2024-2025學年新教材高中數(shù)學第二章等式與不等式習題課均值不等式的應用課后提升訓練含解析新人教B版必修第一冊

其次章等式與不等式習題課均值不等式的應用課后篇鞏固提升基礎達標練1.某工廠第一年產(chǎn)量為A,其次年的增長率為a,第三年的增長率為b,這兩年的平均增長率為x,則()A.x=a+b2 B.C.x>a+b2 D.解析由條件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+a)+(1+b)22,所以1+x≤1答案B2.已知正數(shù)x,y滿意x+2y-xy=0,則x+2y的最小值為()A.8 B.4 C.2 D.0解析由x+2y-xy=0,得2x+1y=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×2x+1y=4yx+xy+4≥4+4答案A3.若正實數(shù)a,b滿意a+b=1,則()A.1a+B.ab有最小值1C.a+b有最大值D.a2+b2有最小值2解析因為正實數(shù)a,b滿意a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2=4,當且僅當a=b=12時,等號成立,故1a+1b有最小值4,故A不正確;由均值不等式可得a+b=1≥2ab,當且僅當a=b=12時,等號成立,∴ab≤14,故ab有最大值14,故B不正確;由于(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤2,∴a+b≤2,故a答案C4.(多選題)(2024遼寧高一月考)已知正數(shù)a,b滿意a+b=4,ab的最大值為t,不等式x2+3x-t<0的解集為M,則下列結論正確的是()A.t=2 B.t=4C.M={x|-4<x<1} D.M={x|-1<x<4}解析∵正數(shù)a,b滿意a+b=4,∴ab≤a+b22=4,即ab的最大值為t=4,當且僅當a=b=2時,等號成立.∵x2+3x-4<0的解集為M,∴M={x|-答案BC5.(多選題)設a>0,b>0,下列不等式恒成立的是()A.a2+1>a B.a+C.(a+b)1a+D.a2+9>6a解析A中,由于a2+1-a=a-122+34>0,∴a2+1>a,故A恒成立;B中,由于a+1a≥2,b+1b≥2,∴a+1ab+1b≥4,當且僅當a=b=1時,等號成立,故B恒成立;C中,由于a+b≥2ab,1a+1b≥21ab,∴(a+b)1a+答案ABC6.已知一次函數(shù)y=-12x+1的圖像分別與x軸、y軸相交于A,B兩點,若動點P(a,b)在線段AB上,則ab的最大值是,取得最值時a的值為.解析因為A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由題意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·1-b+b22當且僅當1-b=b,即b=12時等號成立,此時a=因此當b=12,a=1時,ab的最大值為1答案127.某公司一年需購買某種貨物200噸,平均分成若干次進行購買,每次購買的運費為2萬元,一年的總存儲費用數(shù)值(單位:萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則每次購買該種貨物的噸數(shù)是.

解析設每次購買該種貨物x噸,則須要購買200x次,則一年的總運費為200x×2=400x,一年的總存儲費用為x,所以一年的總運費與總存儲費用為400x+x≥2400x·x=答案208.如圖某村安排建立一個室內面積為800平方米的矩形蔬菜溫室,溫室內沿左右兩側與后墻內側各保留1米寬的通道,沿前側內墻保留3米寬的空地,當矩形溫室的邊長各為多少時,蔬菜的種植面積最大?最大種植面積是多少?解設矩形的一邊長為x米,則另一邊長為800x米,因此種植蔬菜的區(qū)域寬為(x-4)米,長為800x-2米.由x-4>0所以其面積S=(x-4)·800x-2=808-2x+3200x≤808-22x·3200x=808-160=當且僅當2x=3200x,即x=40∈(4,400)時等號成立.因此當矩形溫室的兩邊長分別為40米,20米時蔬菜的種植面積最大,最大種植面積是648平方米9.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:(1)1a(2)1+1a1+1b≥9.證明(1)因為a+b=1,a>0,b>0,所以1a+1b+1所以1a+1b=a+ba所以1a+1b+1ab≥8(2)方法一因為a>0,b>0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=2+ba,同理1+1所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.所以1+1a1+1b≥9當且僅當a=b=12時等號成立.方法二1+1a1+1b=1+1a+1由(1)知,1a故1+1a1+1b=1+1a+1b當且僅當a=b=12時取等號實力提升練1.某金店用一桿不精確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金,某顧客要購買10g黃金,售貨員先將5g的砝碼放在左盤,將黃金放于右盤使之平衡后給顧客,然后又將5g的砝碼放入右盤,將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客,則顧客實際所得黃金()A.大于10g B.小于10gC.大于等于10g D.小于等于10g解析設兩臂長分別為a,b,兩次放入的黃金數(shù)是x,y,依題意有ax=5b,by=5a,所以xy=25.因為x+y2又a≠b,所以x≠y.所以x+y>10,即兩次所得黃金數(shù)大于10g.答案A2.若a,b為大于1的實數(shù),且滿意a+b=ab,則4a-1A.2 B.4 C.6 D.8解析因為a,b為大于1的實數(shù),所以4a-1>0,1因為a+b=ab可知ab-(a+b)=0,∴4a-1+1當且僅當a=3,b=32時等號成立答案B3.已知正實數(shù)m,n滿意m+n=1,且使1m+16n取得最小值.若y=5m,x=4n是方程y=xA.-1 B.12 C.2 D.解析1m+16n=1m+16n(m+n)=17+16mn+nm≥17+當且僅當16mn=nm,又m+n=1,即m=15,n=45時,上式取等號,即1m+16n取得最小值時,m=15,n=45答案C4.若a>0,b>0,且a+b=1,則1a2-A.9 B.8 C.7 D.6解析1a2=(a+b)2-a2-b2a所以當a=b=12時,原式取最小值9答案A5.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m恒成立,則A.10 B.9 C.8 D.7解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab答案B6.設a+b=2,b>0,則12|a|+|解析因為a+b=2,所以12|a|+|a|又a+b=2,b>0,所以當b=-2a,a=-2時,12|答案-27.已知正數(shù)a,b,x,y滿意a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值為18,求a解x+y=(x+y)ax+by=a+bxy因為x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2ab=18,當且僅當bxy=ayx時,等號成立.即又a+b=10,所以a8.某種商品原來每件售價為25元,年銷售量為8萬件.(1)據(jù)市場調查,若價格每提高1元,銷售量將相應削減2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?(2)為了擴大該商品的影響力,提高年銷售量.公司確定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革,并提高定價到x元.公司擬投入16(x2-600)萬元作為技改費用,投入50萬元作為固定宣揚費用,投入15x萬元作為浮動宣揚費用.試問:當該商品明年的銷售量a解(1)設每件定價為t元,依題意得8-t-251×0.2t≥25×8,整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元.(2)依題意不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+15x有解,等價于x>25時,a≥150x因為150x+16x≥2150所以a≥10.2.所以當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.素養(yǎng)培優(yōu)練已知函數(shù)y=x+mx-1((1)若m=1,求當x>1時函數(shù)的最小值;(2)