數(shù)列求和的求解策略（解析版）-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第22講數(shù)列求和的求解策略

【典型例題】

2

例1.（2022?云南模擬）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.若%=8,=57,則數(shù)列

anan^\

的前〃項(xiàng)和是（)

C._2!!_

A.——B.會(huì)D.—^―

2n+36〃+46/1+4

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

因?yàn)椤?8，56=57,

a.+2t7=8

則6《+15d=57'解得J,例=2,

222,1

所以q=3〃一1,所以二、），

ananl}(3〃-1)(3〃+2)33n-l3/1+2

22

所以數(shù)列4，的前〃項(xiàng)和為：二一+二一+二一+

2x55x88x11(3〃-1)(3〃+2)

2J1、21I2/11I

過(guò)一盧溝一露+…H—(---)=(

33〃一13〃+2tr3/1+2

故選：B.

2

（〃為正奇數(shù)）

〃(〃+2)

例2.（2022春?遼寧期中）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足為=?,則數(shù)列｛%｝的

n+2］（〃為正偶數(shù)）

In

n

前10項(xiàng)和為（)

-2Q

A.-+ln6B.—+/?6C.D.--In2

911119

島（〃為正奇數(shù)）

【解析】解：由于數(shù)列凡」

誓,〃為正偶數(shù)）

In

4&a

故數(shù)列的刖10項(xiàng)和為

故選：B.

例3.（2022秋?蒸湘區(qū)校級(jí)月考）數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式是凡=（-1）"（3〃-2）,則該數(shù)列的前

100項(xiàng)之和為（）

A.-200B.-150C.200D.150

【解析】解：.q=(T)"(3〃-2),

/.生j+a2k——(3〃-2)+(3〃+1)=3.

S3=(-1+4)+(-7+10)+...+(-295+298)

=3x50=150.

故選：

例4.(2022秋?葫蘆島期末)函數(shù)y=/(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y均滿(mǎn)足/(^)=W)+W)?

且/(3)=3,數(shù)列｛七｝,｛a｝滿(mǎn)足42,"=與2,則下列說(shuō)法正確的有

①數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

②數(shù)列仍“｝為等差數(shù)列；

③若S。為數(shù)列｛可也｝的前〃項(xiàng)和，則S,=3+(2〃；1)3”+[

④若7；為數(shù)列｛——-——｝的前〃項(xiàng)和，則(vl;

_________2

⑤若此為數(shù)列(向麗瓦二｝的前〃項(xiàng)和，則凡〈2聲.

【解析】解：因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)任意x,y?/5)滿(mǎn)足/(移)=才(%)+4/'(加，

若T，

則〃二「(3")〃3"T)二心)-3吐)=3/(31)+3>"⑶-3/(3"T)

“n-i3〃3加一13〃3〃

=△2=1為常數(shù)，

3

故數(shù)列｛〃”｝為等差數(shù)列，故①錯(cuò)誤；

7/(3)=3,f(xy)=xf(y)+yf(x),

.?.當(dāng)％=y時(shí)，/(f)=xf(x)+xf(x)=2#(x),

則f(32)=6/⑶=18=2x3?,

/(33)=32/(3)+3/(32)=33+6X32=3X3\

則f(3")=〃x3",

若瓦,，

〃3"）

則2=_fl_=（〃T）J（3"）=sn=3為常數(shù)

加，礦（3"）刃吊如

n-1

則數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤；

n2

anbn=n-3,Srt=1-3+2-3+...+/1-3",

23rt+,

3Sa=l-3+2-3+...+n.3,兩式相減可得-2S”=3+3?+…+3”一小3川，

=303"）_小3向,化簡(jiǎn)可得1=3+（2〃-1）3向，故③正確；

1-34

1111

==-------9

an---------〃（〃T）〃一1〃

（=i__L+_L_J.+_+_!__l=故④正確；

223n-\nn

1a“?logh+i="小/。&3'用=J"5+1）,

當(dāng)〃=1時(shí)，R,=V2>—,故⑤錯(cuò)誤.

2

故答案為：③④.

例5.（2022?新高考I）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)

稱(chēng)軸把紙對(duì)折.規(guī)格為2（W/〃xl2d欣的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10d>〃xl2而2,

20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形,它［匚的面枳之和S〔=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dmx\2dm，

\0dnix6d/n,20而?x3加2三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=180而？，以此類(lèi)推.則對(duì)

折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5；如果對(duì)折〃次，那么之5人=—dm2.

