2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：動點綜合問題（33題）含答案及解析

專題34動點綜合問題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形A5Q）中，3。為其對角線，一動點尸從。出發(fā)，沿著DlBfC

的路徑行進，過點尸作垂足為Q.設(shè)點尸的運動路程為x,PQ-DQ為y,V與％的函數(shù)圖象如

圖2,則AD的長為（）

11

D.

4

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾.中考真題）如圖，在等腰中，ZSAC=90°,AB=12,動點、E,F同時

從點A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點B也隨

之停止運動，連接E尸，以麻為邊向下做正方形EFGH,設(shè)點￡運動的路程為x（O<x<12）,正方形EFGH

和等腰Rt^MC重合部分的面積為下列圖像能反映y與尤之間函數(shù)關(guān)系的是（）

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點、E,尸分別是邊AB,3c上的動點,

且滿足=AF與DE交于點O,點/是OF的中點，G是邊AB上的點，AG=2GB,則。M+；EG

的最小值是（）

5C.8D.10

4.（2024.甘肅.中考真題）如圖1,動點尸從菱形ABC。的點A出發(fā)，沿邊ABf勻速運動，運動到點。

時停止.設(shè)點尸的運動路程為無尸。的長為與i的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點尸運動到3。中點時，PO

的長為（

圖1

A.2B.3C.75D.272

5.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，AB=6,4=30。，點石是3C邊上的動點，連接AE,

DE,過點A作AF_LDE于點尸.設(shè)DE=x,AF=y,則y與尤之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取

值范圍）（）

C尸身-36

A.y=一B.y=D.y=——

x7Xx

二、填空題

6.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線乙、4,點A是4上的定點，AB，/2于點2,點C、。

分別是4、4上的動點，且滿足AC=8D,連接CO交線段AB于點E,BHLCD于點、H,則當(dāng)44H最大

時，sinZBAH的值為

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在YABC。中，AB=4,AD=5,/4BC=3O。，點〃為直線8C上一

動點，則M4+MD的最小值為.

8.（2024.四川涼山.中考真題）如圖，0M的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,

過點尸作。M的切線，切點為Q,則尸。的最小值為

9.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NAO3=50。，點P為/AC?內(nèi)部一點，點M為射線。4、點N

為射線上的兩個動點，當(dāng)APMN的周長最小時，則NMPN=.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知A（3,0）,B（0,2）,過點B作V軸的

垂線/,P為直線/上一動點，連接尸。，PA,則PO+PA的最小值為.

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在44BC中，ZABC=60°,BC=8,E是BC邊上一點，且3E=2,

點/是AABC的內(nèi)心，3/的延長線交AC于點￡>,尸是8D上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值

12.（2024.山東煙臺?中考真題）如圖，在YABC。中，ZC=120°,AB=8,3c=10.E為邊。的中點,

/為邊AD上的一動點，將ADEF沿所翻折得AO'EF,連接AD',BD',則△ABD面積的最小值為

13.（2024.四川宜賓?中考真題）如圖,正方形ABCD的邊長為1,M、N是邊BC、8上的動點.若/MAN=45。,

則MN的最小值為.

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CZXAD上

的動點，且CE=O尸.當(dāng)AE+CF的值最小時，則CE=.

三、解答題

15.（2024.江蘇蘇州.中考真題）如圖，AASC中，AC=BC,ZACB=90°,A（-2,0）,C（6,0）,反比例函

數(shù)y=￡（笈H0,尤〉0）的圖象與AB交于點。（辦4）,與BC交于點E.

⑵點P為反比例函數(shù)＞=尤＞0）圖象上一動點（點尸在，E之間運動，不與。，E重合），過點尸

作PA/〃AB,交y軸于點過點P作/W〃無軸，交BC于點N,連接MN,求APMN面積的最大值，并

求出此時點尸的坐標(biāo).

