2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：破解相似三角形中的“A”和“8”模型

破解相似三角形中的“A”和“8”模型

解題秘籍

我們在構(gòu)造'A”和“8”模型解決問題時，往往需要通過添力呼行線達(dá)到目的，而添加平行線構(gòu)造基本圖形

有兩個關(guān)鍵點：一是要熟悉“A型”、“8型”的圖形特征；二是要明確過哪一點作哪條直線的平行線.只有準(zhǔn)確抓

住了基本圖形的特征和圖形中的關(guān)鍵點，才能添加好輔助線，為解決問題鋪平道路.

典型例題

在4ABC中,/ABC=9(F,AB=BC,M是BC上一點，連接AM.

(1)如圖1-1所示,N是AB延長線上一點,CN與AM互相垂直,求證:BM=BN;

⑵如圖1-2所示，過點B作BP,AM,垂足為P,連接CP并延長交AB于點Q,求證:啜=第

思路分析

(1)延長AM交CN于點E,證明△ABM^ACBN.

⑵如圖1-3所示，綜合已知條件和要解決的問題中涉及的線段，從圖中抽象出了圖1-4,結(jié)合到相似中的

“A型”和“8型”的圖形特征，我們抓住了關(guān)鍵點一點C,進(jìn)而可過點C作BP的平行線NC，得到思路一所示

的，，A型，，圖；或過點C作BQ的平行線NC，得到思路二所示的“8型”圖，最后解決問題.

c

CCX------

AQBN

，c，招NC

AQBQB&路二'、、7

圖1-3?1-4.

QBAQB

嘗試解答

解后反思

本題屬于相似形綜合題，考查了平行線分線段成比例定理的推論,相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)定理等知識.解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線，而本題之所以能夠想到通過構(gòu)造平行線，得到這兩種證明

方法，關(guān)鍵是在掌握了“A型”、“8型”的圖形特征的基礎(chǔ)上，抓住了關(guān)鍵點C,進(jìn)而想到了可以構(gòu)造與BP或BQ

平行的輔助線.

實戰(zhàn)演練

1.如圖所示,D是△28C邊BC上的點,BD-.DC=2:1,F是AC的中點，連接BF交AD于點E,求々的值.

（第1題）

2.如圖所示,AABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點，點E在AB上，且AE-.EB=2:1.求證:（CE1

AD.

（第2題）

3.在△4BC中，已知D是邊BC的中點，G是△4BC的重心，過點G的直線分別交AB,AC于點E,F.

(1)如圖1所示，當(dāng)EF〃BC時,求證:一+1=1.

AEAF

(2)如圖2所示當(dāng)EF和BC不平行，且點E,F分別在線段AB,AC上時，⑴中的結(jié)論是否成立?如果成立，請給

出證明；如果不成立，請說明理由.

(3)如圖3所示，當(dāng)點E在AB的延長線上或點F在AC的延長線上時，(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立，請

給出證明；如果不成立，請說明理由.

(第3題)

4.如圖1所示，在RtABAC中,/.BAC=90°,AD1BC,,垂足為D,點。是AC邊上一點，連接BO交AD于點F,

0E10B交BC邊于點E.

⑴求證:△ABF?！鰿OE;

(2)當(dāng)O為邊AC的中點,亭=2時，如圖2所示，求知勺值；

ABOE

(3)當(dāng)O為邊AC的中點卻="時，求器的值.

(第4題)

5.已知線段OALOB,點C為0B中點,D為線段0A上一點.連接AC,BD交于點P.

⑴如圖1所示當(dāng)0A=OB?S.D為OA中點時，求藍(lán)的值；

（2）如圖2所示，當(dāng)（OA=。8,且籌=［時，求tcm/BPC的值；

⑶如圖3所示，當(dāng).4D:4。:OB=l:n:2gi時，直接寫出tcmzlBPC的值

圖1圖2圖3

（第5題）

第1招破解相似三角形中的“A”和“8”模型

★典型例題

⑴證明:如答圖1-1所示，延長AM交CN于點E.

VAM±CN,.\ZAEC=90°.

ZABC=90°,AZBAM+ZAMB=90°,ZBCN+ZCME=90°.

ZAMB=ZCME,.\ZBAM=ZBCN.

BA=BC,ZABM=ZCBN=90°,AABM也ACBN(ASA).

JBM=BN.

(2)證法一:如答圖1-2所示，過點C作CN//BQ交BP的延長線于點N,則NBCN+NA

BC=180°.

ZABC=90°,.\ZABM=ZBCN=90°.

VBP±AM,.\ZBPM=ZABM=90°.

???ZBAM+ZAMB=90°,ZCBN+ZBMP=90°.

JZBAM=ZCBN.

在4BCN中，

Z-BAM=乙CBN,

AB=BC,

^ABM=乙BCN=90°,

???AABM^ABCN(ASA).

ABM=CN.

VCN//BQ,JACNP^AQBP.

.CP_CN_BM日nCP_BM

,?QP-QB一QB間QP-QB，

證法二：如答圖1-3所示，過點C作CN〃BP交AB的延長線于點N,延長AM交C

N于點E,則NAPB=NAEN.

