專題07 平面向量（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）【高考數(shù)學(xué)】備戰(zhàn)2025年高考易錯(cuò)題（新高考專用）含解析

【高考數(shù)學(xué)】備戰(zhàn)2025年高考易錯(cuò)題（新高考專用）含解析專題07平面向量易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線性運(yùn)算）1．向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，共線向量定理向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.共線向量定理的主要應(yīng)用：(1)證明向量共線：對于非零向量，，若存在實(shí)數(shù)，使，則與共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談．(6)非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小易錯(cuò)提醒：（1）向量表達(dá)式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，.例．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（

）

A． B．C． D．變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段B．若，則可知C．若Q為的重心，則D．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．

(1)試用向量來表示;(2)AM交DN于O點(diǎn)，求的值．變式3：如圖所示，在矩形中，，，設(shè)，，，求.

1．已知、為不共線的向量，，，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則等于（

）

A． B．C． D．3．在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形4．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋5．如果是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）①可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對有無窮多個(gè)；③若向量與共線，則④若實(shí)數(shù)λ、μ使得，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②6．給出下列各式：①，②，③，④，對這些式子進(jìn)行化簡，則其化簡結(jié)果為的式子的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則8．設(shè)與是兩個(gè)不共線的向量，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為（

）A．－ B．－ C．－ D．－9．在中，已知，P是AB的垂直平分線l上的任一點(diǎn)，則（

）A．6 B． C．12 D．10．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作l的垂線，垂足為H，若，則（

）A． B．C． D．11．下列各式中結(jié)果為零向量的為（

）A． B．C． D．易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）1．平面向量基本定理和性質(zhì)（1）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．（5）中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB2．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．3．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，，．，向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為（），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3．三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線．4．利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．易錯(cuò)提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等。例．已知向量=（2，1），，則（

）A．若，則 B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．變式1．下列說法中錯(cuò)誤的為（

）A．已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量和，滿足，則與的夾角為變式2．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若，且與共線，則B．若，且，則與不共線C．若A，B，C三點(diǎn)共線．則向量都是共線向量D．若向量，且，則變式3．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實(shí)數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對以上實(shí)數(shù)m，n，使1．在梯形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2．已知點(diǎn)，，向量，∥，則（

）A．時(shí)與方向相同B．時(shí)，與方向相同C．時(shí)與方向相反D．時(shí)，與方向相反3．已知點(diǎn)向量則（）A．時(shí)與方向相同B．時(shí)與方向相同C．時(shí)與方向相反D．時(shí)與方向相反4．如果是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中正確的是（

）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對有無窮個(gè)C．若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)使得，則5．已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)的直線與E交于另一點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)P，則（

）A． B．C．△的內(nèi)切圓半徑為 D．7．設(shè)，非零向量，，則（

）.A．若，則 B．若，則C．存在，使 D．若，則8．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．如圖，在中，是的三等分點(diǎn)，則（

）A．B．若，則在上的投影向量為C．若，則D．若10．已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則11．已知空間向量=（1，－1，2），則下列說法正確的是（

）A．B．向量與向量=（2，2，－4）共線C．向量關(guān)于x軸對稱的向量為（1，1，－2）D．向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為（－1，1，－2）易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）1．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：①；②；③．3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．④．⑤．4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式．（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．2．平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：（1）求夾角的大?。喝?，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：（1）向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解．（2）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．（4）解三角形．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．5．用向量法解決實(shí)際問題的步驟如下：第一步：抽象出實(shí)際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問題．6．常見的向量表示形式：（1）重心．若點(diǎn)G是的重心，則或（其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）．反之，若，則點(diǎn)G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點(diǎn)H是的垂心．（3）內(nèi)心．若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點(diǎn)I是的內(nèi)心．（4）外心．若點(diǎn)O是的外心，則或．反之，若，則點(diǎn)是的外心．題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：（1）求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解．（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．（3）由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用．易錯(cuò)提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有．當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng)．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且.例．下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．單位向量都相等B．向量與是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上C．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D．已知向量，若與的夾角為銳角，則變式1．給出下列命題,其中正確的有（