3355

【解析】解：易知有20dmxjdm,1Odrtixdm,5dmx3dm,—dmx6cbn,—dmx12dm,共5種

規(guī)格;

240（&+1）

由題可知，對(duì)折2次共有&+1種規(guī)格，且面積為三，故&

~~21-

則￡&=240汽祟,記[力祟，嗚片力資,

A=lM=1乙A=lZ乙i=l乙

1弋女+1（左+1]/鏟欠+2。氏+1、n+\

??3%—乙小乙一]+（2乙/+1）一―向

乙￡=14i=!/Jt=l乙4=14乙

l（i__L）

4'2"“）〃+13〃+3

=1+—---------------------=-------------,

?2""22""

1—

2

〃+3

T=3-

nT

〃n+3

.?.X\=240(3--).

故答案為：5；240(3--).

2n

例6.數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q+2+(T)”&=3〃T，前16項(xiàng)和為540,則生=_-2_.

【解析】解：因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿(mǎn)足*2+(T嚴(yán)4=3〃-1,

當(dāng)門(mén)為奇數(shù)時(shí)，a?+2+an=3n-\,

所以4+q=2,Oy+?5=14?4+4=26,45+43=38,

則q+q+%+%+2+4i+《3+%=80,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，。“+2-a”=3〃-1,

所以q—%=5,-a,=11?勾一。6=17,60-4=23,ai2-ai0=29,-al2=35,

46-4=41，

故4=5+生，4=16+生，％=33+%,%0=56+/，。緘=85+4,=120+d2,

《6=161+生?

因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540,

所以4+/+4+仆+4。+。12+au+。16=540-80=460，

所以8%+476=460,解得出=-2.

故答案為：-2.

例7,（2022?西安一模）已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S.,滿(mǎn)足

4=1%=2,2（S,+2+S”）=4S,X+1,則數(shù)列｛勺｝的前16項(xiàng)和第=B4.

【解析】解：2（SE+S.）=4S.J1,化為（Sm-SQ—（S〃+「S"）=g,即%--=；，

,.?&-q｛凡｝為等差數(shù)列：公差d=',q=T，

...id+S」=84.

16222

故答案為:84.

例8.（2022春?廣元期中）已知等差數(shù)列｛q｝,滿(mǎn)足。p=a20Pl+每叩2,其中R,P,P?三

點(diǎn)共線，則數(shù)列1?！沟那?6項(xiàng)和s,=8.

例9.（2022春?播州區(qū)校級(jí)月考）已知遞增等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且生+怎=42,

4,由，小成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(0)設(shè)2--!-----且數(shù)列出,｝的前〃項(xiàng)和7；,求證；Tn<-.

44+16

【解析】解：(I)設(shè)遞增等差數(shù)列伍“｝的首項(xiàng)％,公差d>0.................1分

%+=42,q,%,al3成等比數(shù)列.

+2d+5q+10d=42?

\12___(3分)

[(?1+3d)~=。](4+12d)

又???〃>()，

解得q=3,d=2................(5分)

=4+(〃-l)d=2〃+1..............(6分)

(II)：.h=—--=-------------=—(--------------).....................(9分)

4/A+I(2〃+1)(2〃+3)22〃+12〃+3

4一4+4+…+與

1

,H---------（10分）

2〃+12〃+3)

-(-———)<-.............（12分）

232/1+36

例10.（2022?衡陽(yáng)二模）已知數(shù)列｛為｝是遞增的等差數(shù)列，%=7,且4是4與小的等比

中項(xiàng).

（1）求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式；

（2）①"=%?（《）"；②"=,'；③>=—!—,從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求

數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和

【解析】解：（1），｛q｝是遞增的等差數(shù)列，二數(shù)列｛品｝的公差d>0.

