2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：因式分解(一)

因式分解(1)

知識(shí)梳理

1提公因式法

如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因

式乘積的形式.

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法.它的理論依據(jù)就是乘法分配律.

2.多項(xiàng)式的公因式的確定方法

(1)當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次幕.

⑵取系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.

3.主要公式

平方差公式：a2—fa2=(a+fo)(a-b)

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a+b)2

立方和、立方差公式:a3±&3=(a±-(a2+ab+立

4.歐拉公式

a3+b3+c3—3abc=(a+6+c)(a2+b2+c2—ab—be—ca)

=,(a+b+c)[(a-b)2+(6—c)2+(c—a)2]

特別地：(D當(dāng)a+b+c=O時(shí)，有a3+b3+c3=3abc.

(2)當(dāng)c=0時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式.

5.因式分解的步驟

⑴通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四,變”的步驟.即首先看有無公因式可提；其次看能否直接運(yùn)用乘法公

式.如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解.

(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)(添項(xiàng))等方法.

6.因式分解注意事項(xiàng)

(1)因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；

⑵因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；

(3)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；

(4)公因式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；

(5)結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成幕的形式；

(6)題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解.

典型例題

例1

把下列各式因式分解.

(1)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3

(2)a(a—b)3+2a"b—a)2—2ab(b—a)

分析(1)若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“一”，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，在提出“一”后，多

項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

(2)有時(shí)將因式經(jīng)過符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時(shí)，(a-6)如=@—a)2n

；(a-b)2nT=_(b-a)2n「是在因式分解過程中常用的變換.

解(1)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3=-axm{ax2-bx+c+x3)

(2)a(a—fa)3+2a2(b—a)2—2ablb—a)

=a(a—b)3+2a2(a—b)2+2a6(a—b)

=a(a—b)[(a—b')2+2a(a—b')+2b]

=a(a-6)(3a2—4ab+b2+2b)

例2

⑴當(dāng)m為何值時(shí),多項(xiàng)式工2—必+mx+5y一6能分解因式，并分解此多項(xiàng)式.

(2)如果x3+ax2+bx+8有兩個(gè)因式，分別為x+1和.x+2,求a+6的值.

分析⑴前兩項(xiàng)可以分解為(x+y)(x-y),故此多項(xiàng)式分解的形式必為(x+y+a)(x-y+b).

2

(2)爐+ax+bx+8是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分解成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如x+c的一

次二項(xiàng)式.

解(1)設(shè)X?—V+mx+5y—6=(x+y+a)(x—y+b)

22

貝！1x2一必+mx+5y—6=x—y+(a+b)x+(fa—a)y+al

a+b=ma=—2'a—2

比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得：\b-a=5,解得：b=3b=-3

.ab=—6.m=1.m=-1

所以當(dāng)m=±l時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；

當(dāng)m=l時(shí)，原式=(x+y-2)(x-y+3);

當(dāng)m=-l時(shí)，原式=(x+y+2)(x-y-3).

2

(2)設(shè)爐+ax+bx+8=(%+l)(x+2)(x+c)

則3+ax2+bx+8=x3+(3+c)x2+(2+3c)x+2c

，a=3+c(a—1

所以、b=2+3c解得b—14,

2c=8Ic=4

所以a+b=21

例3

已知三次四項(xiàng)式2x3-5x2-6x+k分解因式后有一個(gè)因式是x-3,試求k的值及另一個(gè)因式.

分析此題需先將2x3-5x2-6x+k分解成x-3,再利用分組分解法進(jìn)行因式分解，即可求出另一個(gè)因式.

解設(shè)另一個(gè)因式為2x2-mx-1,

32

所以(%—3)卜%2—mx—三=2x—5x—6x+k,

2x3—mx2—~x—6x2+3mx+k=2x3—5x2—6%+/c.

3

2%3—(m+6)x2—Q—3m)x+k=2x3—5x2—6x+k,

m+6=5

所以

3m+-=6'

l3

解得：K二1

所以k=9,

所以另一個(gè)因式為2x3+x-3.

雙基訓(xùn)練

L已知a,b,c是AABC的三邊，且a2+b2+c2=ab+be+ca,則△ABC的形狀是().

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

2.若好—必+小久+5y—6能分解為兩個(gè)一次因式的積,則m的值為().

A.lB.-1C.+1D.2

3.下列多項(xiàng)式中，能因式分解的是().

