專題08 角平分線的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學年湘教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題08角平分線的判定和性質(zhì)姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023秋·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期末）如圖，，E是的中點，平分，連接．則下列結(jié)論：①點E到直線的距離等于的長；②平分；③；④．正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路點撥】先證明，作垂足為點F，得出，即可判定①正確；證明，再證明，即可判定②正確；根據(jù)，判定③錯誤；根據(jù)，得出，判定④正確．【規(guī)范解答】解：∵，∴，∴；如圖，作垂足為點F，∴，∴，∵平分，點E到的距離等于的長，①正確；∴，又∵，∴，∴，，，∵E是的中點，∴,又∵，，∴；∴，，，∴平分，②正確；∵，∴，，③錯誤；∵，∴，∴，④正確；正確的個數(shù)為3，故選：C．【考點評析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識點，關(guān)鍵是掌握全等三角形全等的判定定理．2．(本題2分)（2023秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，角平分線，相交于點，若，，則（

）．A．4 B．6 C．12 D．24【答案】B【思路點撥】過點作，，，垂足分別為，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”可得，，易得，即可推導為的平分線，結(jié)合，可知，再根據(jù)“直角三角形中30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得，然后由即可獲得答案．【規(guī)范解答】解：如下圖，過點作，，，垂足分別為，∵，分別為，的平分線，∴，，∴，∴為的平分線，又∵，∴，∵，，∴，∴．故選：B．【考點評析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的判定定理、直角三角形中30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，理解并掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．(本題2分)（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┈F(xiàn)有一直角三角形紙片，先將共一個侻角折疊（如圖1），?點落在斜邊上的處，折痕與邊交于點．再將另一銳角折疘（如圖2），使也落在斜邊上，折痕與交于點，量得，則點到的距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【思路點撥】過P作與M，根據(jù)將其一個銳角∠ABC折疊，使點A落在斜邊BC上的處，可得，根據(jù)將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，可得是的平分線，即可得，而已知，故，即點P到的距離為2．【規(guī)范解答】過P作與M，如圖：∵將其一個銳角折疊，使點A落在斜邊上的處，，，∵將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，∴，即是的平分線，∵，∴，∵，∴，∴，即點P到的距離為2，故選：C．【考點評析】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．4．(本題2分)（2023秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，連接，交于點，連接．甲、乙、丙三人的說法如下，下列判斷正確的是（

）甲：；乙：；丙：平分A．乙錯，丙對 B．甲和乙都對 C．甲對，丙錯 D．甲錯，丙對【答案】A【思路點撥】根據(jù)已知條件可知三角形的全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知邊相等，對應的高相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出角的大?。疽?guī)范解答】解：∵，∴，∴，∴在和中∴∴，∴，故甲正確；∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，故乙錯誤；如圖所示：過點作，，∵∴，∴平分，故丙正確；故選【考點評析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的判定等相關(guān)知識點，熟記對應性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┰趦?nèi)找一點P，使P到A、C兩點的距離相等，并且P到的距離等于P到的距離．下列尺規(guī)作圖正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】P到A、C兩點的距離相等，得到在線段的垂直平分線上，P到的距離等于P到的距離，得到在的角平分線上，作出線段的垂直平分線和的角平分線，交點即為點．【規(guī)范解答】解：∵P到A、C兩點的距離相等，∴在線段的垂直平分線上，∵P到的距離等于P到的距離，∴在的角平分線上，如圖：作出線段的垂直平分線和的角平分線，交點即為點；故選D．【考點評析】本題考查角平分線和中垂線的作圖．熟練掌握到線段兩端點相等的點在線段的中垂線上，到角兩邊距離相等的點在角平分線上，是解題的關(guān)鍵．6．(本題2分)（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，內(nèi)角與外角的平分線相交于點P，，D在延長線上，交于F，交于G，連接．下列結(jié)論：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正確的有（）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【答案】D【思路點撥】①利用角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求出結(jié)論；③根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得結(jié)果；④根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)果；⑤由④的結(jié)論得，根據(jù)平分與平行條件可得，則可得出．