%+2d=7

由題意得:

(4+=%.(%+12d)

解得：4=3,d=2,

an=3+2(w-1)=2n+1：

(2)選①時(shí)，"=凡=(2〃+1).3”，

<=々+3+h++^=3.3'+5-32+7-33++(2w+l)-3\

則37；=3?32+5了+7?34++(2/i+1)3",

兩式作差得：-27；=3-3,+2-32+2-33+...+2-3,,-(2n+l)-3n+,=-2/i-3rt+,,

選②時(shí)，1=2(〃+1)+1=2〃+3,

7T__i(V27n-^T5),

b——---——.----

“MJ2n+\+>/2〃+322

Tn=b、+h2+by+-■+bn=——?[^^3~y/5)+(\/5—)4-(>/7—\/9)+???+(\/2〃+1—，2〃+3)]

=j2〃+3-石

2

選③時(shí)，b=---=-------------=-(---------—)?

““q+1(2〃+1)(2〃+3)22n+\2〃+3

,7；w+8+a++a」d」+1」+..+^---L-)

"123"235572〃+12〃+3

n

6〃+9

例11.（2022秋?鼓樓區(qū)月考）已知數(shù)列｛q｝是公比為q的等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)

足4+q=2g+1,S3=3%+1*

（1）求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式；

勺+1-%，〃為奇數(shù)

（2）若數(shù)列｛々｝滿(mǎn)足勿=3%物，求數(shù)列電｝的前2"項(xiàng)和心.

—；-------，n/v怙數(shù)

14可一洶+1

【解析】解：(1)>。[+。3=2夕+1，$3=3生+1,

/.4+a闖2=2q+\,q+a/=2qq+1,

解得q=l,q=2.

“2-

--為奇數(shù)

（2）.數(shù)列也｝滿(mǎn)足2=<一^—，〃為偶數(shù)'

也一54+1

??5t=%廠%-=22n--2*2=2*2=4-'；

b.3%,—3x2*_1________1_

2n-,2rt+,

2"-5a2n+14x(221)2-5x222+12-l2-1

/.數(shù)列出｝的前2〃項(xiàng)和

L=他+瓦+…++瓦+……+bG=a+4+4'+,..+4-T)+(白一七+七一七+”.+^7i—籍+1-^^=

21

nH-----;~~:.

例12.（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為S”，且q=2,\+13s.+2,

數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足〃=2,媼=七吆，其中〃eN*.

(1)分別求數(shù)列｛%｝和｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)在勺與4“之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為g的等差數(shù)列，求數(shù)列

電%｝的前〃項(xiàng)和

【解析】解：(1)?S?|=3S”+2,

二九.2時(shí)，。川=5/「5”=3用+2-(3北+2)，化為-=3?！?

〃=1時(shí)，2+a2=3x2+2,解得々2=6,則〃2=34，滿(mǎn)足上式，

.??數(shù)列｛〃"｝是等比數(shù)列，公比為3,首項(xiàng)為2,

.?.q=2x3—

??,數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足〃=2,^-=—,其中〃eN*.

,bb.b.b、b、i〃+lnn-\43八,.、

b=-n---———?...-—?—?/>.=-----------------—x-x2=n(n+\)=n+n2.

如bn_2bn_4b2b、n-\n-2n-321

(2)在勺與a向之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為c”的等差數(shù)列，

則2x3"=2x3"“+(〃+l)cn,解得q=±?3”T，

n+\

3=4〃.3f

???數(shù)列｛"q』的前〃項(xiàng)和(=4(1+2x3+3x32+…+〃?3”T),

21n

37；f=4{3+2x3+...+(/i-l)y+w-3],

邛-1

相減可得：-27；=4(1+3+32+…+3°T一小3")=4G------小3")，

3-1

化為：7；=(2n-l)r+l.

【同步練習(xí)】

一.選擇題

I.(2022?岳陽(yáng)二模)德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng)，在歷

史上有很大的影響.他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時(shí)，他在進(jìn)行1+2+3+…+100

的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定

的規(guī)律生成，因此，此方法也稱(chēng)之為高斯算法.已知某數(shù)列通項(xiàng)?！?2〃-100,則

2n-101

A.98B.99C.100D.101

2w-1002(101-〃)-1002n-1002/:-102

【解析】解：由題總，a,+a,.?=--------+—-------------=--------+--------=2o,

fs2W-1012(101-72)-1012zz-1012〃一101

所以4+4uo=%+%=..?=%+4-

所以q+生+…+q0n=(at+a1(l0)=(a2+agg)+---+(%+?51)=50x2=100.

故選：C.