）A．已知向量,則B．若向量共線,則向量所在直線平行或重合C．已知向量,則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．為空間四點(diǎn),若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則共面變式2．設(shè)均為單位向量，對任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為變式3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上，延長交拋物線于點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A．B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．D．在軸上存在點(diǎn)，使得為鈍角1．如圖，在三棱柱中，M，N分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則（

）

A． B．C． D．2．設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．3．（多選）下列各命題中，正確的命題為（

）A． B．C． D．4．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則、、、四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為5．設(shè)向量，，則下列敘述錯(cuò)誤的是(

)A．若時(shí)，則與的夾角為鈍角 B．的最小值為C．與共線的單位向量只有一個(gè)為 D．若，則或6．設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（

）A．與的夾角為鈍角B．向量在方向上的投影為C．D．的最大值為28．已知所在平面內(nèi)有三點(diǎn)O，N，P，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)O是的外心B．若，則點(diǎn)N是的重心C．若，則點(diǎn)P是的垂心D．若，且，則為直角三角形9．如圖，在平行六面體中，與交于點(diǎn)，且，，.則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．10．(多選)下列說法中正確的是（

）A．若非零向量滿足，則與的夾角為30°B．若，則的夾角為銳角C．若，則ABC一定是直角三角形D．ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若=2，且||=||，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為11．下列說法中正確的是（

）A．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的垂心B．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的外心C．在四邊形中，若，則四邊形為菱形D．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的內(nèi)心

專題07平面向量易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線性運(yùn)算）1．向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，共線向量定理向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.共線向量定理的主要應(yīng)用：(1)證明向量共線：對于非零向量，，若存在實(shí)數(shù)，使，則與共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談．(6)非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小易錯(cuò)提醒：（1）向量表達(dá)式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，.例．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（

）

A． B．C． D．【詳解】對于A，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則，故A正確；對于B，在平行四邊形中，，則，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，在平行四邊形中，，，故D正確.故選：ACD.變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段B．若，則可知C．若Q為的重心，則D．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面【詳解】在平行四邊形ABDC中，滿足，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與CD不為同一線段，A不正確.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，B正確.若Q為的重心，則，所以，所以，即，C正確.在三棱柱中，令，，，滿足與，與，與都是共面向量，但，，不共面，D不正確.故選：BC.變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．

(1)試用向量來表示;(2)AM交DN于O點(diǎn)，求的值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以；?）設(shè)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使，由于向量不共線，則，，解得，所以.變式3：如圖所示，在矩形中，，，設(shè)，，，求.

【詳解】解：在矩形中，，，則，因?yàn)?，，，則，因此，.1．已知、為不共線的向量，，，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.【詳解】因?yàn)?、為不共線的向量，所以、可以作為一組基底，對于A：，，若存在實(shí)數(shù)使得，則，所以，方程組無解，所以與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椋?，所以，同理可以說明不存在實(shí)數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，，所以，又，所以，故、、三點(diǎn)共線，即C正確；對于D：，，同理可以說明不存在實(shí)數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即D錯(cuò)誤；故選：C2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則等于（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：，，，，故選：C3．在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形【答案】A【分析】由推出，再根據(jù)向量相等的定義得且，從而可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，故且，故四邊形一定是平行四邊形，不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.故選：A.4．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.【詳解】分別為的邊上的中線,則,,由于，，所以,故解得故選：B5．如果是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）①可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對有無窮多個(gè)；③若向量與共線，則④若實(shí)數(shù)λ、μ使得，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②【答案】B【分析】由平面向量基本定理判斷①④②，由共線向量定理判斷③.【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的，故錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時(shí)不一定成立，應(yīng)為λ1μ2－λ2μ1＝0，故錯(cuò)誤.故選：B.6．給出下列各式：①，②，③，④，對這些式子進(jìn)行化簡，則其化簡結(jié)果為的式子的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對于①，，對于②，，對于③，，對于④，，所以其化簡結(jié)果為的式子的個(gè)數(shù)是4，故選：A7．已知平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.【詳解】A：若為非零向量，為零向量時(shí)，有但不成立，錯(cuò)誤；B：時(shí)，，不一定相等，錯(cuò)誤；C：若為零向量時(shí)，，不一定有，錯(cuò)誤；D：說明，同向或至少有一個(gè)零向量，故，正確.故選：D.8．設(shè)與是兩個(gè)不共線的向量，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為（