16.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)＞=履+》的圖象與反比例函數(shù)y=3

X

的圖象交于A（Y，D,3（1,"）兩點.

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）P是直線x=-2上的一個動點，的面積為21,求點尸坐標(biāo)；

rvj

⑶點。在反比例函數(shù)丁=—位于第四象限的圖象上，AOAB的面積為21,請直接寫出。點坐標(biāo).

X

17.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=江+bx+3經(jīng)過點A（3,0）,

與y軸交于點8,且關(guān)于直線x=l對稱.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)—1W龍W/時，y的取值范圍是04y42?1,求f的值;

(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點，在y軸上是否存在點

E,使得以8,C,D,E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

18.(2024?四川南充?中考真題)已知拋物線W-Y+M+C與x軸交于點A(TO),B(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點C,點尸為線段OC上一點(不與端點重合)，直線上4,PB分別交拋物線于

點、E,D,設(shè)APID面積為S],△「回面積為S?,求5t的值；

(3)如圖2,點K是拋物線對稱軸與x軸的交點，過點K的直線(不與對稱軸重合)與拋物線交于點N,

過拋物線頂點G作直線/〃x軸，點。是直線/上一動點.求QM+QN的最小值.

19.(2024?吉林?中考真題)如圖，在AASC中，ZC=90°,NB=30。，AC=3cm,AO是的角平分

線.動點P從點A出發(fā)，以限m/s的速度沿折線AD-DB向終點8運動.過點尸作尸?！ń籄C于點

Q,以PQ為邊作等邊三角形尸QE,且點C,E在尸。同側(cè)，設(shè)點尸的運動時間為《s)?>0),YPQE與必BC

重合部分圖形的面積為S(cm2).

(1)當(dāng)點尸在線段AO上運動時，判斷△APQ的形狀(不必證明)，并直接寫出AQ的長(用含f的代數(shù)式表

示).

⑵當(dāng)點￡與點C重合時，求f的值.

⑶求S關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍.

20.(2024?四川德陽?中考真題)如圖，拋物線y=V一x+c與x軸交于點A(-l,0)和點與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;

⑵當(dāng)0<xV2時，求y=1-尤+c的函數(shù)值的取值范圍;

(3)將拋物線的頂點向下平移g個單位長度得到點M,點P為拋物線的對稱軸上一動點，求尸A+好的

45

最小值.

21.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形。4s的邊在x軸上,

點A在第一象限，Q4的長度是一元二次方程f-5x-6=0的根，動點尸從點。出發(fā)以每秒2個單位長度的

速度沿折線。4-AB運動，動點。從點。出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線。運動，尸、。兩點

同時出發(fā)，相遇時停止運動.設(shè)運動時間為f秒(0<f<3.6),△。尸。的面積為S.

(1)求點A的坐標(biāo);

(2)求S與f的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在(2)的條件下，當(dāng)S=6如時，點M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使得以點。、P、M、N為

頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22.(2024?江西?中考真題)綜合與實踐

如圖，在RtAABC中，點。是斜邊上的動點(點。與點A不重合)，連接8,以8為直角邊在8的

右側(cè)構(gòu)造Rt^CDE,ZDCE=90°,連接BE,票=*=m.

GA

EEE

圖1圖2圖3

特例感知

(1)如圖1,當(dāng)機=1時，8E與AD之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是;

類比遷移

(2)如圖2,當(dāng)相W1時，猜想BE與AD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

(3)在(1)的條件下，點P與點C關(guān)于DE對稱，連接。/，EF,BF,如圖3.已知AC=6,設(shè)=x,

四邊形3E的面積為y.

①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；

②當(dāng)班'=2時，請直接寫出AD的長度.

23.(2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線〉=3彳-2與x

軸交于點A,與y軸交于點C,過A,C兩點的拋物線丁=依2+析+<:(。H0)與無軸的另一個交點為點8(-1,0),

點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點尸分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC于點E,點

⑵點D是x軸上的任意一點，若AACD是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)EF=AC時，求點P的坐標(biāo)；

⑷在(3)的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M,連接MLMP,

則N4+MP的最小值為.

