2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.4.1第1課時(shí)空間中點(diǎn)直線和平面的向量表示及空間中直線平面的平行課后提升訓(xùn)練含解析新人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量探討直線、平面的位置關(guān)系第1課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則()A.x=6,y=15 B.x=3,y=152C.x=3,y=15 D.x=6,y=15解析由題意,有a∥b,則32=x4=y5答案D2.(多選題)若直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則不行能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析若l∥α,則需m⊥n,即m·n=0,依據(jù)選擇項(xiàng)驗(yàn)證可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故選A,B,C.答案ABC3.設(shè)a=(3,-2,-1)是直線l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,則()A.l⊥α B.l∥αC.l∥α或l?α D.l⊥α或l?α解析∵a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l?α.答案C4.已知直線l∥平面ABC,且l的一個(gè)方向向量為a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),則實(shí)數(shù)m的值是.

解析∵直線l∥平面ABC,∴存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xAB+yAC,AB=(1,0,-1),AC=(0,1,∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴2=x,m=答案-35.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一個(gè)法向量n.解如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).設(shè)平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(又∵n為平面ACD1的一個(gè)法向量,∴n∴(x,y,令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一個(gè)法向量n=(1,1,1).6.在三棱錐O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC兩兩垂直,試找出一點(diǎn)D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),設(shè)所求點(diǎn)D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB?BD∥因此(即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,1,2).7.已知三棱錐P-ABC,D,E,F分別為棱PA,PB,PC的中點(diǎn),求證:平面DEF∥平面ABC.證明如圖,設(shè)PD=a,PE=b,PF=c,則PA=2a,PB=2b,PC=2c,所以DE=b-a,DF=c-a,AB=2b-2a,AC=2c-2a,對于平面ABC內(nèi)任始終線l,設(shè)其方向向量為e,由平面對量基本定理知,存在唯一實(shí)數(shù)對(x,y),使e=xAB+yAC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2xDE+2yDF,因此e與DE,DF共面,即e∥平面DEF,又l?平面DEF,所以l∥平面DEF.由l的隨意性知,平面ABC∥平面實(shí)力提升練1.設(shè)α,β是不重合的兩個(gè)平面,α,β的法向量分別為n1,n2,l和m是不重合的兩條直線,l,m的方向向量分別為e1,e2,那么α∥β的一個(gè)充分條件是()A.l?α,m?β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l?α,m?β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2解析對于C,有n1∥n2,則α∥β.故選C.答案C2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由圖可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0).∵A1M=AN=2a∴Ma,N2a∴MN=∵M(jìn)N·n=0,∴MN∥平面BB1C1C.答案B3.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,12,已知α∥β解析因?yàn)棣痢桅?所以u∥v.則x-即x=4,y=答案154.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=.

解析因?yàn)锳B=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,又因?yàn)閍·AB=0,a·AC=0,所以x-3所以x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).答案2∶3∶(-4)5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的單位法向量.解AB=(4,2,-2),AC=(2,4,-2),設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC的單位法向量,則有|取z>0,得x=y=111,z=3故平面ABC的單位法向量為n=11116.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,則AP的長為.

解析如圖,建立分別以AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a,P(0,0,b),則A(0,0,0),B1(a,0,1),D(0,1,0),Ea2于是AB1=(AE=DP=(0,-1,b).∵DP∥平面B1AE,∴存在實(shí)數(shù)λ,μ,使DP=λAB1+μ即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μa=λa+∴λa+μa2=0,μ即AP=12答案1素養(yǎng)培優(yōu)練已知M為長方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在長方體ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D內(nèi),且PM∥平面BB1D1D,摸索討點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置.解以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)題意可設(shè)A(a,0,0),B(a,b,0),D1