數(shù)學(xué)-湖南省長沙市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)暨寒假作業(yè)檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)（原卷+解析）

第1頁/共25頁2024年春季高二年級入學(xué)暨寒假作業(yè)檢測聯(lián)考時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.222.222.已知復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()3.下列各式化簡結(jié)果正確的是().4.的展開式中常數(shù)項為()A.-84B.-672C.84D.672A.B.C.D.6.如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足MN丄l的第2頁/共25頁A.B.CD..27.直線(a+1)x-2ay+1=0的傾斜角的取值范圍2B.C.D.8.在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)φ(n)*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只二、選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.A.ab的最大值為B.a+b的最小值為1C.a22的最小值為的最小值為A.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.f(x)的值域是[-1,1]C.f(x)的圖象關(guān)于點對稱第3頁/共25頁D.為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)B1PⅡ平面A1BD時，B1P不可能垂直CD1.B.若B1P與平面CC1D1D所成角為，則點P的軌跡長度為D.當(dāng)λ=1時，正方體經(jīng)過點A1、P、C的截面面積的取值范圍為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分；共15分.12.設(shè)事件A,B相互獨立=.13.已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為60π,則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積14.已知雙曲線分別是雙曲線的左、右焦點，M是雙曲線右支上一點，連接MF1交雙曲線C左支于點N，若△MNF2是以F2為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)?出文字說明、證明過程或演算步驟.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；*，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列{cn}：第4頁/共25頁（1）求B和b的值；（2）求AC邊上高的最大值.（1）求CC1的長；（2）求二面角M-AB-C的余弦值.跡為M.（1）求M的方程；（2）直線x+y-3=0交M于A，B兩點，C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD丄AB，求四邊形ACBD面積的最大值.（1）若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2(x1<x2)是函數(shù)f(x)的兩個極值點，證明：>2a-1.第5頁/共25頁2024年春季高二年級入學(xué)暨寒假作業(yè)檢測聯(lián)考時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.+1<0”2222【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題來得答案.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1i)z=2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z，由幾何意義求在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo).所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,1).故選：B3.下列各式化簡結(jié)果正確的是()第6頁/共25頁【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則求解.故選:B.的展開式中常數(shù)項為()A.-84B.-672C.84D.672【答案】B【解析】【分析】寫出二項展開式通項，令x的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項即可得解.故選：B. A.B.C.D.【答案】A【解析】第7頁/共25頁【分析】由二倍角公式可得tan2α=再結(jié)合已知可求得sinα=利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.α∈0,),，:cosα≠0，:解得sinα=故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出sinα.6.如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足MN丄l的A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷即得.【詳解】在正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，令棱長為2，體對角線l的端點為B,D1，對于A，B(2,2,0),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,1,0)，直線l的方向向量a=(2,2,2)，第8頁/共25頁顯然=4≠0，直線MN與l不垂直，A不是；對于B，由選項A知，直線l的方向向量=(2,2,2)，M(0,1,2),N(2,0,1)，則,顯然=4≠0，直線MN與l不垂直，B不是；對于C，由選項A知，直線l的方向向量a=(2,2,2)，M(0,2,1),N(1,0,0)，對于D，由選項A知，直線l的方向向量第9頁/共25頁故選：C7.直線(a2+1)x2ay+1=0的傾B.C.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意知,若a=0,則傾斜角為,②當(dāng)a<0時，=1(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，取“=”)，綜上故選：C.8.在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)φ(n)*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只【答案】A【解析】第10頁/共25頁【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)定義得出φ(3n)，然后由錯位相減法求得和Sn，從而可得S10.0222n2nnn故選：A.二、選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.A.ab的最大值為B.a+b的最小值為1C.a22的最小值為D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式可判斷A選項；求出b的取值范圍，可得出a+b的取值范圍，可判斷B選項；利用二次函數(shù)的最值可判斷C選項；求得將+與b)相乘，展開后利用基本不等式可判斷D選項.第11頁/共25頁22當(dāng)且僅當(dāng)b=時，等號成立，故a2+b2的最小值為，C對；abababab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立，故的最小值為，D對.