【規(guī)范解答】解：，故①正確；∵平分，∴P到，的距離相等，∴，故②正確；∵，平分，∴垂直平分(三線合一)，故③正確；∵與的平分線相交于點P，∴點P到，的距離相等，點P到，的距離相等，∴點P到，的距離相等，∴點P也位于的平分線上，∴，又∵，∴，∴，即，故④正確；由④得：，∴，∵平分，，∴，∴，，故⑤正確；綜上可知，①②③④⑤正確．故選D．【考點評析】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，能夠綜合運用上述知識是解題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2020秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，和均是等邊三角形，、分別與、交于點M、N，且A、C、B在同一直線上，有如下結(jié)論：其中正確結(jié)論有（）①；②；③；④平分；⑤平分，A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②⑤【答案】D【思路點撥】①利用等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)可以證；②利用可以證可得結(jié)論；③在中，可得，易知；④過點C作于點Q，于點H，由①得，，則，得到，可證，則，但不一定等于，即可得到結(jié)論；⑤由④得到，且，，即可得到結(jié)論.【規(guī)范解答】解：①和均是等邊三角形，，，，在和中，，可得①正確；②由①知，，∵,∴，在和中，，，可得②正確；③由②得，在，，，可得③錯誤；④過點C作于點Q，于點H，由①得，，，∴，∵，∴，∴，∵不一定等于，∴④不正確，⑤由④得到，且，，平分，可得⑤正確；綜上可知，①②⑤正確，故選：D【考點評析】本題主要考查了等邊三角形及全等三角形的應用，角平分線的判定，等邊三角形的三條邊相等，三個角相等都是，靈活利用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8．(本題2分)（2022秋·湖北武漢·八年級武漢市第一初級中學?？计谀┤鐖D，等邊和等邊中，、、共線，且，連接和相交于點，以下結(jié)論中正確的有（

）個①②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【思路點撥】先證明，得，則，可判斷①正確；作于點，于點，由得因為，所以，則平分，可判斷②正確；因為，所以可得，可判斷③正確；在上截取，可證明，即，再證明是等邊三角形得，則，可判斷④正確．【規(guī)范解答】解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∵點、、在一條直線上，∴，故①正確；如圖，作于點，于點，∵，∴，∴，∵，∴，∴點在的平分線上，∴平分，故②正確；∵，∴，∴，∴，∴，故③正確；在上截取，連接，在和中，，∴（SAS），∴，∵，且平分，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，即：，故④正確，綜上所述：結(jié)論中正確的是①②③④，共4個．故選：A．【考點評析】此題重點考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式證明線段相等、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，任意畫一個的，再分別作的兩角的角平分線和，、相交于點P，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【思路點撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出即可判定①；如圖所示，過點P作于F，于G，于H，利用角平分線的性質(zhì)得到即可判斷②；證明，得到，，即可判斷④；再證明，得到，同理可證，推出即可判斷⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明③．【規(guī)范解答】解：∵在中，，∴，∵的兩條角平分線和交于，∴，，，故①正確；，如圖所示，過點P作于F，于G，于H，∴，∴，∴是的角平分線，故②正確；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，故④正確；在和中，，∴，∴，同理可證，∵，∴，∴，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法證明，故③錯誤，故選：C．【考點評析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和定理等等，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2022秋·浙江金華·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰三角形中，，，是底邊上的高，在的延長線上有一個動點，連接，作，交的延長線于點，的角平分線交邊于點，則在點運動的過程中，線段的最小值(

)A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【思路點撥】作于，作于，證明，推出，再證明，推出，得到當時有最小值，即有最小值，由，，求出．【規(guī)范解答】解：作于，作于，，，平分，即平分，，，，，，，，，)，，平分，，連接，，，，當時有最小值，即有最小值，此時，，，，故選：D．【考點評析】此題考查了全等三角形的判定即性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2022秋·江西新余·八年級統(tǒng)考期末）如圖，P是平分線上一點，，，在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結(jié)論：①是等邊三角形：②MN的值不變：③；④四邊形面積不變，其中正確結(jié)論有__________．【答案】①③④【思路點撥】過點分別作垂線，構(gòu)造全等三角形，可得線段之間的關(guān)系，然后一一判斷即可．【規(guī)范解答】解：如圖，作于點，于點平分，，是等邊三角形故①正確定值故④正確在中，故③正確、的位置變化的長度是變化的故②錯誤故答案為：①③④【考點評析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識點，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．12．(本題2分)（2023秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，的垂直平分線交的平分線于點D，過D作于點E，若，，則___________．【答案】3【思路點撥】連接、，作于，由角平分線的性質(zhì)得出．證明，得出，同理，得出，進而得出答案．【規(guī)范解答】解：連接、，作于，如圖所示：點在的垂直平分線上，，點在的平分線上，，，，在和中，，，，同理可證，，，，，

