y=［比上，設(shè)a（a，［a）。

過(guò)點(diǎn)B作BB，〃x軸交10A于點(diǎn)B,,易得四邊形OBBC為平行四邊形,.,.BiOBC,

又：2。=2,???夕為0A中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得F'g-ja）,

???夕8=。。=>/+苦a）,

???點(diǎn)A、B都在”沁〉0）上，

k=a?（a=（：+Ja（a豐0）

,

；.a=3,..k=12o

解法一中點(diǎn)A還可以由直線OA的解析式設(shè)為（3a,4a）,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。

解法二

思維導(dǎo)向由點(diǎn)A、B是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)可聯(lián)想聯(lián)立方程，用k表示出點(diǎn)A,再由羋=2,從而表

DC

示出點(diǎn)B,最后由k=xAyA=%8如建立方程直接求解k值。

如圖②，???點(diǎn)A是y=:與y=［x的交點(diǎn)，；.聯(lián)立y=:與y=［久可得A（苧，等），由解法一知點(diǎn)得B為0A

中點(diǎn)，且夕B=0C=|,因此可得B（亨+苧），

…苧?竽=（苧+3?喳解得k=I"

（這里還可先聯(lián)立y=-k與y=:求解點(diǎn)B,從而再求點(diǎn)A，但計(jì)算量較大。）

解法三

思維導(dǎo)向由黑=2可聯(lián)想過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B作x軸垂線構(gòu)造相似三角形，再由k的幾何意義及點(diǎn)C的坐標(biāo)求解點(diǎn)

B的坐標(biāo)，最后由k=次如得k的值。

圖③

如圖③,連接OB,過(guò)點(diǎn)A、B作AM±x軸,BN1x軸..必AOM>△BCN,由k的幾何意義可知SA0M=SB(vN,

AO^AAOM.SAFMM：

,?,-----=2a?,?---------=4fa?,?---------二3、/?

BCS^BCNS^B1.N

—=3,???OC=

CN2

CN=I，N(6,0),xB=6,將其代入y=^x-6,

得yB=2,；.B(6,2),.”=12。

解法四

思維導(dǎo)向類(lèi)比解法三，過(guò)點(diǎn)A、B向x軸、y軸作垂線構(gòu)造矩形，再由線段間的比例關(guān)系求解。

如圖④,過(guò)點(diǎn)A作x軸、y軸的垂線分別交于點(diǎn)Q、P,過(guò)點(diǎn)B作x軸，y軸的垂線分別交于點(diǎn)N、M,易得△

AOQ^ABCN,

設(shè)馬=a,則xQ=a,

..”.絲_絲_?

BCBNCN

由k的幾彳可意義知S矩形AP<>Q=S矩形BMON,

AP1r

???—=???x=2a.

BM2un

AP=0(Q=a,CN=pvxc=:.ON=)+],?,?初=]+*

由次=XN得：2a=|+*即a=3,k=12o

解法五

思維導(dǎo)向由力。=2可聯(lián)想借用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，由點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，再

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用k=xAyA=與犯建立方程進(jìn)而求解。

圖⑤

如圖⑤，連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BB7X軸交0A于點(diǎn)次,,由AON28c得B、B分別是AD、

A0中點(diǎn),易得△ABB=ABCD,

Q

7OC=^=B'B=CD,OD=9,???0(9,0),

設(shè)A(3a,4a),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得B(若，2a),

由A、B在y=-上可得k=3a■4a=--—,2a,

又.*.a=l,.*.A(3,4),.*.k=12o

多維評(píng)析：對(duì)于反比例函數(shù)丫=:中k的求解方法大致有兩種，一種是計(jì)算出雙曲線上某一點(diǎn)，利用k=久y求

解，另一種是利用k的幾何意義構(gòu)造出矩形或直角三角形，利用面積求解；此題解法五中的三角形是由特殊的比

例式與=2聯(lián)想得中點(diǎn)從而得特殊三角形，但最終還是轉(zhuǎn)化到求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求k。

DL.

