2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明單元質(zhì)量評估習(xí)題含解析北師大版選修1-2

第三章單元質(zhì)量評估本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)答題表題號123456789101112答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．歸納推理與類比推理的相像之處是()A．都是從一般到一般B．都是從一般到特別函數(shù)C．都是從特別到特別D．都不肯定正確2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)時，第一步應(yīng)驗證不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<33．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實根B．方程x2＋ax＋b＝0沒有實根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根4．視察按下列依次排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)個等式應(yīng)為()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－10D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－105．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論()①垂直于同一個平面的兩條直線相互平行；②垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；③垂直于同一個平面的兩個平面相互平行；④垂直于同一條直線的兩個平面相互平行．A．①② B．②③C．③④ D．①④6．視察下圖的規(guī)律，在其下面一行的空格內(nèi)畫上合適的圖形，應(yīng)是()A．△★○◆ B．○◆△★C．○★△◆ D．

●☆▲7．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃耀所成的三個圖形，照此規(guī)律閃耀，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()8.如圖，圓周上按順時針方向標(biāo)有1,2,3,4,5五個點．一只青蛙從1點起先按順時針方向繞圓從一個點跳到另一點．若它停在奇數(shù)點上，則下一次只能跳一個點；若停在偶數(shù)點上，則下一次跳兩個點．該青蛙從5這點跳起，經(jīng)2015次跳后它將停在的點是()A．1 B．2C．3 D．4答案1．D歸納推理和類比推理都是合情推理，但是不肯定正確．2．B由n∈N＋，n>1知n的第一個值為2，此時不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)<2，故選B.3．B“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實根”，故選B.4．B由所給的等式可以依據(jù)規(guī)律猜想得9(n－1)＋n＝10(n－1)＋1＝10n－9.5．D明顯①④正確．②中空間內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線可能平行，可能相交，也可能異面；③垂直于同一個平面的兩個平面可能平行，也可能相交，故D正確．6．B每行每列元素不同，且白黑相間．7．A該五角星對角上的兩盞花燈依次按逆時針方向亮一盞，故下一個呈現(xiàn)出來的圖形是A.8．B記an表示青蛙第n次跳后所在的點數(shù)，則a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，明顯{an}是一個周期為3的數(shù)列，故a2015＝a2＝2.————————————————————————————