，；故答案為：3．【考點評析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形．13．(本題2分)（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級?？计谀┤鐖D，點為定角的平分線上的一個定點，且與互補，若在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與、相交于、兩點，則以下結(jié)論：①恒成立；②的周長不變；③的值不變；④四邊形的面積不變，其中正確的為______（請?zhí)顚懻_結(jié)論前面的序號）．【答案】①③④【思路點撥】作于，于．只要證明，，即可一一判斷．【規(guī)范解答】解：作于，于，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于，于，∴，在和中，，∴（HL），∴，在和中，，∴（ASA），∴，，故①正確，∴，∴定值，故④正確，∵，∴為定值，故③正確，在旋轉(zhuǎn)過程中，是頂角不變的等腰三角形，∵的長度是變化的，∴的長度是變化的，∴的周長是變化的，故②錯誤，故答案為：①③④．【考點評析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．14．(本題2分)（2021春·重慶南岸·八年級重慶市珊瑚初級中學校?？计谥校┤鐖D，中，在的延長線上，邊的垂直平分線與的角平分線交于點．與交于點，與相交于，于，已知，，，則的長為________．【答案】【思路點撥】連接，，作，垂足為．先證明，，得到，，，通過線段的代換求出，利用勾股定理即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，，作，垂足為，為的垂直平分線，，平分，，，，，又，，，，，，，，，，在中，故答案為：．．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線性質(zhì)、角平分線等知識，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．15．(本題2分)（2023秋·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖，與都為等邊三角形，連接與，延長交于點，連接．給出下面四個結(jié)論：①；②；③平分；④平分.其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①②④【思路點撥】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①，設(shè)交于點，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，即可判斷②，過點，分別作的垂線，垂足分別為，證明，根據(jù)角平分線的判定得出④正確，而判斷③的條件不夠，進而即可求解．【規(guī)范解答】解：∵與都為等邊三角形，∴，∴,即,∴，∴，故①正確；如圖，設(shè)交于點，∵，∴，∵∴，即，故②正確；如圖所示，過點，分別作的垂線，垂足分別為，∴，又，∴∴，又，∴平分，故④正確，若平分，則，根據(jù)已知條件不能得到，故③不正確，故答案為：①②④．【考點評析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．16．(本題2分)（2022秋·遼寧營口·八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，、的角平分線、交于點，延長、，于，于，則下列結(jié)論：①平分；②；③；④．其中正確結(jié)論序號是_____．【答案】①②③④【思路點撥】過點作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定可判斷①，通過證明和可得，，即可判斷②，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可判斷③，通過全等三角形的面積相等可判斷④．【規(guī)范解答】解：過點作于點，∵、分別是、的角平分線，∴，，∴，又∵，，∴平分，故①正確；∵，，∴，∴，∵在和中，、∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，故②正確；∵平分，平分，∴，，∴，∴，故③正確；∵由②可知：，∴，，∴，故④正確，故答案為：①②③④．【考點評析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2021秋·遼寧鞍山·八年級校考期中）如圖，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為_____．【答案】30°【思路點撥】過E點作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，EH＝EP，則EF＝EH，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷AE平分∠FAC，則可計算出∠FAE＝50°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計算出∠AEB的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：過E點作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如圖，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，∵CE平分外角∠ACD，∴EH＝EP，∴EF＝EH，∴AE平分∠FAC，∵∠BAC＝80°，∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，∴∠FAE＝∠FAC＝50°，∵∠FAE＝∠ABE+∠AEB，∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．