2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（浙江專用）圓的綜合壓軸題（學(xué)生版）

壓軸題04圓的綜合壓軸題

高分必?fù)?/p>

?題型01圓中長(zhǎng)度'角度的綜合

圓的基本性質(zhì)相關(guān)綜合題解題秘籍：

圓中求長(zhǎng)度，垂徑+勾股；圓中求角度，同弧或等弧；

圓的綜合問題，和那個(gè)圖形結(jié)合，就多想所結(jié)合圖形的性質(zhì)與圓的性質(zhì)；

1.（2023?溫州）圖1是4義4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為近，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“房

子”造型（如圖2）,過左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形CDEE作為題字區(qū)域（點(diǎn)4

E,D,8在圓上，點(diǎn)C,尸在A8上），形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為.若點(diǎn)A,N,M在同

一直線上，AB//PN,DE=^EF,則題字區(qū)域的面積為.

2.（2023?杭州）如圖，在。。中，直徑垂直弦CZ）于點(diǎn)E,連接AC,AD,BC,作CTJ_于點(diǎn)孔

交線段08于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O,B重合），連接。R

（1）若BE=1,求GE的長(zhǎng).

（2）求證：BU=BG，BO.

（3）FO=FG,猜想NC4。的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

?題型02圓與切線的綜合

圓與切線綜合題解題要點(diǎn)：

有切線必有直角，有直角三角形，求長(zhǎng)度則多想勾股定理及與直角三角形有關(guān)的相似；

1.（2023?寧波）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓。與8C相

切于點(diǎn)D,連結(jié)AD,BE=3,BD=3a.尸是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)

為_______________.

2.（2023?臺(tái)州）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置

刻畫圓上點(diǎn)的位置.如圖，A3是。。的直徑，直線/是。。的切線，2為切點(diǎn).P,。是圓上兩點(diǎn)（不

與點(diǎn)A重合，且在直徑A8的同側(cè)），分別作射線AP,AQ交直線/于點(diǎn)C,點(diǎn)。.

（1）如圖1,當(dāng)AB=6,弧8尸長(zhǎng)為IT時(shí)，求3c的長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)寫'4加余時(shí)，求黑的值；

AB4CD

（3）如圖3,當(dāng)sin/BAQ。叵，BC=CD時(shí)，連接8尸，PQ,直接寫出瞿的值.

AAA

?題型03圓與最值問題

圓與最值問題必備知識(shí)：

一、構(gòu)造輔助圓的常用方法：

①定義法:到定點(diǎn)的距離=定長(zhǎng)

即:同一平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離相等（3個(gè)點(diǎn)也可證共圓）

②定邊對(duì)直角（原理:直徑所對(duì)的圓周角=90°）

特例:有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形，必滿足四點(diǎn)共圓

③定邊對(duì)定角（原理:同弧所對(duì)的圓周角相等）

④對(duì)角互補(bǔ)的四邊形,4個(gè)頂點(diǎn)滿足四點(diǎn)共圓

特例:矩形、正方形的4個(gè)頂點(diǎn)必四點(diǎn)共圓

⑤“蝴蝶形”相似的4個(gè)頂點(diǎn)必滿足四點(diǎn)共圓

⑥瓜豆原理之圓生圓

二、圓與圓外定點(diǎn)的最值求法：

如圖：則AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r

1.（2023?浙江）一副三角板ABC和。EE中，ZC=ZD=90°,ZB=30°,ZE=45°,BC=EF=12.將

它們疊合在一起，邊BC與跖重合，8與AB相交于點(diǎn)G（如圖1）,此時(shí)線段CG的長(zhǎng)是.現(xiàn)

將ADEF繞點(diǎn)C（尸）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,邊EF與相交于點(diǎn)H,連結(jié)?！?，在旋轉(zhuǎn)0°到

60°的過程中，線段。X掃過的面積是

2.（2023秋?清江浦區(qū)期中）如圖，矩形ABC。的邊AB=8,AO=6,/為的中點(diǎn)，尸是矩形內(nèi)部一動(dòng)

點(diǎn)，且滿足NADP=/PA8,N為邊CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PMMN,則PN+MN的最小值為

3.（2023秋?廣漢市校級(jí)月考）如圖，ZviBC中，ZACB=9Qa,ZB=30°,AC=3,E是AC的中點(diǎn)，

M、N分別是邊A8、8C上的動(dòng)點(diǎn)，。也是8c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以C。為直徑作。0,連接即交。。

于F,連接FM,MN,則FM+MN的最小值為.

?題型04圓的綜合應(yīng)用

1.（2023?寧波）如圖1,銳角△ABC內(nèi)接于O。，。為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)E,連結(jié)

BE,CE,過C作AC的垂線交AE于點(diǎn)F點(diǎn)G在上，連結(jié)8G,CG,若8C平分/E8G且N8CG

ZAFC.