24.（2024?四川廣元?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線氏y=-/+Ax+c經(jīng)過點,

與y軸交于點3（0,2）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式;

CD

（2）在直線AB上方拋物線上有一動點C,連接0C交A3于點。，求器的最大值及此時點C的坐標(biāo);

⑶作拋物線產(chǎn)關(guān)于直線y=T上一點的對稱圖象歹'，拋物線尸與少只有一個公共點E（點E在y軸右側(cè)）,

G為直線上一點，》為拋物線「對稱軸上一點，若以8,E,G,H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G

點坐標(biāo).

25.（2024.天津?中考真題）將一個平行四邊形紙片（MBC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點0（0,0）,點4（3,0）,

點民C在第一象限，且0C=2,，AOC=60。.

（1）填空：如圖①，點C的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為；

⑵若P為x軸的正半軸上一動點，過點尸作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對應(yīng)點。'落

在x軸的正半軸上，點C的對應(yīng)點為C'.設(shè)=

①如圖②，若直線/與邊CB相交于點Q,當(dāng)折疊后四邊形尸O'CQ與口（MSC重疊部分為五邊形時，0C'與

4?相交于點E.試用含有f的式子表示線段班的長，并直接寫出f的取值范圍；

211

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當(dāng)。時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

26.（2024?湖南?中考真題）已知二次函數(shù)＞的圖像經(jīng)過點A（-2,5）,點尸（為兇），。仁,必）是此二

次函數(shù)的圖像上的兩個動點.

(1)求此二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖1,此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B,點P在直線AB的上方,過點尸作尸C，x軸于點C,

交AB于點。，連接AC,OQ,PQ.若三=占+3,求證的值為定值；

(3)如圖2,點尸在第二象限，3=-2玉，若點M在直線尸。上，且橫坐標(biāo)為玉-1,過點M作肱軸于點

N,求線段長度的最大值.

27.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點8,。是直線尸依(。＞0)上第一象限內(nèi)的兩個動點以線段

k

為對角線作矩形A5CD,AD〃x軸.反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點A.

x

【構(gòu)建聯(lián)系】

(1)求證：函數(shù)y="的圖象必經(jīng)過點C.

X

(2)如圖2,把矩形ABCO沿折疊，點C的對應(yīng)點為E.當(dāng)點E落在y軸上，且點8的坐標(biāo)為(1,2)時，

求左的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形ABCD沿3。折疊，點C的對應(yīng)點為E.當(dāng)點E,A重合時，連接AC交BO于點P.以

點。為圓心，AC長為半徑作OO.若。尸=3夜，當(dāng)OO與AASC的邊有交點時，求上的取值范圍.

28.(2024?四川達州?中考真題)如圖1,拋物線＞=加+區(qū)-3與x軸交于點A(-3,0)和點8(1,0),與＞軸交

于點C.點。是拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖2,連接AC,DC,直線AC交拋物線的對稱軸于點M,若點尸是直線AC上方拋物線上一點，且

S&PMC=2S",求點尸的坐標(biāo);

(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點。上方的一動點，是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等腰三角

形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

29.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丁=改2+法的圖像

經(jīng)過原點和點4(4,0).經(jīng)過點A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點8(1,3),與y軸交于點C.

⑴求二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo);

(2)點尸是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點尸在直線48上方時，過點尸作軸于點與直線48交

于點。，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為加.

①，〃為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點P,使得△BPD與AAOC相似.若存在，請求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

30.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線＞與x軸交于A,B兩點，與丁軸交于點C,

點A坐標(biāo)為(-1,0),點B坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點尸是直線BC上方拋物線上一個動點，過點尸作》軸的垂線交直線BC于點。，過點尸作V軸的垂線，

垂足為點E,請?zhí)骄?尸D+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標(biāo)；若沒有最大值，

請說明理由.