故答案為：30°．【考點評析】本題考查了角平分線的判定，角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵．18．(本題2分)（2022秋·福建泉州·八年級?？计谀┤鐖D，等腰中，，，于點，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，的延長線交于點，連接，下列結(jié)論：①；②；③垂直平分；④，其中正確結(jié)論有________．【答案】①②④【思路點撥】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得，求得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到是線段的垂直平分線，證明是等腰直角三角形，可判斷①；證明，推出平分，利用三角形的內(nèi)角和定理求得，可判斷②；由線段的垂直平分線與交于點D，不可能經(jīng)過點N，可判斷③；證明，推出，可判斷④．【規(guī)范解答】解：連接，等腰中，，，于點，∴，，∵是的平分線，∴，∴，，∴，∴，∵為的中點，∴，，，∵是的平分線，∴，∴，∴是線段的垂直平分線，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；故①正確；作于G，于H，∵，，，∴，∴，∴平分，∴，∴，∴；故②正確；∵，∴線段的垂直平分線與交于點D，不可能經(jīng)過點N，故③錯誤；在和中，，∴，∴，∴，故④正確；綜上，①②④正確；故答案為：①②④．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，能正確證明推出兩個三角形全等是解此題的關(guān)鍵，主要考查學生的推理能力．19．(本題2分)（2022秋·山東青島·八年級山東省青島實驗初級中學?？计谀┤鐖D，，的內(nèi)角的角平分線與的外角平分線交于點，的外角的角平分線與的反向延長線交于點，以下結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤．其中正確的結(jié)論有_____．（填序號）【答案】①②③⑤【思路點撥】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形外角的性質(zhì)可得，從而得到，故①正確；再由平分，平分，可得，因此②正確；由是的平分線，是的平分線，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得到，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，因此③正確；由，，可得與不一定相等，因此④不正確；根據(jù)和，可得，因此⑤正確，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，過點作于，交的延長線于點，于，過點作于，是的平分線，，是的平分線，，，是的平分線，即，，，，，，因此①正確；平分，平分，，，即，因此②正確；是的平分線，，是的平分線，，，，，，，，，，，因此③正確；，而，與不一定相等，因此④不正確；，，，，，因此⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，故答案為：①②③⑤．【考點評析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提．20．(本題2分)（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十六中學?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，過點B作于點D，平分交于點E，交于點F，點G為中點，連接．下列結(jié)論①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號是______（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③④【思路點撥】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)等腰三角形的判定得到，于是得到，可判斷①；由，平分得到，再由等腰三角形的判定和性質(zhì)得到是等腰直角三角形，然后根據(jù)可判斷②；由垂直平分線的性質(zhì)得到，再由，證明是等腰直角三角形，最后由可判斷③；由點G為中點，是等腰直角三角形證明，再根據(jù)，即可判斷④．【規(guī)范解答】∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，D為垂足，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；如圖，作于點H，∵，平分，∴是的垂直平分線，∴，．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，故②錯誤；∵是的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故③正確，設(shè)G到和的距離分別為，，，∵點G為中點，是等腰直角三角形，∴是的角平分線，∴點G到和的距離相等，∴，∴，∵，，∴，故④正確，故答案為①③④．【考點評析】本題考查了根據(jù)角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運用各知識點是解題的關(guān)鍵．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是上一點．(1)過點D作，垂足為點E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【思路點撥】（1）以點為圓心，畫弧，交于點，以點為圓心，大于的長為半徑，畫弧，交于點，連接，交于點，即為所求；（2）根據(jù)外角的性質(zhì)，得到，進而推出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得證．【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：，，，即是的角平分線，，又，．【考點評析】本題考查基本作圖，角平分線的判定和性質(zhì)，三角線的外角．熟練掌握垂線的作圖方法，以及角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．22．