A.m2+nB.m2—m+1C.m2—nD.m2—2m+1

4.一次課堂練習(xí)，王莉同學(xué)做了如下4道分解因式題，你認(rèn)為王莉做得不夠完整的一道題是()

A.x3—x—x(xz-1)B.x2-2xy+y2=(x—y)2

C.x2y—xy2—xy(x—y)D.x2—y2—(x—y)(x+y)

5.有兩個(gè)多項(xiàng)式M=2x2+3x+l,N=4x2-4x-3,則下列哪一個(gè)為M與N的公因式().

A.x+1B.x-1C.2x+1D.2x-1

6.要使二次三項(xiàng)式x2+mx-6能在整數(shù)范圍內(nèi)分解因式，則m可取的整數(shù)為一.

7.已知四個(gè)代數(shù)式:①m+n;②m-n;③2m+n;④2m-n.當(dāng)用2m2n乘以上述四式中的其中兩式時(shí)，便得到多項(xiàng)式

4m4n-2m3n2-27n那么這兩個(gè)式子的編號(hào)是____.

8.閱讀下列文字與例題：

將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.

例如:(1)am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)

(2)x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=%2-(y+l)2=(%+y+1)(%-y-L試用上述方法分解因式a2

+2ab+ac+be+b2=

9.分解因式：

(l)a2b2+16ab+39(2)15%如+7xnyn+1-4y2n+2

(3)(x2+3x)2-22(%2+3x)+72(4)4q(l-p)3+2(p-l)2

10.下列從左到右的變形中，哪些是分解因式?哪些不是？

⑴24%2y=4x-6xy;

(2)(%+5)(%—5)=%2-25;

(3)x2+2%—3=(%+3)(%—1);

(4)9x2-6%+1=3x(3%-2)+1;

⑸%2+1=%(%+：).

11.下列三個(gè)多項(xiàng)式：circlel^x2—x—1;circle2^x2-3%+1;circled^x2+筋請(qǐng)你選擇其中的兩個(gè)式子進(jìn)行

加法運(yùn)算，把結(jié)果因式分解,并求值，其中x=-2.

12.若/+5%2+7%+。有一因式x+1,求a,并將原式因式分解.

13.若多項(xiàng)式%2+a%+8和多項(xiàng)式Y(jié)_3%+講目乘的積中不含x2*-項(xiàng)，求(a-b)3—(二一/)的值.

14.已知：a—+1,b=|m+2,c=+3,求a?+2ab+b2—2ac+c2—2bc的值.

15.已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式2x2+mx+n因式分解的結(jié)果是(2x-1)(%+)求m,n的值

16.已知x+y=0.5,x+3y=1.2,求3xz+12xy+9y2的值.

17.求證((a+6—2ab)(a+b—2)+(1—ab)?=(a—l)?(b—1)2,

18.下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2-4x+2)(%2-4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過程.

解：設(shè)刀2-4x=y

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=y2+8y+16(第二步)

=。+4￥(第三步)

=(%2-4%+4)2(第四步)

請(qǐng)問：

(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?—.(填“徹底”或“不徹底”)

若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果.

⑵請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式((/-2x)(7_2%+2)+1進(jìn)行因式分解.

19.若X3+y3=27,X2—xy+y2=9,求x2+必的值.

20.小明、小華、小剛?cè)嗽谝黄鹩懻撘粋€(gè)多項(xiàng)式.

小明：它是個(gè)三次多項(xiàng)式，且有三項(xiàng)；

小華：其中三次項(xiàng)系數(shù)是1；

小剛：在進(jìn)行分解因式的過程中用到了提公因式法和公式法.

請(qǐng)你試著寫出符合上述條件的多項(xiàng)式，并將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

能力提升

21.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,現(xiàn)用“☆”定義新運(yùn)算:a+b=a3-那么將多項(xiàng)式4因式分解,其結(jié)果為().

A.a(a+2)(a-2)B.a(a+4)(a-4)

C.(a+4)(a-4)D.a(a2+4)

22.若n為任意整數(shù)，(n+13)2-"的值總能被m整除,m丹則m為().

A.13B.26C.13的倍數(shù)D.13或26

23.若多項(xiàng)式x2-x+巾在整數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，把你發(fā)現(xiàn)字母m的取值規(guī)律用含字母n(n為正整數(shù))的式子

表示為—.

24.如果多項(xiàng)式9%2-axy+4,一匕能用分組分解法分解因式，則符合條件的一組整數(shù)值是a=—,b=—.