⑶點/為該拋物線上的點，當(dāng)NMCB=45。時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo).

31.(2024.山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線％="2+桁+。與x軸交于A,B兩點，與了軸交于點C,

OC=OA,AB=4,對稱軸為直線4：x=-l,將拋物線％繞點。旋轉(zhuǎn)180。后得到新拋物線％,拋物線內(nèi)與了

軸交于點。，頂點為E,對稱軸為直線乩

(1)分別求拋物線％和內(nèi)的表達式;

(2)如圖1,點尸的坐標(biāo)為(-6,0),動點/在直線4上，過點M作跖V〃x軸與直線6交于點N,連接尸

DN.求/+9的最小值;

（3）如圖2,點7/的坐標(biāo)為（0,-2）,動點P在拋物線為上，試探究是否存在點P，使NPEH=2NDHE?若存

在，請直接寫出所有符合條件的點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

32.（2024.甘肅.中考真題）如圖1,拋物線？=“（廠獷+左交x軸于O,A（4,0）兩點，頂點為網(wǎng)2,2石）.點

（1）求拋物線y=a（x-h）2+k的表達式;

⑵過點C作C//LQ4,垂足為X,交拋物線于點E.求線段CE的長.

（3）點。為線段。4上一動點（。點除外），在OC右側(cè)作平行四邊形OCED.

①如圖2,當(dāng)點尸落在拋物線上時，求點尸的坐標(biāo)；

②如圖3,連接8D,BF,求取>+BF的最小值.

33.（2024?重慶?中考真題）在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點5作3r>〃AC.

圖1圖2備用圖

（1汝口圖1,若點。在點8的左側(cè)，連接8,過點A作AELCD交3C于點E.若點E是3C的中點，求證：

AC=2BD；

（2汝口圖2,若點。在點8的右側(cè)，連接AD,點尸是AD的中點，連接即并延長交AC于點G,連接CP.過

點尸作RW,3G交于點CN平分NACB交BG于點、N,求證：AM=CN+—BD；

2

⑶若點。在點8的右側(cè)，連接AD,點尸是AD的中點，且AF=AC.點尸是直線AC上一動點，連接EP,

將FP繞點下逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到尸Q,連接8Q,點R是直線AD上一動點，連接BR,QR.在點尸的運動

過程中，當(dāng)時取得最小值時，在平面內(nèi)將ABQR沿直線0R翻折得到連接在點R的運動過程

中，直接寫出三的最大值.

專題34動點綜合問題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形A5Q）中，3。為其對角線，一動點尸從。出發(fā)，沿著Of37C

的路徑行進，過點尸作尸8,垂足為Q.設(shè)點尸的運動路程為x,PQ-DQ為y,V與x的函數(shù)圖象如

圖2,則AD的長為（）

87后

3

【答案】B

【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定8的長，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當(dāng)BD+3P=4時，PQ=CD=2,此時點P在2C邊上,

設(shè)止匕時=貝!|BD=4—a,AD=5C=2+a,

在RMBCD中，BD1-BC2=CD2,

即：（4-a）2-（a+2）2=22,

2

解得：a=（,

8

AD=a+2=—,

故選：B.

2.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=12,動點E,尸同時

從點A出發(fā)，分別沿射線A8和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點/也隨

之停止運動，連接所，以E尸為邊向下做正方形EFGH,設(shè)點E運動的路程為x（O<x<12）,正方形EFGH

和等腰Rt^ABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與尤之間函數(shù)關(guān)系的是（）

產(chǎn)

CH

【答案】A

【分析】本題考查動態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間

的關(guān)系，以及對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項分析當(dāng)龍與8C重合時，及當(dāng)xW4時圖象的走勢，

和當(dāng)x>4時圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)總與重合時，設(shè)AE=x,由題可得：

EF=EH=-Jix，BE=12-x,

在RgEHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2>

??JC—4f

???當(dāng)0<xW4時，y==2x2,

V2>0,

???圖象為開口向上的拋物線的一部分，

當(dāng)用在3c下方時，設(shè)AE=x,由題可得:

?：ZAEF=/B=45。,ZA=ZEOB=90°,

C.NFAE^NEOB,

.AEEO

??~一—,

EFEB

x_EO

A/2X12-％

2-x

y=(缶)=(42)x=-x2+

???當(dāng)4＜犬＜12時,■及x,

V-l＜0,

???圖象為開口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確，

故選：A.