二.多選題

2.(2022秋?煙臺(tái)期末)己知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足q=3,^=144,其前〃

項(xiàng)和為S..數(shù)列電｝的通項(xiàng)公式〃=4—,設(shè)也｝的前.〃項(xiàng)和為7；,則下列說(shuō)法正確的

S屋s“+i

是()

A.數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為6,=3x2”“

B.S,=3x2”—1

C.，隨〃的增大而增大

D.-,.T<-

9"n3

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為q,則q>0,

q=3,a2a4=44?=a；q'=9q4=144.

:.q=16,.1.q=2,

.?.a”=a"T=3?2~,故選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B:S==3(2”-1)=3x2”-3,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

n：_；)

nnn+,

對(duì)于選項(xiàng)C:勺=32，an+l=3-2,Sn=3x2-3,Sfl+1=3x2-3,

心32”2n111、

/.b=----------------------：------=----------------：-----=—x(z---------------；),

”n(3x2d-3)(3x2rt+,-3)3(2--1)(2t-1)32"-12n+l-V

?F=4U)+("+……+(上一』-7)］』(1一g—)，

"33372n-l2w+,-l32M+,-l7

?/W—隨著〃的增大而減小，

2w+,-1

.??7；隨著〃的增大而增大，故選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)。；7；=」x(1-2—),7；隨著〃的增大而增大，

32”-1

又J—>0.

2M+1-1

二9,7；<上1，故選項(xiàng)D正確,

9"3

故選：ACD.

3.（2022秋?煙臺(tái)期末）已知數(shù)列1,1』,±2』,1,2,3/，…，貝I"）

233444

A.數(shù)列的第迪里2項(xiàng)均為1B.竺是數(shù)列的第90項(xiàng)

213

C.數(shù)列前50項(xiàng)和為28D.數(shù)列前50項(xiàng)和為“

2

【解析】解：由題意，可將題干中的數(shù)列轉(zhuǎn)化為1,?L,2,J.,2,3,_L,2,3,W

1223334444

則可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列分母為1,2,3,4,...

且分母是幾對(duì)應(yīng)的就有幾項(xiàng)，

n[n+i)

=1+2+...+〃

2

二數(shù)列的第迪士2項(xiàng)為分母〃的對(duì)應(yīng)的最后一項(xiàng)4=1,故選項(xiàng)A正魂,

2n

工是分母為13的倒數(shù)第二項(xiàng)，

13

而1+2+...+13」3X（"⑶

2

二.上10是數(shù)列的第91-1=90項(xiàng)，故選項(xiàng)B正確，

13

令少+1）,,50,即，2（〃+n,100,

2

當(dāng)〃=9時(shí)，9xl0=90<100,

當(dāng)〃=10時(shí)，10xll=110>100,

.??數(shù)列前50項(xiàng)為分母10的第5項(xiàng)，即為上，

10

出I'為IMucmTn”，I1+21+2+31+2+...+91+2+...+5

/.數(shù)列刖50項(xiàng)和為1+----+-------+...+-----------+-----------

3456789103

+-+—+—+—+—+—+—+—+—

222222222

=—,故選項(xiàng)O正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

2

故選：ABD.

三.填空題

【解析】解：滿(mǎn)足=片+/O6，其中6，P，g三點(diǎn)共線，

可得《2+%=1，

由等差數(shù)列｛%)，可得4+《6=《+《5=?，

則Si6=gxl6(4+46)=8?

故答案為：8.

4.(2022?楊浦區(qū)三模)若兩整數(shù)*力除以同一個(gè)整數(shù)相，所得余數(shù)相同，即蟲(chóng)a=Z(ZwZ),

m

則稱(chēng)a、力對(duì)模，"同余，用符號(hào)。三〃(wd〃?)表示，若。三10()Md6)(。＞10),滿(mǎn)足條件

的a由小到大依次記為q,生…/，…，則數(shù)列丹」的前依項(xiàng)和為976.

【解析】解：由兩數(shù)同余的定義，

〃，是一個(gè)正整數(shù)，對(duì)兩個(gè)正整數(shù)a、b,若a-b是〃，的倍數(shù)，

則稱(chēng)a、b模小同余，

我們易得若a=10(mod6)(。＞10),

則a-10為6的整數(shù)倍，

則4=6/2+10，

故a=16,22,28,…均滿(mǎn)足條件.