25.分解因式：

(l)x5-x4+x3-x2+x-1

(2)3x2+5xy-2y2+x+9y—4

c/siycc987,c987.—987lct987

26.ir|"算123x----F268x------F456rx-------F521x-----.

1368136813681368

27.已知x2+bx+c(b,c為整數(shù))是x1+6x2+25及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b,c的值.

28.已知x2-y2-z2=0,A是一個(gè)關(guān)于x,y,z的一次多項(xiàng)式，S.x3-y3-z3=(x-y)(x-z)A,試求A的表達(dá)式.

29.已知m,n互為相反數(shù)，且滿足(m+4)2-(n+4)2=16,求m2+n2-；的值

30.仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題.

例題：已知二次三項(xiàng)式X2-4X+爪有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及m的值.

解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n)，得

x2—4x+m—(x+3)(x+n)

則—4x+m=x?+(n+3)x+3n

由pi+3=—4

Im=3n

解得:n=-7,m=-21

所以另一個(gè)因式為(x-7),m的值為-21.

請(qǐng)你模仿以上方法解答下面問題：

已知二次三項(xiàng)式2久2+3x-k有一個(gè)因式是(2x-5),求另一個(gè)因式以及k的值.

拓展資源

31.分解因式.

(1)2久4—%3-6x2-x+2

(2)x4—4x3+x2+4x+1

32.化簡(jiǎn)：1+X+X(1+X)+x(l+x)2+--1-X(1+且當(dāng)X=O時(shí)，求原式的值.

33.已知多項(xiàng)式a/+bx2_47%-15可被3x+l和2x-3整除試求a,b的值及另外的因式.

34.基本事實(shí):“若ab=O,則a=0或b=0.”一元二次方程%2-%-2=?？赏ㄟ^因式分解化為(x-2)(x+l)=0,由基本事

實(shí)得x-2=0或x+l=O,即方程的解為x=2和.x=-1.

⑴試?yán)蒙鲜龌臼聦?shí)，解方程：2久2一久=0；

(2)若((久2+y2)(x2+y2-1)-2=0,求%2+黃的值.

35.閱讀理解并填空.

⑴為了求代數(shù)式/+2*+3的值，我們必須知道x的值.若x=l,則這個(gè)代數(shù)式的值為—；若x=2,則這個(gè)

代數(shù)式的值為一.....，可見，這個(gè)代數(shù)式的值因x的取值不同而一(填“變化”或“不變”).盡管如此，我們還是

有辦法來考慮這個(gè)代數(shù)式的值的范圍.

⑵在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式.同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)

式進(jìn)行部分因式分解可以來解決代數(shù)式值的最大(或最小)值問題.例如:.%2+2%+3=(x2+2x+1)+2=(x+I)2

+2,因?yàn)?久+I/是非負(fù)數(shù)，所以，這個(gè)代數(shù)式x2+2x+3的最小值是_____這時(shí)相應(yīng)的x的值是—.

（3）求代數(shù)式-/+14x+10的最大（或最?。┲?，并寫出相應(yīng)的x的值

（4）求代數(shù)式2%2-12%+1的最大（或最?。┲?，并寫出相應(yīng)的x的值

⑸已知y=|x2-3x-|,且x的值在數(shù)1~4（包含1和4）之間變化,求這時(shí)y的變化范圍.

第十九講

1.C2.C3.D4.A5.C

6.±1,或±57.②與③8.(a+b)(a+b+c)

9.(1)原式：=(ab)2+16ab+39=(ab+3)(ah+13)

(2)原式=(3xn-yn+1)(5xn+4yn+1)

(3)原式=(x?+3x-4)(x2+3x-18)=(x+4)(x-l)(x+6)(x-3)

(4)原式:=4q(l-pF+2(1-py=2(1-p)2[2q(l-p)+1]

=2(1-p)2[2q-2pq+1]

10.(1)因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式來說的，故(1)不是因式分解；

(2)右邊不是整式積的形式，不是因式分解；

⑶是因式分解；

(4)右邊不是整式積的形式，不是因式分解；

(5)右邊不是整式積的形式，不是因式分解；

11.選①與②進(jìn)行加減運(yùn)算.

Q%2-x-1)+Q%2—3%+1)

=-%2—%—1+-%2—3%+1

22

=X2—4%,

當(dāng)x=-2時(shí)，原式=(-2)2-4X(-2)=12;

Q%2_%-1)-Q%2—3%+1)

=-x2—x—1--X2+3%—1

22

=2x-2,

當(dāng)x=-2時(shí)，原式=-4-2=6.