3.（2024.四川瀘州.中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E,尸分別是邊AB,上的動點，

且滿足AE=BF,"與DE交于點。，點〃是。尸的中點，G是邊A8上的點，AG=2GB,則OM+《FG

2

的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，

先證明AAZJE四得到/位）E=/S4E,進而得到4>0尸=90。，則由直角三角形的性質(zhì)可得

=；OF,如圖所示，在AB延長線上截取BH=BG,連接切，易證明AFBG'FBH（SAS）,則FH=FG,

可得當(dāng)打、。、尸三點共線時，DF+HF有最小值，即此時OM+J/G有最小值，最小值即為￡）”的長的一

半，求出AH=8,在RSADH中，由勾股定理得￡>//=俞=10，責(zé)任。M+；EG的最小值為5.

【詳解】解：；四邊形ABCO是正方形，

/.AD=AB,ZDAB=ZABC=90°,

又：AE=BF,

：.AADE^ABAF（SAS）,

ZADE=ZBAF,

:.N￡)"=NA￡>O+ND4Q=NB4F+NZMO=ND4B=90。,

??,點M是。尸的中點，

：.OM=-DF；

2

如圖所示，在AB延長線上截取3H=3G,連接FH,

ZFBG=ZFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

：.AFBG均FBH(SAS),

???FH=FG,

???當(dāng)"、。、尸三點共線時，。尸+H斤有最小值，即此時。河+工廠G有最小值，最小值即為的長的一半,

2

VAG=2GB,AB=6,

：.BH=BG=2,

：.AH=8,

在RIYADH中，由勾股定理得DH=\lAD2+AH2=IO>

.??OM+gbG的最小值為5,

故選：B.

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點尸從菱形ABCD的點A出發(fā)，沿邊ABf3C勻速運動，運動到點C

時停止.設(shè)點尸的運動路程為x,PO的長為與尤的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點尸運動到3C中點時，PO

的長為（

B

A

圖1

A.2B.3C.75D.272

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時，PO=AO=4,當(dāng)點P運動到點8時，PO=BO=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)，

得NAOB=/BOC=90。，繼而得至I]AB=BC=[OA1+OB?=2后，當(dāng)點P運動到BC中點時，尸。的長為

-BC=45,解得即可.

2

本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，

直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時，PO=AO=4,

當(dāng)點尸運動到點8時，尸0=30=2,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，得/A08=/80C=90。，

^AB^BC=y/0^+0B2=275-

當(dāng)點P運動到3C中點時，PO的長為=

2

故選C.

5.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，AB=6,4=30。，點E是8C邊上的動點，連接AE,

DE,過點A作AF_LDE于點尸.設(shè)DE=x,AF=y,則y與尤之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量尤的取

值范圍）（）

912cl836

A.y=—B.y=—C.y=—D.y=—

xxxx

【答案】C

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角

形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.過。作交BC延長線于H,則"HE=90。，根據(jù)

菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CD=AD=AB=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30°,進而利用含30

1AFAD

度角的直角三角形的性質(zhì)■DH=CD=3,證明AMD-ADHE得到"==,然后代值整理即可求解.