）A．－ B．－ C．－ D．－【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，若A，B，D三點(diǎn)共線，所有必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得，即，可得，解得.故選：B.9．在中，已知，P是AB的垂直平分線l上的任一點(diǎn)，則（

）A．6 B． C．12 D．【答案】B【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合為線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則有，再將都用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，則，因?yàn)闉榫€段垂直平分線上的任意一點(diǎn)，所以，則.

故選：.10．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作l的垂線，垂足為H，若，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，∵，由與△相似得：，∵，∴，即，故A錯(cuò)誤；由拋物線定義得，∴，即，，故BC正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．11．下列各式中結(jié)果為零向量的為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A不符合題意；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B符合題意；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C符合題意；因?yàn)?，所以選項(xiàng)D不符合題意，故選：BC易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）1．平面向量基本定理和性質(zhì)（1）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．（5）中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB2．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．3．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，，．，向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為（），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3．三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線．4．利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．易錯(cuò)提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等。例．已知向量=（2，1），，則（

）A．若，則 B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，所以，A正確；對于B選項(xiàng)，設(shè)向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，所以與不共線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.變式1．下列說法中錯(cuò)誤的為（

）A．已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量和，滿足，則與的夾角為【詳解】對于A，，，且與的夾角為銳角，，且（時(shí)，與的夾角為），所以且，故A錯(cuò)誤；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對于C，向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?，，又，則，，故，而向量的夾角范圍為，所以和的夾角為，故D正確．故選：AC．變式2．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若，且與共線，則B．若，且，則與不共線C．若A，B，C三點(diǎn)共線．則向量都是共線向量D．若向量，且，則【詳解】對選項(xiàng)A，或時(shí)，比例式無意義，故錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，若，與共線，則一定有，故正確；對選項(xiàng)C，若A，B，C三點(diǎn)共線，則在一條直線上，則都是共線向量，故正確；對選項(xiàng)D，若向量，且，則，即，故正確；故選：BCD變式3．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實(shí)數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對以上實(shí)數(shù)m，n，使【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對于D，m，n是唯一的，故D錯(cuò)誤.故選:AB.1．在梯形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】由題意可得，，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：ABD．2．已知點(diǎn)，，向量，∥，則（

）A．時(shí)與方向相同B．時(shí)，與方向相同C．時(shí)與方向相反D．時(shí)，與方向相反【答案】BD【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出，再回代驗(yàn)證方向相同或相反.【詳解】，，可得，又，，可得，解得，當(dāng)時(shí)，與方向相反，當(dāng)時(shí)，與方向相同.故選：BD3．已知點(diǎn)向量則（）A．時(shí)與方向相同B．時(shí)與方向相同C．時(shí)與方向相反D．時(shí)與方向相反【答案】BD【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】可得又可得解得當(dāng)時(shí)，，則，所以與方向相反，當(dāng)時(shí)，，，則，與方向相同.故選:BD.4．如果是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中正確的是（

）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對有無窮個(gè)C．若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)使得，則【答案】AD【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯(cuò)誤；通過反例可說明C錯(cuò)誤.【詳解】是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，可以作為平面的一組基底；對于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面內(nèi)的所有向量，A正確；對于B，對于平面內(nèi)任意向量，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)對，使得，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，與均為零向量，滿足兩向量共線，此時(shí)使得成立的有無數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤；對于D，由得：，又不共線，，即，D正確.故選：AD.5．已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對角線，設(shè)，則由中點(diǎn)也是中點(diǎn)，利用線段的中點(diǎn)公式求得．同理可求得，構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，和以為對角線的平行四邊形，對應(yīng)的的坐標(biāo)．【詳解】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對角線，設(shè)，則由中點(diǎn)也是中點(diǎn)，可得，解得，所以；同理可得，若構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，則；以為對角線的平行四邊形，則；所以第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為可以為：或或．故選：ABC．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)的直線與E交于另一點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)P，則（