(本題6分)（2022秋·福建泉州·八年級?？茧A段練習）如圖，以的邊、為邊向外作等腰和等腰，．與交于．求證：是的平分線．【答案】見解析【思路點撥】過點分別作，，垂足分別為，，證明，得到，進而得到，即可得證．【規(guī)范解答】證明：過點分別作，，垂足分別為，，∵和為等腰直角三角形，，∴，，，∴，∴，，∴，∴，∴平分．【考點評析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及角平分線的判定．熟練掌握全等三角形的面積相等，以及到角兩邊距離相等的點在角平分線上，是解題的關(guān)鍵．本題是手拉手全等模型，平時善于總結(jié)歸納，可以快速解題．23．(本題8分)（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交線段的延長線于點．(1)在直線上求作點，使得點在的上方，且點到、的距離相等；（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法）(2)在（1）的條件下，若于點，于點，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【思路點撥】(1)利用尺規(guī)作圖，作的平分線，與的交點即為所示的點P；(2)根據(jù)線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)，即可證得，即可證得結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示，點P即為所求的點，點P在的平分線上，點到、的距離相等；（2）證明：如圖：連接，，垂直平分，，是的平分線，，，，，在和中，，，，．【考點評析】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握和運用線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2022秋·遼寧丹東·八年級校考期中）如圖，在中，，，.(1)試判斷的形狀，并證明：(2)當時，點從A出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒，①當平分時，求的值：②當點落在邊的垂直平分線上時，求的值；③在整個運動過程中，直接寫出為等腰三角形時的值.【答案】(1)是直角三角形(2)①秒；②秒或秒；③秒或11秒或2.5秒或1.4秒【思路點撥】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得，即可判斷的形狀；（2）①根據(jù)題意作出圖形，再過點作，垂足為，可發(fā)現(xiàn)，設(shè)，則，，通過是直角三角形建立方程解答即可；②根據(jù)題意作出圖形，分兩種情況：點在中點；點在上．當點在中點時，此時即可解答；當點在上時，連接，設(shè)為，則，根據(jù)是直角三角形列出方程即可解答；③由題意可知，當點在上，且；當點在上，；當點在上，且過的垂直平分線，；當點在上，；分別求出四種情況的值即可．【規(guī)范解答】（1）解：，，，則，，是直角三角形；（2）解：當時，，，，①如圖，平分，過點作，垂足為，在和中，，，，設(shè)，，，在中，有，，，此時，，（秒）；②如圖，垂直平分，點可能在點處，也可能在點處，當點在點處時，，（秒），當點在處時，連接，垂直平分，，設(shè)為，則，在中，有，，，，（秒），綜上，秒或秒；③當點在上，時，此時，（秒），當點在上，時，此時，（秒），當點在上，且過的垂直平分線，時，如圖，此時點為的中點，，（秒），當點在上，時，如圖，過點作，垂足為，，，，，，，在中，有，，或（舍去），綜上，秒或11秒或2.5秒或1.4秒．【考點評析】本題主要考查勾股定理及其逆定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的定義，掌握勾股定理及其逆定理、靈活運用分類討論思想是解題關(guān)鍵．25．(本題8分)（2022秋·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒．(1)點運動結(jié)束，運動時間______；(2)當點P到邊、的距離相等時，求此時t的值；(3)在點P運動過程中，是否存在t的值，使得△ACP為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或5(3)存在，或3或或【思路點撥】（1）根據(jù)勾股定理定理求出長，從而根據(jù)時間路程速度計算即可得到答案；（2）當點恰好在的角平分線上，點P到邊AB、AC的距離相等時，設(shè)，則，在中，依據(jù)，列方程求解即可得到的值；（3）分四種情況：當在上且時，當在上且時，當在上且時，當在上且時，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到的值．【規(guī)范解答】（1）解：中，，，，，，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，點運動結(jié)束，運動時間（秒），故答案為：；（2）解：如圖，過作于，平分，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得，，；當點與點重合時，點也在的角平分線上，此時，；綜上所述，點恰好在的角平分線上，的值為或5；（3）解：根據(jù)題意，可分四種情況：①如圖，當在上且時，，而，，，，是的中點，即，；②如圖，當在上且時，；③如圖，當在上且時，過作于，則，中，，，；④如圖，當在上且時，，．綜上所述，當或3或或時，為等腰三角形．【考點評析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及勾股定理的綜合運用．畫出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關(guān)鍵．26．(本題8分)（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）在和中，，，．(1)如圖1，當點A，C，D在同一條直線上時，求證：，；(2)如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接并延長交于點G，的大小固定嗎？若是，求出的度數(shù)；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析(3)是，【思路點撥】（1）證明，得到，由對頂角相等得到，所以，即可解答；（2）證明，得到，又由，得到，即可解答；（3），如圖3，過點作，，垂足分別為、，由，得到，，證明得到，得到平分，由，得到