；2;DHDE

【詳解】解：如圖，過。作DHLBC,交2C延長線于“，貝iJ/DHE=90°,

,在菱形A?CD中，AB=6,ZB=30°,

AB//CD,AD//BC,CD=AD=AB=6,

ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30。,

在RtZXCDH中，DH=gcD=3,

2

???AF1DE,

ZAFD=ZDHE=90°,又ZADF二ZDEH,

工小AF4ADHE,

.AFAD

^~DH~~DE"

?；DE=x,AF=yf

,y_6

??———，

3x

?」8

??y=—，

X

故選：c.

二、填空題

6.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線乙、4,點A是4上的定點，A3,于點3,點C、D

分別是4、4上的動點，且滿足AC=3D,連接CO交線段A3于點E,BHLCD于點、H,則當(dāng)44H最大

時，sinZBAH的值為

【分析】證明AACE絲A3DE（ASA）,得出BE=AE=gAB,根據(jù)BH，8,得出N3HE=90。，說明點〃

在以3E為直徑的圓上運動，取線段BE的中點。，以點。為圓心，。3為半徑畫圓，則點H在。。上運動,

說明當(dāng)A"與OO相切時N54”最大，得出AO=AE+OE=3OE,利用

SmZBAH=^-=^-=^,即可求出結(jié)果.

AO3OE3

【詳解】解：：兩條平行線4、6,點A是4上的定點，AB，4于點B,

.?.點2為定點，48的長度為定值,

/]〃4，

:.ZACE=NBDE,ZCAE=ZDBE,

,：AC^BD,

：.△ACE^ABDE(ASA),

BE=AE=-AB,

2

BHLCD,

：.NBHE=90°,

...點”在以BE為直徑的圓上運動,

如圖，取線段BE的中點O,以點。為圓心，08為半徑畫圓,

當(dāng)A”與相切時ZBAH最大,

OH±AH,

"：AE=OB=2OE,

：.AO=AE+OE=3OE,

?/OH=0E,

；.sin/BAH=^=也」,

AO3OE3

故答案為：；

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三

角形等知識點，解題的關(guān)鍵是確定點H的運動軌跡.

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在YABC。中，AB=4,AD=5,/4BC=30。，點〃為直線8C上一

動點，則M4+MD的最小值為

【答案】V41

【分析】如圖，作A關(guān)于直線BC的對稱點A,連接AD交BC于”，則A8=AH,,AM'=AM',

當(dāng)AT重合時，MA+MD最小，最小值為AD,再進一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線8C的對稱點連接AO交8c于ML則=AH±BC,

.,.當(dāng)重合時，MA+MD最小，最小值為A￡）,

A'

?：AB=4,ZABC=30°,在YABCD中，

AAH=-AB=2,AD//BC,

2

AAA=2AH=4,AA±AD,

"：AD=5,

A￡>="+52=回，

故答案為：741

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌

握各知識點是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，。“的圓心為“（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,

過點P作。/的切線，切點為Q,則PQ的最小值為

【答案】2K

【分析】記直線丫=尤+4與無，y軸分別交于點A,K,連接QM，PM,KM■由直線解析式可求得點A、K

的坐標(biāo)，從而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ^^PM2-QM2,由

QM=2,則當(dāng)PM最小時，PQ最小，點尸與點K重合，此時最小值為KM,由勾股定理求得的

最小值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解：記直線y=x+4與X,y軸分別交于點A,K,連接QM，PM,KM,

當(dāng)x=0,y=4,當(dāng)y=0,即x+4=0,

解得：x=T,

即K(0,4),A(T,O)；

而M(4,0),

(M=0K=0M=4,

???△OAK,AOKM均是等腰直角三角形，

ZAKO^ZMKO^45°,

：.ZAKM=90°,

與。"相切，

/.ZPQM=90°,

PQ^^PM2-QM2,

-：QM=2,

...當(dāng)P。最小時即PM最小，

...當(dāng)PMJ.AK時，取得最小值，

即點P與點K重合，此時PM最小值為KM,

在Rt^OKM中，由勾股定理得：KM=y/OM2+OK2=472-

PQ=J32-4=2a,

二尸。最小值為2萬

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，垂線段最短，正確添加

輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，已知NAO3=50。，點P為/AC?內(nèi)部一點，點M為射線。4、點N

為射線上的兩個動點，當(dāng)APMN的周長最小時，則NMPN=.