）A． B．C．△的內(nèi)切圓半徑為 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點(diǎn)及下頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出圖形，再逐項(xiàng)分析計(jì)算、判斷作答.【詳解】依題意，橢圓的焦點(diǎn)，下頂點(diǎn)，如圖，對于A，，因此，A正確；對于B，直線，由消去y得：，則點(diǎn)，于是，B正確；對于C，的周長為，令其內(nèi)切圓半徑為，，因此，解得，C錯(cuò)誤；對于D，，設(shè)點(diǎn)，則，而，即有，因此，D正確.故選：ABD7．設(shè)，非零向量，，則（

）.A．若，則 B．若，則C．存在，使 D．若，則【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證即可；B選項(xiàng)，驗(yàn)證；C選項(xiàng)，由題可得，，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由題可得，據(jù)此可判斷選項(xiàng)【詳解】A選項(xiàng)，，則，故A正確；B選項(xiàng)，，則，故，故B正確；C選項(xiàng)，假設(shè)存在，使，則，，則可得，故可得，則假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因，則，又由題可得，則，故D正確.故選：ABD8．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷C，D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，所以，A正確；對于B，因?yàn)?，所以，所以，B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以，C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，所以或，D錯(cuò)誤；故選：AB.9．如圖，在中，是的三等分點(diǎn)，則（

）A．B．若，則在上的投影向量為C．若，則D．若【答案】AD【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，由題意得為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠點(diǎn)更近），所以在上的投影向量為，故B不正確；對于C，，，故，又，所以，故，故C錯(cuò)誤；對于D，，而，代入得，故選項(xiàng)D正確，故選：AD10．已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則【答案】AD【分析】由向量平行和垂直的坐標(biāo)表示可得AB正誤；利用向量模長運(yùn)算可知，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，知C錯(cuò)誤；利用向量夾角為鈍角，則數(shù)量積必定小于0，可判斷D.【詳解】對于A，若，則，解得：，A正確；對于B，若，則，解得：，B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；對于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時(shí)兩向量不共線，D正確.故選：AD.11．已知空間向量=（1，－1，2），則下列說法正確的是（

）A．B．向量與向量=（2，2，－4）共線C．向量關(guān)于x軸對稱的向量為（1，1，－2）D．向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為（－1，1，－2）【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量的模、共線、對稱等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，A選項(xiàng)正確.，所以不共線，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.向量關(guān)于x軸對稱的向量，不變，和變?yōu)橄喾磾?shù)，即向量關(guān)于x軸對稱的向量為，C選項(xiàng)正確.向量關(guān)于yOz平面對稱的向量，和不變，變?yōu)橄喾磾?shù)，即向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）1．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：①；②；③．3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．④．⑤．4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式．（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．2．平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：（1）求夾角的大?。喝?，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：（1）向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解．（2）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．（4）解三角形．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．5．用向量法解決實(shí)際問題的步驟如下：第一步：抽象出實(shí)際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問題．6．常見的向量表示形式：（1）重心．若點(diǎn)G是的重心，則或（其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）．反之，若，則點(diǎn)G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點(diǎn)H是的垂心．（3）內(nèi)心．若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點(diǎn)I是的內(nèi)心．（4）外心．若點(diǎn)O是的外心，則或．反之，若，則點(diǎn)是的外心．題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：（1）求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解．（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．（3）由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用．易錯(cuò)提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有．當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng)．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且.例．下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．單位向量都相等B．向量與是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上C．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D．已知向量，若與的夾角為銳角，則【詳解】解：對于A選項(xiàng)，單位向量方向不同，則不相等，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，向量與是共線向量，也可能是，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向，故C正確；對于D選項(xiàng)，向量，若與的夾角為銳角，則且與不共線，故，解得且，故D錯(cuò)誤；故選：ABD變式1．給出下列命題,其中正確的有（