由等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)公式S”=//+若Id,

則S|6=16XI6+SX(16T)X6=976.

故答案為：976.

?淮南一模)已知數(shù)列滿(mǎn)足a2a+82則

5.(2022｛6｝q=1,4=2,n+2=(1+cos-~^n＞°~~?

該數(shù)列的前16項(xiàng)和為546.

【解析】解：當(dāng)〃=22-1伏CAT)時(shí)。，^,=^.,+1,數(shù)列｛4-｝為等差數(shù)列，

=a1+2-1=&;

k

當(dāng)1=22/wM)時(shí),a2k+2=2a2k,數(shù)列｛%上｝為等比數(shù)列，a2k=2.

該數(shù)列的前16項(xiàng)和兒=(%+%+…+/)+(4+%+…+/)

=(1+2+..,+8)+(2+2"+…+2")

8x(l+8)2X(28-1)

=------------H-------:--------

22-1

=36+2l2

546.

故答案為：546.

6.設(shè)數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式為an=2n-l(neN*),則|q|+|/1+…I?！?=

6〃-/J釉3,〃eN*

??一6〃+18,.4,〃wN'

【解析】解「?數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-7(』eM),

=

由Qn2〃—7..0,得n..,

=-1<0,tz4=1>0?

a｝=2—7=—5,d=a2—=(2x2—7)—(2x1—7)=2,

/.S“=〃x(-5)+—x2=/一6〃.

當(dāng)啜巾3,時(shí)，|q|+|出l+..[4l=—S〃=6〃—〃2,

22

當(dāng)幾.4,nuN"時(shí)，|<i||+1?21+...|<?n|=5n—2s3=n-6n-2(9-18)=w-6w+18.

??卬+⑷+…""叱2_6〃+]8.4”廣

故答案為：尸；-加1釉3,〃eN*.

n-6〃+18,幾.4,〃€N

7.已知在數(shù)列｛〃“｝中，4=一2,4=一2,且為+2-4=1+(-1)"，貝1」58=525

[解析1解：*,1?！?2-4=1+(-1)￡，

/.數(shù)列｛a?｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成常數(shù)列，

又<4=-2,4=-2,

J-2,〃為奇數(shù)

a"〃-4,〃為偶數(shù)’

J5Q2+48)

..djo=-2?25H----------------

=25.21

=525,

故答案為：525.

8.(2022?合肥一模)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，點(diǎn)4(2","+(：)”")(〃￡%“),記4

2

“22

A?.」怎人e的面積為S“，則=_(2n--)4w+-_.

【解析】解：4(2”,〃+(；)?(〃￡“),可得

2+,

4“TQ2”T，0),4.(2筋，2〃)，^+1(2",0),

貝I」面積為S“_g?2〃《22”.i_22”T)_3〃?220T,

設(shè)S=力5=3(1.2+2*23+3?2$+...+“di),

/=1

4s=3(1.23+2.25+3.27+...+心，,

兩式相減可得一3s=3(2+2之+2$+…+-心”

=3(^2-",

1-4

化簡(jiǎn)可得S=(2〃—.0+:.

77

故答案為：⑵7-4)4+3

33

四.解答題

4

9.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿(mǎn)足2s“=q+3.

an

(1)求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S.；

4

(2)設(shè)么——,求｛"｝的前〃項(xiàng)的和

S”+

4

【解析】解：⑴因?yàn)?s,=%+土，

%

4

所以，當(dāng)〃=1時(shí)，由S]=q,得2S]=￡H—?

因?yàn)?>0,所以&=4=2,

44

當(dāng)幾.2時(shí)，由2s“二4十一，得2S〃=S〃-S,i十.，

/5”-Ei

整理得，s；-s3=4,

所以數(shù)列｛S；｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，

所以S：=2+(n-l)x4=4w-2,

所以句=，4〃一2；

(2)b=-----------=/4/=J4〃+2-x/4/1-2>

S“+SZI+1j4〃+2+J4―2

(=4+4+4+......+="一\/2+\/10—>/6+Vi4-V10+.....+，4〃+2—,4〃-2=—42++2

10.（2022秋?天津期中）設(shè)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”=Z7”-2.數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足:

bf=b“+T,且仇=2.其中〃eM.