A

【答案】80。/80度

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點尸關(guān)于。4,

02的對稱點與P2.連接0P2.則當(dāng)N是耳舄與。4,02的交點時，APMN的周長最短，根據(jù)

對稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：作尸關(guān)于Q4,的對稱點耳P2.連接。6,OP2.則當(dāng)M,N是初與Q4,的交點時，

△PMN的周長最短，連接《尸、P2P,

?.?P、［關(guān)于。4對稱，

:.NPQP=2NMOP,OPt=OP,PtM=PM,ZO^M=ZOPM,

同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP,,ZOP2N=ZOPN,

zppp2=NROP+ZP,OP=2(NMOP+NNOP)=2ZAOB=100°,OP{=OP2=OP,

是等腰三角形.

ZOP2N=ZOPtM=40°,

NMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+ZOPtM=80°

故答案為：80°.

10.(2024?四川成都?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，已知4(3,0),3(0,2),過點8作>軸的

垂線/,P為直線/上一動點，連接尸0,PA,則P0+PA的最小值為

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì).先取點A關(guān)于直線/的對稱點

連A0交直線/于點C,連AC,得到AC=AC,A'A±l,再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，

得到當(dāng)0,P,A'三點共線時，尸0+R4的最小值為40,再利用勾股定理求A0即可.

【詳解】解：取點A關(guān)于直線/的對稱點A,連A0交直線/于點C,連AC,

則可知AC=A'C,A'A±l,

：.PO+PA^PO+PA>AO,

即當(dāng)O,P,A'三點共線時，尸。+R4的最小值為A0,

:直線/垂直于y軸，

AA_Lx軸，

VA（3,0）,3（0,2）,

/.AO=3,AA'=4,

.,.在RSA'A。中，

AO=7（9A2+A4,2=A/32+42=5，

11.（2024.四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在AABC中，ZABC=60°,BC=8,E是BC邊上一點，且魴=2,

點/是44SC的內(nèi)心，8/的延長線交AC于點O,P是8D上一動點，連接PE、PC,則尸E+尸C的最小值

為.

A

【答案】2萬

【分析】在48取點E使BF=BE=2,連接PF,CF,過點B作FHJLBC于H,利用三角形內(nèi)心的定義

可得出NABD=/CBZ),利用SAS證明△班TNABEP,得出M=PE,貝l|PE+尸。=尸尸+2。23,當(dāng)C、尸、

/三點共線時，PE+PC最小，最小值為CP,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出"f,利用勾股定理求出

FH,CF即可.

【詳解】解：在AB取點R使BF=BE=2,連接尸F(xiàn),CF,過點尸作四L3C于X,

:/是AASC的內(nèi)心，

；.3/平分―

ZABD=NCBD,

又BP=BP,

：.ABF%ABEP（SAS）,

PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

當(dāng)C、P、尸三點共線時，PE+PC最小,最小值為CF,

■:FHLBC,ZABC=60°,

：.ZBFH=3O°,

：.BH=-BF=1,

2

FH=yjBF2-BH2=V3?CH=BC-BH=7,

CF=yJCH2+FH2=2萬，

.?.尸E+PC的最小值為2而.

故答案為：2回.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知

識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在YABC。中，ZC=120°,AB=8,3c=10.E為邊的中點,

產(chǎn)為邊AD上的一動點，將ADEF沿E尸翻折得AO'EF,連接AD',BDL則△ABD面積的最小值為.