）A．已知向量,則B．若向量共線,則向量所在直線平行或重合C．已知向量,則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．為空間四點(diǎn),若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則共面【詳解】對于選項(xiàng)A,若,則,故,故選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B,根據(jù)向量共線的定義可得其成立,故選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),若與不共面,根據(jù)空間向量基本定理可知,可構(gòu)成空間的一個(gè)基底,故選項(xiàng)C不正確;對于選項(xiàng)D,若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則不共面,故A,B,M,N不共面,故選項(xiàng)D不正確.故選:AB變式2．設(shè)均為單位向量，對任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為【詳解】對：設(shè)的夾角為，，兩邊平方可得：，即對任意的恒成立，故可得：，即，則，又，故，故錯(cuò)誤；對：，故正確；對：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，故錯(cuò)誤；對：，對，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故的最小值為，故正確.故選：.變式3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上，延長交拋物線于點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A．B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．D．在軸上存在點(diǎn)，使得為鈍角【詳解】由拋物線方程知：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為；對于A，在拋物線上，，，A錯(cuò)誤；對于B，，直線，由得：或，又，，B正確；對于C，，，，，C正確；對于D，設(shè)，則，，，不能為鈍角，D錯(cuò)誤.故選：BC.1．如圖，在三棱柱中，M，N分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的加減法則，以為基底可得，可得A錯(cuò)誤；由計(jì)算可得，可知B正確；分別表示出可得不為零，可得C錯(cuò)誤；利用C中結(jié)論，分別求出，即可得，即D正確.【詳解】對于A，根據(jù)題意可得，又，，所以可得，即，可知A錯(cuò)誤；對于B，由（1）知，所以，所以，即可知B正確；對于C，易知，此時(shí)，所以與不垂直，即C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)C可得，且，即；，即；所以可得，即D正確.故選：BD2．設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義與數(shù)量積的運(yùn)算律逐一判斷即可.【詳解】由是任意的非零向量，對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，表示與共線的向量，表示與共線的向量，而不一定共線，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)榉橇阆蛄?，若，則，故C正確；對于D，，故D正確.故選：AB.3．（多選）下列各命題中，正確的命題為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)乘的運(yùn)算律，結(jié)合共線定理，可得答案.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，根據(jù)向量數(shù)乘滿足交換律和結(jié)合律，可得B正確；對于C，根據(jù)數(shù)量積滿足交換律，可得C正確；對于D，當(dāng)，則向量與共線，當(dāng)時(shí)，則向量與共線，而向量不一定共線，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.4．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則、、、四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為【答案】BCD【分析】利用線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共面的基本定理可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量基底的概念可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，直線的方向向量為，平面的法向量為，則，則，所以，或，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，對空間中任意一點(diǎn)，有，則，整理可得，故、、、四點(diǎn)共面，B對；對于C選項(xiàng)，三個(gè)不共面的向量可以成為空間的一個(gè)基底，兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，C對；對于D選項(xiàng)，已知向量，，則在方向上的投影向量為，D對.故選：BCD.5．設(shè)向量，，則下列敘述錯(cuò)誤的是(

)A．若時(shí)，則與的夾角為鈍角 B．的最小值為C．與共線的單位向量只有一個(gè)為 D．若，則或【答案】CD【分析】利用向量的運(yùn)算的坐標(biāo)表示，判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對于A，時(shí)，且不等于-1，所以與的夾角為鈍角，故A正確；對于B，，當(dāng)時(shí)不等式取等號，所以的最小值為2，所以B正確；對于C，與共線的單位向量為，即或，所以C不正確；對于D，若，可得，解得或，所以D不正確；故選：CD．6．設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求得直線AB的方程，代入拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解可判斷CD；利用數(shù)量積的定義計(jì)算可判斷B；由拋物線的定義求解可判斷A．【詳解】拋物線C的焦點(diǎn)為，所以直線AB的方程為，將代入，整理得，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，故D錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故B正確；由拋物線的定義可得，故A正確.故選：AB．7．已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（