AA

E

圖1圖2

(1)求NBGC的度數(shù).

(2)①求證：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。恰好在8G上且。G=1時(shí)，求AC的長(zhǎng).

2.(2023?浙江)已知，是半徑為1的。。的弦，。。的另一條弦CD滿足C￡>=AB,且CDLAB于點(diǎn)

?(其中點(diǎn)反在圓內(nèi)，>AH>BH,CH>DH).

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦與點(diǎn)反(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)連結(jié)A。，猜想：當(dāng)弦A8的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由;

若不變，求出的長(zhǎng)度；

(3)如圖2,延長(zhǎng)A/7至點(diǎn)區(qū)使得HF=AH,連結(jié)CR/HCP的平分線CP交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,

點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，連結(jié)若求證：MHLCP.

2

3.(2023?麗水)如圖，在。。中，AB是一條不過圓心。的弦，點(diǎn)C,D是篇的三等分點(diǎn)，直徑CE交

A3于點(diǎn)E連結(jié)A。交CP于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過點(diǎn)C的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X.

(1)求證：AD//HC；

(2)若5"=2,求tan/FAG的值；

GC

(3)連結(jié)8c交于點(diǎn)N,若。。的半徑為5.

下面三個(gè)問題，依次按照易、中、難排列.請(qǐng)根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇其中一道問題進(jìn)行解答.

①若。尸=_|,求的長(zhǎng)；

②若48=03，求△AA?的周長(zhǎng)；

③若加l?42=88,求△B8C的面積.

壓軸題預(yù)測(cè)

1.如圖，點(diǎn)P在。。的直徑AB上，作正方形PCDE和正方形尸F(xiàn)GH,其中點(diǎn)。，G在直徑所在直線上,

點(diǎn)C,E,F,"都在。。上，若兩個(gè)正方形的面積之和為16,OP=?,則。G的長(zhǎng)是（）

r

A.672B.2774C.7D.4,R

2.如圖，已知以BC為直徑的O。，A為弧BC中點(diǎn)，尸為弧AC上任意一點(diǎn)，A。J_A尸交8尸于，連CD若

BC=6,則CD的最小值為

3.如圖①是小明制作的一副弓箭，4。分別是弓臂前與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC=06w,沿AD方向

拉弓的過程中，假設(shè)弓臂前始終保持圓弧形，弓弦長(zhǎng)度不變.如圖②，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)。拉到

點(diǎn)。1時(shí)，有皿=0.3m,ZBiDiCi=120°.

圖①

(1)圖②中,弓臂兩端9,G之間的距離是—m；

(2)如圖③,將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)。2,使弓臂B2AC2為半圓，則。1。2的值為

4.如圖1,在△A8C中，90°,BC=2AC=2,過BC上一點(diǎn)。作。E_LBC,交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)

。為圓心，的長(zhǎng)為半徑作半圓，交AC,AB于點(diǎn)F,G,交直線8C于點(diǎn)H,/(點(diǎn)/在H左側(cè)).當(dāng)

點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2),GH=；當(dāng)EF=GH時(shí)，CD=.

5.如圖，在。。中，弦A8與弦。相交于點(diǎn)G,OA，C￡)于點(diǎn)E,過點(diǎn)8的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸,

AC//BF.

(1)若/FGB=/FBG,求證：8尸是。。的切線；

(2)若tan/F=7,CD—24,求。。的半徑；

4

22

(3)請(qǐng)問2-GB的值為定值嗎?若是，請(qǐng)寫出計(jì)算過程，若不是，請(qǐng)說明理由.

V2DF-GF

F

6.如圖(1),O。為銳角△CB￡>的外接圓,過點(diǎn)。作DHLBC于點(diǎn)H,DC,08分別交直徑A8于點(diǎn)E,

F,連結(jié)AC,ZCDH+2ZABC^90°.

(1)求證：CB=CD.

(2)當(dāng)時(shí)，求證：AE=BF.

(3)如圖(2),若AC=2,BC=2j7,

①求sinZCDH的值；

②求取的長(zhǎng).

i/

DD

圖1圖2

7.如圖，在四邊形A3C￡)中，NB=NC=90°,tanZBA￡>=—,A￡>=5,CD=4a.DELAD交線段BC

3

于點(diǎn)E,以。E為直徑的。。交AE于點(diǎn)尸，連結(jié)。F.

(1)用。的代數(shù)式分別表示DE,AB的長(zhǎng).

器的值?

(2)NCL不被。E分割成的兩個(gè)角中，有一個(gè)等于求:

(3)連結(jié)0B,當(dāng)。2〃。尸時(shí)，

①求證：ZOBC=ZBAE；

②求tanZDAE的值.

8.綜合與實(shí)踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，“希望小組”的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