(1)求｛q｝，｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛c“｝滿(mǎn)足q,=—————證明：c,+c+...+C<-.

%山：22

【解析】解(1)由5“=2%-2①(〃￡"),

可得2②，

②一①得q+1=2a”(〃€N*),

所以數(shù)列｛q｝是公比為2的等比數(shù)列，

①式中令〃=1,可得q=E=2?[-2,解得4=2,

所以4=2"(〃eM)；

由么+I-2=1,易知數(shù)列｛2｝是公差為1的等差數(shù)列，

.又/>2=々+1=2.所以〃]=1.

所以”=〃(〃eN*)；

，1+2

(2)證明：c=一,=--------!一r,

“〃(〃+1)?2"“〃?2"(〃+1)?2向

1

所以q+c2+...+cw=(-^-—^)-(—++)

1?ZZ?ZZ?Z(〃+1)?2

111

=------------------r<一.

2(〃+l)?2”"2

11.(2022?南京模擬)已知數(shù)列｛冊(cè)｝是遞增的等差數(shù)列，生=3,若%,%%+七成

等比.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a=3%,數(shù)歹1/-^一華-----1的前〃項(xiàng)和S.,求S..

【解析】解：(1)由｛4｝是遞增的等差數(shù)列，

又4=3,..4=3-d,a5-a3=2df%+a2=6+5d,

又q,4一4，生+生成等比數(shù)列，

.?.(2d)2=(3-d)(6+5d),

又d>0,/.d=2；

/.4=1,an=2n-l；

2n-,2n+,

(2)由(1)bn=3A+1=3,

4b_l11、

??----------------l-i-----------——lz----------------------------/9

電+1)(%+1)22+1%+I

G1,111I11、1,11、11

S=一(-----------1------------卜???H-------------)=-(------------)=------：—：---

n2rt+,

"2b.+lA+lA+l&+1b+1“7+12a+1br+.+182-3+2

12.已知數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足q=(,且當(dāng)他.2時(shí)，有《7一%=4%啊.

(1)求證：數(shù)列｛-i-｝為等差數(shù)列；

<2)令2=上辿，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S”.

%

【解析】證明：(1)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=(,且當(dāng)〃..2時(shí)，有/_1=4a,"a”，

整理得：-——-=4(常數(shù))，

4%

所以數(shù)列｛上｝是以5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.

an

解：(2)由(1)得：-l=5+4(〃-l)=4〃+l；

an

當(dāng)⑴〃為奇數(shù)時(shí)，〃+1為偶數(shù)；

所以50=Sw+1-bn^=2(n+1)-[4X(n+1)+1]=-2n-3,

(ii)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，由于4+8=4,by+b4=4,h2k_t+b2k=4,

故S”=—x4=2n；

2

卜2〃-3(〃為奇數(shù))

2/1(〃為偶數(shù)).

13.(2022秋?泉州期中)已知數(shù)列｛可｝滿(mǎn)足A=3%+2(〃..2),且q=2,數(shù)歹U[bn]滿(mǎn)

足：■+/+%+……+A_=2/1(〃eN*).

234n+\

(1)求數(shù)列｛4｝與｛"｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛《+2｝的前〃項(xiàng)和

【解析】解：(1)數(shù)列｛〃"｝滿(mǎn)足a“=3?！╛]+2(〃..2),且q=2,可得數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足

q+1=3(%+1)(〃..2)

n

,所以數(shù)列｛?！?1｝是以首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，可得%+1=3"，an=3-l.

數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足:△+%+%+……+上」=2〃(〃wN*).

234〃+1

〃..2時(shí)，2+久+%+……+如=2〃-2兩式相減可得2=2,

234nn+\

所以，bn=2(w+l),又A=4,滿(mǎn)足通項(xiàng)公式，

所以2=2(〃+1).

(2),.?可+2=3"+2〃+1,

數(shù)列｛%+a｝的前〃項(xiàng)和

。小02035、cur小I、、3(1-3")(3+2〃+1)〃3，t+，2r3

S=(3+3+3'+…+3)+(3+5+7+…+(2〃+1))=-----+--------=--+n+2〃—-

1-3222

14.(2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)二模)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，其中q=l.己知向量

〃=(2嗎)，b=(〃+l,S,)(〃eN”)，且存在常數(shù)義，使。=勸.