）A．與的夾角為鈍角B．向量在方向上的投影為C．D．的最大值為2【答案】CD【分析】通過求出，向量在方向上的投影，利用平行關(guān)系結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，均為正數(shù)，，A項(xiàng)，∵，∴與的夾角不為鈍角，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，∵，∴向量在方向上的投影為，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，∵，，∴，即，C正確；D項(xiàng)，∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴的最大值為2，D正確；故選：CD.8．已知所在平面內(nèi)有三點(diǎn)O，N，P，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)O是的外心B．若，則點(diǎn)N是的重心C．若，則點(diǎn)P是的垂心D．若，且，則為直角三角形【答案】ABC【分析】根據(jù)三角形外心、重心和垂心的定義逐一用向量即可判斷A，B，C；用向量的數(shù)量積和運(yùn)算律即可判斷D．【詳解】對于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)O到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為的外心，故A正確；對于B，如圖所示，D為BC的中點(diǎn)，由，得，所以，所以N是的重心，故B正確；

對于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以點(diǎn)P是的垂心，故C正確；對于D，由，得角A的平分線垂直于BC，所以，由，得，所以，所以為等邊三角形，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．9．如圖，在平行六面體中，與交于點(diǎn)，且，，.則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.【詳解】如圖，由題意得，，，，，對于選項(xiàng)A，所以，即.故選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B，故選項(xiàng)B正確.對于選項(xiàng)C，所以即故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)D，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB10．(多選)下列說法中正確的是（

）A．若非零向量滿足，則與的夾角為30°B．若，則的夾角為銳角C．若，則ABC一定是直角三角形D．ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若=2，且||=||，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為【答案】ACD【分析】對于A，由向量減法法則和向量能組成一個(gè)等邊三角形判斷；，對于B，由是判斷；對于C，由，化簡得到=0判斷；對于D，由=2，得到AOC為等邊三角形，再利用投影的定義判斷.【詳解】對于A，由向量減法法則及題意知，向量可以組成一個(gè)等邊三角形，向量的夾角為60°，又由向量加法的平行四邊形法則知，以為鄰邊的平行四邊形為菱形，所以與的夾角為30°，故正確.對于B，當(dāng)時(shí)不成立，故錯(cuò)誤.對于C，因?yàn)椋浴?)-，所以=0，即，所以ABC是直角三角形，故正確.對于D，如圖，，其中四邊形ABDC為平行四邊形，因?yàn)?2，所以O(shè)為AD，BC的交點(diǎn)，又||=||=||，所以AOC為等邊三角形，所以∠ACB=60°，且BC為外接圓的直徑，所以∠ABC=30°.在直角三角形ABC中，BC=2，AC=1，所以AB=，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為||cos∠ABC=，故正確.故選：ACD.11．下列說法中正確的是（

）A．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的垂心B．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的外心C．在四邊形中，若，則四邊形為菱形D．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的內(nèi)心【答案】ABC【分析】根據(jù)題意得到，得出為垂心，判定A正確；化簡得到，得到，得出為三角形的外心，判定B正確；由，得到為平行四邊形，結(jié)合，得到對角線垂直，可判定C正確；設(shè)中點(diǎn)為，得到，得出為的重心，判定D不正確.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以是三條高線的交點(diǎn)，為垂心，所以A正確；若，即，即，所以，即，所以為三角形的外心，所以B正確；若四邊形中，，即，則四邊形為平行四邊形，又由，所以，則平行四邊形的對角線垂直，所以四邊形為菱形，所以C正確；如圖所示，因?yàn)?，又由是以為鄰邊的平行四邊形對角線且過中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，即，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，則為的重心，所以D不正確.故選：ABC.