AQBN

VBP±AM,.\NAPB=NAEN=900且［lAM±CN.

答困1-3

由⑴的結(jié)論知BM=BN.

lzdccpNBBMRnCPBM

QPQBQBQPQB

★實戰(zhàn)演練

1.解:如圖所示過點F作FG//DE交DC于點G.

(第1題答圖)

■:FGDE,：?—CF=—CG,—BE=—BD.

AFDGEFDG

因為F是AC的中點,，AF=CF.

；.CG=DG,即DG=：DC.

1

???BD-.DC=2:1,???BD-.DG=BD\-DC=4:1.

2

BEBD

???一=—=4A.

EFDG

2.證明如圖所示，過點B作BH〃AC交CE的延長線于點H,則.NHBC+UCB=180°.

ZACB=90°,.\ZHBC=ZACB=90°.

,/AC//BH,.\Z\ACEsABHE.

=2,即AC=2BH.

BHBE

因為D是BC的中點,,?.BC=2CD.

VAC=BC,ACD=BH.

在AACD和ACBH中就B：90

AACD^ACBH(SAS).

/.ZCAD=ZBCH.

ZBCH+ZCDA=ZCAD+ZCDA=90°.

NCFD=90°,即CE±AD.

3.(1)證明:因為G是△ABC的重心，.二=

⑵在此時的條件下⑴中結(jié)論成立，證明如下：

如圖所示，過點B,C分別作BP〃EF,CQ〃EF,BP與CQ分別交直線AD于點P,Q.

onermz?nBEPGCFQG//

?BPEF，CQEF,=—,BDPn//CQ.

/IE,/iu/i.r/1U

.\ZPBD=ZQCD.

BD二CD,ZBDP=ZCDQ,ABDP^ACDQ(ASA).

???DP=DQ.

???PG+QG=PG+(GP+PQ)=2PG+2PD=2GD.

BECF_PGQG_PG+QG_2GD_1_

AEAFAGAGAGAG2(第3題答圖)

(3)在此時的條件下(1)中結(jié)論不成立，理由如下：因為當(dāng)點F與點

C重合時,E為AB中點,BE=AE,所以點F在AC的延長線上時,BE>

AE.

BE、.mBE,CF

???—>1,貝—+—>1.

AEAEAF

同理：當(dāng)點E在AB的延長線上時，器+黑＞1.

AEAF

所以結(jié)論不成立.

4.(1)證明:ZDAC+ZC=90°.

?/ZBAC=90°,.\ZBAF+ZDAC=90°,ZBOA+ZABF=90°.AZBAF=ZC.

VOE±OB,.\ZBOA+ZCOE=90°.

???/.BOA+Z.ABF=90°,/.ABF=乙COE.

/.AABF^ACOE.

⑵解如答圖1所示，過點B作BM//AC交AD的延長線于點M.

BM

：BM〃AC,NBAC+NMBA=180°.

ZBAC=90°,.\ZBAC=ZMBA=90°.

由(1)知/BAM=/C,A

（第4題答圖1）

.'.△BMA^AABC.

.BM_AB

''AB-CA

因為。'為AC-的J中點z，A-B=2,.-.AO=OC=2AB=A-AOC,.-A.B-=CA—=2,-=-

n"〃“BFBM1

???BMAC,???——=—=-

OFOA2

由(1)知ABFCOE,.-.^1=^=1.OE=BF

=:即—=2.

OFOF2OE

BM

⑶解:如答圖2所示，過點B作BM〃AC交AD的延長線于點M.

VBM^AC,.*.ZBAC+ZMBA=180°.

ZBAC=90°,AZBAC=ZMBA=90°.

A0

*.?ZBAM=ZC,/.ABMA^AABC.（第4題答困2）

.BM__AB

''AB~CA

因為。為AC的中點，有=…AO=OC=\AC=^AB.

tBM_BM_2BM_2AB_2

,而=癡=/茄=/西=方

A

由(1)知ABFoCOE,—=—=OE=-BF.

BFBA22

OE_倒尸nBFn21OF

一,—=-,———RnInJ—

OF-OF2OF2n2nOE

5.⑴解:如答圖1所示過點C作CE〃PD交AO于點E.

“cnOCOEAPAD

???CEPD,???一=—,—=—.（第題答圖

BCDEPCDE5D

因為點c為OB中點，D為OA中點，.?.BC=CO=\OB,AD=DO

1

.?.OE=DE=-0D.：.AD=2DE.

2

APAD0

???一=—=2.

PCDE

⑵解:如答圖2所示，過點C作CE〃BD交AO于點E,過點C作CGLBD,垂足為G.

設(shè)AD=a,貝!]AO=4a,DO=3a,

???OA=OB,C為OB的中點,??.AO=BO=4a,BC=CO=2a.

在RtAACO中,由勾股定理得AC=y/AO2+CO2=V(4a)2+(2a)2=2ba.

在RtABDO中,由勾股定理得BD=VBR2+。。2=^(4a)2+(3a)2=5a

（第5題答困2）