9.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿意：“當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是()A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立10．將正偶數(shù)按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224……則2014在()A．第251行，第2列B．第251行，第3列C．第252行，第2列D．第252行，第3列11．如圖甲，在平行四邊形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝()A．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))C．2(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))D．4(AB2＋AD2)12．(2024·北京卷)某學(xué)校運動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項競賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段．下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成果，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a－1b65在這10名學(xué)生中，進入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時進入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則()A．2號學(xué)生進入30秒跳繩決賽B．5號學(xué)生進入30秒跳繩決賽C．8號學(xué)生進入30秒跳繩決賽D．9號學(xué)生進入30秒跳繩決賽第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在題中橫線上)13．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．14．(2024·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是15．視察以下不等式：1>eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)；…由此揣測第n個不等式為________．16．一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)稱為第k位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)．已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿意如下校驗方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，))其中運算⊕定義為：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于________．答案9．D題設(shè)中“當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．事實上是給出了一個遞推關(guān)系，從數(shù)學(xué)歸納法來考慮，因為f(4)≥25成立，所以f(4)≥16成立，即k的基礎(chǔ)值為4，所以選項A、B、C都錯誤，故選D.10．D由2014為偶數(shù)中從2數(shù)第1007個數(shù)，又?jǐn)?shù)表中每行4個，4×251＝1004，則2014為第252行第3個數(shù)．故選D.11．A已知平面上平行四邊形的對角線的平方和等于從同一頂點動身的兩條邊的平方和的2倍，利用類比推理可知，空間中，平行六面體的體對角線的平方和等于從同一頂點動身的三條棱的平方和的4倍．12．B由數(shù)據(jù)可知，進入立定跳遠(yuǎn)決賽的8人為1～8號，所以進入30秒跳繩決賽的6人從1～8號里產(chǎn)生．?dāng)?shù)據(jù)排序后可知3號，6號，7號必定進入30秒跳繩決賽，則得分為63，a,60,63，a－1的5人中有3人進入30秒跳繩決賽．若1號，5號學(xué)生未進入30秒跳繩決賽，則4號學(xué)生就會進入決賽，與事實沖突，所以1號，5號學(xué)生必進入30秒跳繩決賽．故選B.13．1∶8解析：由類比思想，面積比是邊長比的平方，體積比是棱長比的立方．14．1和3解析：為便利說明，不妨將分別寫有1和2,1和3,2和3的卡片記為A，B，C.從丙動身，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C，最終由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時丙所拿的卡片為A.15．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)解析：由所給的不等式可以歸納得到1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).16．5解析：若1≤k≤3，則x4＝1，x5＝1，x6＝0，x7＝1，不滿意x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0；若k＝4，則二元碼為1100101，不滿意x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0；若k＝5，則二元碼為1101001，滿意方程組，故k＝5.————————————————————————————三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)證明：eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)<2.18．(12分)已知a≠0，證明：關(guān)于x的方程ax＝b有且只有一個根．19．(12分)如圖，已知平面α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，且cα，c∥a，求證：b，c為異面直線．20．(12分)(2024·浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋eq\f(1,1＋x)，x∈[0,1]．證明：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).答案17．證明：方法1：(分析法)要證eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)<2，只需證log1930<log19192，即證30<192，又30<192恒成立，∴原不等式成立．方法2：(綜合法)eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)＝log195＋log193＋log192＝log1930<log19192＝2.18．證明：由于a≠0，因此方程至少有一個根x＝eq\f(b,a).假如方程不是只有一個根，不妨設(shè)x1，x2是它的兩個不同根，即ax1＝b，ax2＝b，∴a(x1－x2)＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴應(yīng)有a＝0，這與已知相沖突，故假設(shè)不成立．∴當(dāng)a≠0時，方程ax＝b有且只有一個根．19．證明：假設(shè)b、c不是異面直線，即b、c為共面直線，則b、c為相交直線或平行直線．(1)若b∩c＝P，已知bβ，cα，又α∩β＝a，則P∈b(bβ)，且P∈c(cα)，從而，交點P肯定在平面α、β的交線上，即P∈a，于是a∩c＝P，這與已知條件a∥c沖突．因此b、c相交不成立．(2)若b∥c，已知a∥c，則a∥b，這與已知條件a∩b＝A沖突，因此b、c平行也不能成立．綜合(1)(2)可知b、c為異面直線．20．證明：(1)因為1－x＋x2－x3＝eq\f(1－－x4,1－－x)＝eq\f(1－x4,1＋x)，由于x∈[0,1]，有eq\f(1－x4,1＋x)≤eq\f(1,x＋1)，即1－x＋x2－x3≤eq\f(1,x＋1)，所以f(x)≥1－x＋x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋eq\f(1,x＋1)≤x＋eq\f(1,x＋1)＝x＋eq\f(1,x＋1)－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝eq\f(x－12x＋1,2x＋1)＋eq\f(3,2)≤eq\f(3,2)，所以f(x)≤eq\f(3,2).由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，又因為f(eq\f(1,2))＝eq\f(19,24)>eq\f(3,4)，所以f(x)>eq\f(3,4).綜上，eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).————————————————————————————

21.(12分)閱讀下列材料：依據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，②由①＋②，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③，得sinA＋sinB＝2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A－B,2).(1)類比上述推證方法，依據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2)；(2)若△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿意cos2A－cos2B＝2sin2C，試推斷△22．(12分)(2024·新課標(biāo)全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng)x∈(1，＋∞)時，1<eq\f(x－1,lnx)<x；(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時，1＋(c－1)x>cx.

答案21.解：(1)證明：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②，得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③，得cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2).(2)解法1：cos2A－cos2B＝2sin2C，可化為1－2sin2A－1＋2sin2B即sin2A＋sin2C＝sin2設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.依據(jù)勾股定理的逆定理