12.令x+l=0,得x=-l,則把x=-l代入原多項(xiàng)式得到a=3.或者設(shè)另一個(gè)因式為((%+p),計(jì)算(x+l)(x+p),對(duì)應(yīng)項(xiàng)系

數(shù)相等，得到a=3.故原式=(%+1)2(%+3).

13.a=3,b=l,原式=18.

14.a2+2ab+b2-2ac+c2-2bc

=(a+b)2—2c(a+ZJ)+c2

=(a+b—c)2

因?yàn)閍=-m+l,b=-m+2,c=-m3

222

所以原式=(a+b—c)2

2

=[gm+l)+Qm+2)-Qm+3)]

=-1m2z.

4

11

1[匚5.m=——,n=——

24

16.3%2+12xy+9y2=3(%+y)(x+3y)=1.8

17.(a+b—2az))(a+b—2)+(1—cib)2

—ci2,+ab—2a+Z)2—2b—2ab2b—2ciZ)2+4ab+1-2ccb+出/=

=(a2+2ab+h2)+(a2b2+2ab+1)—(2a+2b)—(2a2b+2ab2)

=(a+bY+(ab+l)2—2(a+h)(ab+1

=[(a+b)—(ab—l)]2

=(a-l)2(h-l)2

18.(1)不徹底,(x-2)4.

(2)設(shè)％2—2%=y,原式==y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+l)2=(%2—2x+l)2=(x—l)4

19.x2+y2=9.220.答案不唯一，過程略.

21.A22.A23.m=-n(n+l)24.答案不唯一:a=±12,b=l,4,9,16等.

25.(1)原式:=(%—l)(x2—%+l)(x2+%+1).

(2)設(shè)3x2+Sxy—2y2+%+9y—4=(3%—y+m)(%+2y+幾

=3x2+5xy—2y2+(m+3n)x+(2m—n)y+mn.

m+3n=1_

由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得：2m-n=9,解得：[m=4,.

In=—1

mn=—4

所以%2+5xy—2y2+x+9y—4=(3%—y+4)(%—2y—1)

26.原式=—x(123+268+456+521)=—x1368=987.

27.因?yàn)?2+6%+c是3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28x+5的公因式

所以也是多項(xiàng)式3(x4+6必+25)-(3%4+4產(chǎn)+28%+5)的二次因式

而(F+6%2+25)—(3x4+4x2+28%+5)=14(x2—2%+5)又b,c為整數(shù),

得:x2+bx+c=x2—2x+5,所以b=-2,c=5.

28.因?yàn)閤2—y2—z2=0,所以y2=x2—z2,z2=x2—y2,

x3-y3-z3

=(x3-y3)-z-z2

=(%—y)(%2++y2)—z(x2—y2)

=(%—y)[x(x—z)+y(x—z)+(%2—z2)]

=(x-y)(x-z)(2x+y+z)

所以A=2x+y+z.

29.因?yàn)?m+4)2—(n+4)2=(m+n+8)(m—n)=16,所以8(m-n)=16,即m-n=2,所以m=l,n=-l,貝!Jm2+

n2--=1+1+1=3.

n

30.設(shè)另一個(gè)因式為(x+a)彳導(dǎo)x2+3x-k=(2x-5)(x+a),

貝!]2x2+3%—k=2x2+(2a-5)x—5a,

所以氏!解得:a=4,k=20,故另一個(gè)因式為(x+4),k的值為20.

31.(1)原式=x2(2x2-x-6-i+^)=x2[2(x2+-(x+0-6]

設(shè)％+工=t,則%2+白=產(chǎn)—2

xx乙

所以原式=x2[2(t2-2)-t-6]=x2(2t2-t-10)

=x2(2t—5)(t+2)=/(2%+：-5)(%+}+2)

=x-(2%+1-5)?%?(%+：+2)=(2x2-5%+2)(x2+2x+1)

=(x+1)2(2%—l)(x—2).

(2)原式=x2[x2—4%+1+￡+妥)=x2[(%2+/)―4(%—：)+1]

設(shè)X—：=y廁M+妥=y2+2

所以原式=x2(y2-4y+3)=x2(y-l)(y-3)

=/(%_：_i)_3)=(%2—%—l)(x2—3x—1

32.逐次分解：

1+%+%(1+%)+%(1