故選：ACD. B.f(x)的值域是[-1,1]C.f(x)的圖象關(guān)于點對稱D.為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項，根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式對f(x)化簡，根據(jù)x的區(qū)間求出2x-的區(qū)間，據(jù)此即可判斷單調(diào)性，對于B選項，根據(jù)f(x)表達式即可判斷最大值和最小值，據(jù)此即可求出值域，對于C選項，根據(jù)據(jù)此即可判斷C選項，對于D選項，根據(jù)偶函數(shù)定義判斷即可.【詳解】由已知=sinxcosx-sin2x-cos2x=sin第12頁/共25頁則f(x)不單調(diào)，故A選項不正確；.對B，因為f(x)max=1，f(x)min=-1，則f(x)的值域是[-1,1]，故B選項正確；對C，因為f則f(x)的圖象關(guān)于點對稱，故C選項正確；對=sin=sin=-cos2x為偶函數(shù)，故D選項正確.故選：BCD.則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)B1PⅡ平面A1BD時，B1P不可能垂直CD1B.若B1P與平面CC1D1D所成角為，則點P的軌跡長度為D.當(dāng)λ=1時，正方體經(jīng)過點A1、P、C的截面面積的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可判斷AD，根據(jù)線面角的幾何法可判斷P的軌跡是 4以C1為圓心，以1為半徑的理即可求解C.4個圓，即可判斷B，根據(jù)展開圖，轉(zhuǎn)化為平面中兩點距離最小，結(jié)合余弦定【詳解】A選項：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(λ,1,μ-1)，第13頁/共25頁則設(shè)平面A1BD的法向量為=(x,y,z)，B選項：因為B1C1丄平面CC1D1D，連接C1P，則上B1PC1即為B1P與平面CC1D1D所成角，即點P的軌跡是以C1為圓心，以1為半徑的個圓，于是點P的軌跡長度為，故B正確；C選項：當(dāng)λ=μ時，此時點P在線段CD1上運動，如圖，將平面CD1D與平面BCD1A1沿CD1展成平面圖形，線段A1D即為的最小值，利用余弦定理可知A1D2D-2A1D1.DD1.cos第14頁/共25頁D選項：當(dāng)λ=1時，1→1,故點P在線段DD1上運動,正方體經(jīng)過點A1、P、C的截面為平行四邊形A1PCH，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，所以點P到直線A1C的距離為于是當(dāng)時，△PA1C的面積取最小值，此時截面面積為故選：BD【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點線面關(guān)系的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.第15頁/共25頁三、填空題：本大題共3小題，每小題5分；共15分.·12.設(shè)事件A,B相互獨立=.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)獨立事件結(jié)合概率運算的性質(zhì)，直接計算即可.【詳解】由題知，因為P(B)=所以=1-P可得P(A)-P(AB)=故答案為：13.已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為60π,則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積【答案】36π【解析】【分析】作軸截面圖如圖，由勾股定理和等面積法求出內(nèi)切球半徑R，再由球的體積公式即可得出答案.【詳解】作軸截面圖如圖，設(shè)截面的圓心為O，-AC2設(shè)內(nèi)切球半徑為R，由等面積法，S△PAB=S△OPA+S△OPB+S△OBA,所以AB.PC=所以內(nèi)切球體積πR3=36第16頁/共25頁故答案為：36π.14.已知雙曲線分別是雙曲線的左、右焦點，M是雙曲線右支上一點，連接MF1交雙曲線C左支于點N，若△MNF2是以F2為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】 【分析】根據(jù)雙曲線的定義、余弦定理列方程，求得c=3a，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)MF2=m，因為△MNF2是以F2為直角頂點的等腰直角三角形， =m-2a，又MN=MF1-NF1，在△MF1F2中，由余弦定理知，F(xiàn)1F22=MF12+MF22-2MF1.MF2cos上F1MF2，即4c22故答案為：第17頁/共25頁【點睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問題，可以利用直接法來進行求解，也即通過已知條件求得a和c，從而求得雙曲線的離心率.也可以利用構(gòu)造齊次式的方法來進行求解，也即通過已知條件求得a2,c2或a2,b2的等量關(guān)系式，由此來求得離心率.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)?出文字說明、證明過程或演算步驟.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；*，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列{cn}：*【解析】【分析】（1）根據(jù)Sn,an的關(guān)系即可得遞推關(guān)系進而可求解，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可求解.【小問1詳解】n得2an=nan+1-an，所以n*第18頁/共25頁【小問2詳解】所以數(shù)列{bn}的偶數(shù)項構(gòu)成以b2=2為首項、2為公比的等比數(shù)列.2n)，所以數(shù)列{cn}的前2n項和為2n+1+n2-2.（1）求B和b的值；（2）求AC邊上高的最大值. 【解析】【分析】（1）把給定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出ac的最大值，借助面積三角形求出AC邊上高的最大值作答.【小問1詳解】由tanB+tanC=，得，即sinBc 第19頁/共25頁【小問2詳解】22-2accosB，得16=a2+c2-2accos于是當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，令△ABC的邊AC上的高為h，所以AC邊上高的最大值是2·+2.（1）求CC1的長；（2）求二面角M-AB-C的余弦值.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求出平面MAB和平面CAB的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量夾角與二面角的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】所示，第20頁/共25頁所以【小問2詳解】設(shè)平面ABM的法向量為=(x,y,z)，則由題意知，CC1所以平面ABC的法向量為設(shè)二面角M-AB-C所成的角為θ,則 故所求二面角M-AB-C的余弦值為.第21頁/共25頁跡為M.（1）求M的方程；（2）直線x+y-3=0交M于A，B兩點，C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD丄AB，求四邊形ACBD面積的最大值. 【解析】【分析】（1）由橢圓的定義得到軌跡方程；得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)根的判別式和位置關(guān)系得到-<n<，表達出 【小問1詳解】F2橢圓定義，軌跡C是以點F1-，F(xiàn)23,橢圓定義