(1)求數(shù)列他“｝的通項(xiàng)公式；

fl+,

(2)若數(shù)列也｝滿(mǎn)足岫+a2b2+...+anbn=2+(n-1).2(wGN*),求數(shù)列｛4+"｝的前〃項(xiàng)

和小

【解析】解：(1)?.,存在常數(shù)％,使萬(wàn)=加d/區(qū),

/.2Sn=(n+1)<7?,①

???252=(〃+2)%,②

②一①，得：為““=(〃+2)與+]—(〃+1)%，

整理，得且也=&對(duì)任意的恒成立，

〃+1n

,｛%｝是常數(shù)列，二工二幺汽，

nn1

(2)\岫+a2b2+...+anbn=2+1)?2""(〃eN"),

+2

岫+a2b2+...+an+ibn+l=2+n?2'(〃e2V*),

兩式相減，得=(〃+1)?2川，

n+,

由(1)知%=w+1,z.bn^=2,

..."=2",n..2,

*/4偽=2,?，.b]=2,

"=2"(〃€N").

23z,

.-.7；/=(l+24-3+...+n)+(24-2+2+...+2)

?（??+1）2（1-2"）

=------------1--------------

21-2

=〃（?1）+2日-2.

2

15.（2022秋?云陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知數(shù)列｛〃"｝滿(mǎn)足，％=卜”22鱉,4=1?

一2,〃為偶數(shù)時(shí)，

（1）若數(shù)列｛2｝為數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，｛%｝為數(shù)列｛勺｝的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，

求出6，。2，。3,并證明：數(shù)列色J為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛q｝的前22項(xiàng)和.

【解析】解：（。]=

1）4=4+1=2,-c2=a4=+1=a2-2+1=1,

6=。6=%+1=。4-2+]=0,

由題意知,一]，所以數(shù)列｛，｝是首項(xiàng)為公

%='+]=4fl=2=44+1-2=4".]-1=21,

差為-1的等差數(shù)列.

⑵《向=4“+2=4e+1=4.-2+1=4.一1=?！币?,所以數(shù)列｛c.｝是首項(xiàng)為2,公差為T(mén)

的等差數(shù)列，結(jié)合（1）可知，｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以-1為公差的等差數(shù)列，

所以

+嗎+瓦1ll011l0

S2=a,+a2++/2=（4+6+J+（/+q++%）=（?+&+）+（q+q++c,|）=lxll+^x（-l）+2xll+^x（-|）=-77

16.（2022春?青山湖區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，%,生成等

比數(shù)列.

（1）求｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)令包=%-3,求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S-

a4八

【解析】解：(1)因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝是公差為2的等差數(shù)列，q,6，生成等比數(shù)列,

所以裙=4%，

所以(q+4>=q(q+12),

解得q=4,

所以4=4+(〃-1)x2=2〃+2；

(2)bn=an-3=2n-i,

s、i8〃8〃11

所以,、—------;------7=-------------------------y，

颯I(2〃-1)2(2〃+1)2(2〃-1)2(2〃+1)2

因此,x

5n=(4--4)+(4-4-)+(4-4-)++(————

nI23232525272(2〃一1)2(2〃+1尸(2n+l)2

17.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且q=l,〃..2時(shí)，(〃一1電=2甌_1+〃(〃-1).

(1)證明｛1+1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，

n

(2)若數(shù)列｛"｝滿(mǎn)足4=2,當(dāng)九.2時(shí)，+-J—+!—的值.

1

2"a-1b2-1€>2021-

【解析】解：(1)證明：?.(〃-1)S“=2〃SE+〃(〃-D，(九⑵，

q2。

.?鼻='曰+1,(〃..2),

n〃一1

VV，

：.-^+1=2(-^-+1),(幾.2),又‘+l=q+l=2,

nn-\1

.??｛2+1｝是以首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

n

...義+1=2",

n

S”=〃(2”-l),

，a”=S”-S“T

=w2w-?-(n-l)-2M-,+(/2-1)

又q=l也滿(mǎn)足上式，

(2)由(1)知當(dāng)〃..2時(shí)，=土軍=2〃，

又足偽=2也滿(mǎn)足上式，

/.bn=2n,(?€N*),

.111,11、

b”l4n2-l22n-I2〃+l

111

??與+0+???+

b；-1b；-1