典例3如圖，在①RSAOB中,(。4=4,4B=5,,點(diǎn)C在OA上,AC=1,OP的圓心P在線段BC上，且。P

與邊AB、AO都相切。若反比例函數(shù)丫=三也手0)的圖像經(jīng)過(guò)圓心P,求k的值。

思維導(dǎo)向要求k的值，可先求點(diǎn)P的坐標(biāo)，因此聯(lián)想過(guò)點(diǎn)P作x軸，y軸的垂線，設(shè)OP的半徑r,在直角三

角形中，利用勾股定理建立方程求解r,從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后由k=X1-為得解。

如圖①，設(shè)。P與OA、AB分別相切于點(diǎn)E、H,連PE、PH,過(guò)點(diǎn)P作PR1OB交OB于點(diǎn)R。

圖①

?.,在AOB中,AO=4,AB=5,；.OB=3,

VAC=1,.,.OC=3=OB,.-.(ERt?ABOC,@lt@APEC,(|Rt?ABRP都為等腰直角三角形，設(shè)。P半徑為r,

.\EC=r,OE=3-r=PR=BR,AE=l+r,

.\@Rt@ABRP中,BP=&PR=V2(3-r),由切線長(zhǎng)定理知AH=AE=l+r,

??.BH=5-AH=4-r,

2

在(gRtOABHP中，由BH2+PH2=BP?可得((4-r)2+x2=[V2(3-r)],

???r=1-,

5151,515

???RP=-PEP,/c=-X-=一

2f2.22.224

解法二

思維導(dǎo)向要求k的值，可過(guò)點(diǎn)P作x軸，y軸的垂線求點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由切線長(zhǎng)定理聯(lián)想過(guò)點(diǎn)P作AB的垂

線，連接PA，得PH=PE,PA平分N/ME,又由RQIQA得等腰△PQA,從而利用小PHQs^BOA得比例線段,用半

徑r表示HA,又由HA=EA=OA-OE建立關(guān)于r的方程求解r,進(jìn)而求解點(diǎn)P的坐標(biāo)。

圖②

如圖②，過(guò)點(diǎn)P作OA的平行線分別交OB、AB于點(diǎn)R、Q,設(shè)。P與。A、AB相切于點(diǎn)E、H,連接PE、PH0

易得.△PHQ-ABOA,設(shè)PE=PH=r,

一，4q

則PH:HQ:PQ=OB-.OA-.AB=3:4:5,/.HU=^r,PQ=|r,

又：NHAP=ZPAE,PQ//OA,：.ZQPA=ZPAE=ZPAH,

，在△PQA中,“P4=/-QAP,：.QP=QA=|r,

45

???HA=-r+-r=EA=1+r,

33

???r=I，=1+r=I，PR=0E=0A-EA=Pg1),

,5

?'k=]。

解法三

思維導(dǎo)向利用角平分線定理及切線長(zhǎng)定理求解。

設(shè)。P與OA相切于點(diǎn)E,如圖③,連接PA,PE得PA平分乙BAC,,由角平分線定理知器=詈5,

V?Rt@AAOB中，OA=4,AB=5,；.OB=3,又；CA=1,

.*.BO=OC=3,.\BC=3魚(yú)，由BP=5PC,BP+PC=3式可得PC=y,

?.?△PEC為等腰直角三角形,

.：PE=EC=l，.：OE=l，

解法四

思維導(dǎo)向利用等面積法求0P的半徑，進(jìn)而求點(diǎn)p坐標(biāo)

如圖④，連接圓心P與切點(diǎn)H、E,連接PA,

設(shè)。P半徑為1',由S4cB=S4PB+S^pc可得

-AC-OB=-AB-PH+-AC-PE,

222

解法五

思維導(dǎo)向由0P與AB、AO都相切聯(lián)想將。P構(gòu)造成直角三角形內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓半徑「=:求解OP半

徑。

圖⑤

如圖⑤，作0A的垂線MN與。P相切于點(diǎn)Q,分別交OA、AB于點(diǎn)N、M。

設(shè)。P半徑r,易證四邊形PQNE為正方形，

；.PQ=PE=EC=r,NC=2r,NA=l+2r,：?P內(nèi)切于MNA,

MN+NA-MA

.*.r=---------------------*,

2

△MNA^ABOA,

MN-.NA-.MA=3:4:5,MW=-(1+2r),MA=-(1+2r),將MN、MA代入※式,