專題08數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問題）1、等差數(shù)列的定義（1）文字語言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；（2）符號語言：(，為常數(shù))．2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．3、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：．（2）前項(xiàng)和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項(xiàng)和：當(dāng)公差時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，；（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，.最值問題：解決此類問題有兩種思路：一是利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當(dāng)，且時(shí)，無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，其最大值是所有非負(fù)項(xiàng)的和；當(dāng)，且時(shí)，無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值，其最小值是所有非正項(xiàng)的和，求解非負(fù)項(xiàng)是哪一項(xiàng)時(shí)，只要令即可易錯(cuò)提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時(shí)有時(shí)可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問題，要注意的取值不是連續(xù)實(shí)數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯(cuò).例．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，求取得最大值時(shí)對應(yīng)的n值.變式1．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)從第幾項(xiàng)開始有？(2)求此數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．變式2．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值．變式3．等差數(shù)列，，公差．(1)求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式；(2)當(dāng)取何值時(shí)，前項(xiàng)和最大，最大值是多少．1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和，有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．212．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則取得最小值時(shí)n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知數(shù)列中，若其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．4．若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．40435．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．設(shè)的前項(xiàng)和為，則時(shí)，的最大值為277．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則下列說法正確的是（

）A．是為等差數(shù)列的充要條件B．可能為等比數(shù)列C．若，，則為遞增數(shù)列D．若，則中，，最大8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值9．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值10．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為．11．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝．易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項(xiàng)求其它）1、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，其中.注意：同號的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。3、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；通項(xiàng)公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和．（等比中項(xiàng)）1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有口訣：角標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。易錯(cuò)提醒：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項(xiàng)。只有同號的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，“”僅是“為和的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。例．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20變式1．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則(

)A． B． C． D．變式2．已知，如果，，，，成等比數(shù)列，那么（

）A．， B．，C．， D．，變式3．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差不為0，若滿足、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在2．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．803．已知，，則使得成等比數(shù)列的充要條件的值為（

）A．1 B． C．5 D．4．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．5．正項(xiàng)等比數(shù)列中，是與的等差中項(xiàng)，若，則（

）A．4 B．8 C．32 D．646．已知實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為（

）A． B． C．或 D．或77．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項(xiàng)，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要8．在數(shù)列中，，，則（

）．A． B．C． D．9．已知是等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則A．， B．， C．， D．，10．?dāng)?shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．398 B．388C．189 D．199易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略等比數(shù)列求和時(shí)對的討論（等比數(shù)列求和）等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時(shí)，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對，有；（3）若等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，令，則（為常數(shù)，且）易錯(cuò)提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..例．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，，則.變式1．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．變式2．在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式3．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列前項(xiàng)和．1．已知為等比數(shù)列，其公比，前7項(xiàng)的和為1016，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．162．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．3．已知，，（，），為其前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為4 B．的前20項(xiàng)和為170C．的前10項(xiàng)積為 D．的前n項(xiàng)和為5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為.6．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且－3，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)．7．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則．9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則．10．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則滿足的最小的自然數(shù)n的值為．11．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則公比．易錯(cuò)點(diǎn)四：由求時(shí)忽略對“”的檢驗(yàn)（求通項(xiàng)公式）類型1觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．類型2公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．類型3累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．類型4累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類型5構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．類型6對數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類型7倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．類型8形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式易錯(cuò)提醒：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和之間關(guān)系如下，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時(shí)，先令求出首項(xiàng)，然后令求出通項(xiàng)，最后代入驗(yàn)證。解答此類題常見錯(cuò)誤為直接令求出通項(xiàng)，也不對進(jìn)行檢驗(yàn).例．已知數(shù)列和，其中的前項(xiàng)和為，且，.(1)分別求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求證：.變式1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，k為常數(shù).(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：變式2．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：對一切正整數(shù)，.變式3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若為等比數(shù)列，求的值.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且與的等差中項(xiàng)為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，當(dāng)時(shí)，是4的常數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.5．在數(shù)列中，，是的前n項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．已知首項(xiàng)為4的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．9．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求時(shí)，n的最小值．10．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（且）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．易錯(cuò)點(diǎn)五：裂項(xiàng)求和留項(xiàng)出錯(cuò)（數(shù)列求和）常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易錯(cuò)提醒：用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，一般來說前面剩余幾項(xiàng)后面也剩余幾項(xiàng)，若前面剩余的正數(shù)項(xiàng)，則后面剩余的是負(fù)數(shù)項(xiàng)。例．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公