切線的判定弦切角定理

切線的判定

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圖形圓心到點(diǎn)的距離d與半徑r的關(guān)系點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓上

點(diǎn)在圓內(nèi)

AAAd>rd=rd<r問題:如圖，已知OA是⊙O的半徑，過A作OA的垂線l，這樣的直線有幾條？直線l與⊙O公共點(diǎn)有幾個？為什么？l特征一：直線l經(jīng)過半徑OA

的外端點(diǎn)A特征二：直線l垂直于半徑OAAOrdP一般地，當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線與圓相切。其中的直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。lAOOlAOlAOlAO判斷下圖直線l是否是⊙O的切線？并說明為什么。一般情況下，要證明一條直線為圓的切線，它過半徑外端是已知給出時，只需證明直線垂直于半徑。⑴、經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線。⑵、垂直于半徑的直線是圓的切線。⑶、過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。⑷、和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線。⑸、以等腰三角形的頂點(diǎn)為圓心，底邊上的高為半徑的圓與底邊相切。練習(xí)3：判斷下列命題是否正確。（×）（×）（√）（√）（√）判斷1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的的直線是圓的切線（）3.過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（）×××OrlAOrlAOrlA利用判定定理時，要注意直線須具備以下兩個條件,缺一不可:

(1)直線經(jīng)過半徑的外端;

(2)直線與這半徑垂直。判斷一條直線是圓的切線，你現(xiàn)在會有多少種方法?有以下三種方法:1.利用切線的定義:與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線。

2.利用d與r的關(guān)系作判斷:當(dāng)d＝r時直線是圓的切線。

3.利用切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。想一想〖例1〗已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。OBAC分析：由于AB過⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明

AB⊥OC即可。證明：連結(jié)OC(如圖)?！逴A＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線?！郃B⊥OC?！逴C是⊙O的半徑∴AB是⊙O的切線。〖例2〗已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線。小結(jié)例1與例2的證法有何不同?(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡記為：連半徑,證垂直。

(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長等于半徑長。簡記為：作垂直,證半徑。OBACOABCED練習(xí)如圖，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，

5為半徑的⊙O與OA、OB相交。求證：AB是⊙O的切線。OBAC證明：連結(jié)OP?！逜B=AC,∴∠B=∠C?！逴B=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C?！郞P∥AC?！逷E⊥AC，∴PE⊥OP?！郟E為⊙0的切線。如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，

PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。練習(xí)OABCEP課堂小結(jié)1.判定切線的方法有哪些？直線l

與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等于圓的半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線2.常用的添輔助線方法？⑴直線與圓的公共點(diǎn)已知時，作出過公共點(diǎn)的半徑，再證半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直）⑵直線與圓的公共點(diǎn)不確定時，過圓心作直線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑）l是圓的切線l是圓的切線弦切角弦切角的定義弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。要點(diǎn)：頂點(diǎn)在圓上一邊和圓相交一邊和圓相切判斷下列各圖形中的∠A是不是弦切角，并說明理由。

還記得什么是分類討論嗎？還記得什么是化歸嗎？還記得什么是完全歸納法嗎？弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。定如圖，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若弧AB＝弧AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？為什么？推論若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等。原題：在△ABC中，∠A的平分線AD交BC于D，⊙O過點(diǎn)A，且和BC切于D，和AB、AC分別交于E、F。求證：EF//BC。演變1：在△ABC中，過點(diǎn)A和BC切于