AFD

【答案】20A^-16/-16+20A/3

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=8,AB〃CD,Z4BC=60。，由折疊性質(zhì)得到￡O=DE=4,

進而得到點。0在以￡為圓心,4為半徑的圓上運動，如圖，過E作EMLAB交48延長線于M,交圓E于DC,

此時。C到邊AB的距離最短，最小值為DM的長，即此時△ABD面積的最小，過C作CNLAB于N,根

據(jù)平行線間的距離處處相等得到EM=CN,故只需利用銳角三角函數(shù)求得CN=573即可求解.

【詳解】解：：在YABC。中，ZBCD=120°,AB=8,

/.CD=AS=8,AB//CD,則ZAfiC=180°—N5CD=60。，

為邊CD的中點，

DE=CE=-CD=4,

2

1/ADEF沿EF翻折得AO'EF,

，ED=DE=4,

點。，在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交延長線于交圓￡于。此

時罰到邊A8的距離最短，最小值為DM的長，即△ABZ7面積的最小，

過C作CN_LAB于N,

■:AB//CD,

:.EM=CN,

在Rt2k5C7V中，BC=10,ZCBN=60°,

/.CN=8C.sin60°=10x3=5百，

2

/.D'M=ME-ED'=5yj3-4,

/.△ABD面積的最小值為:x8x（5石-4）=20右-16,

故答案為：20^-16.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)

等知識，綜合性強的填空壓軸題，得到點DC的運動路線是解答的關(guān)鍵.

13.（2024四川宜賓?中考真題）如圖,正方形48?！辏┑倪呴L為1,〃、"是邊8。、8上的動點.若/肱切=45。,

【答案】-2+20/20-2

【分析】將△42N順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AAB尸，再證明整AM4N（SAS）,從而得到

MN=MP=BM+BP=BM+DN,再設(shè)設(shè)C7V=a,CM=b,得至UA42V=2—a—＞，利用勾股定理得至U

CN2+CM2=MN2,即1+〃=（2-“-6）2,整理得到（2-4（2-少）=2,從而利用完全平方公式得到

MN=2—a—b>—2+2^（2—<7）（2—/?）,從而得解.

【詳解】解：：正方形A5CD的邊長為1,

AD=AB=BC=CD=1,ZBAD=ZABC=ZC=ZD=90°,

I

Jp

將△AON順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AABP,則AADN%ABP，

AZDAN=ZBAP,ZD=ZABP=90°,AN=AP,DN=BP,

點尸、B、M,C共線，

：/MAN=45。，

ZMAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°-AMAN=45°=AMAN,

VAP=AN,ZMAP二/MAN,AM=AM,

：.42V（SAS）,

MP=MN,

：.MN=MP=BM+BP=BM+DN,

設(shè)CN=a,CM=b,則￡>N=1—a,BM=l-b,

：.MN=BM+DN=2-a-b,

'：ZC=90°,

ACN-+CM1^MN2,BPa2+b2=（2-a-bf,

整理得：（2-a）（2-b）=2,

：.MN=2-a-b

=-2+（2-o）+（2-Z?）

=-2+（+

=-2+^2-a^-2>j2-a-sj2-b+^2-b^+2^/2-a-y/2^b

=-2+（j2-q_+242-a）（2-b）

>-2+2^（2-a）（2-&）

=-2+2夜，

當(dāng)且僅當(dāng)J2-a=J2-b,即2-a=2-6=應(yīng)，也即a=6=2-0時，肱V取最小值-2+20,

故答案為：-2+2近.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式

等知識，證明肱V=EW+DN和得到（2-a）（2-3=2是解題的關(guān)鍵.

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CZXAD上

的動點，且CE=D尸.當(dāng)AE+CF的值最小時，貝l]CE=.

A.FD

/1E

BL--------------VC

【答案】|

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).延長3C,

截取CG=CD,連接GE,AG,證明ACDF絲AGCE,得出CF=GE,說明當(dāng)AE+EG最小時，AE+B最

小，根據(jù)兩點之間線段最短，得出當(dāng)A、E、G三點共線時，AE+EG最