第八章組合變形教學文稿

第十章組合變形§10.1概述§10.2斜彎曲§10.3拉伸(壓縮)與彎曲§10.4縱彎曲§10.1概述Fhg水壩qFhg組合變形：在復雜外載作用下，構件的變形會包含幾種簡單變形，當幾種變形所對應的應力屬同一量級時，不能忽略之，這類構件的變形稱為組合變形。組合變形問題的基本解法是疊加法條件是：（1）小變形假設。（2）載荷和位移成線性關系：比例極限內。其基本步驟是：（1）將載荷分解，得到與原載荷等效的幾組簡單載荷，使構件在每組簡單載荷作用下只產生一種基本變形。（2）分別計算構件在每種基本變形情況下的應力。（3）將每種基本變形情況下的應力疊加，然后進行強度計算。當構件危險點處于簡單應力狀態(tài)時，可將上述應力進行代數(shù)相加；若處于復雜應力狀態(tài)，則需要按照強度理論來進行強度計算。本章討論斜彎曲、拉壓與彎曲、彎曲與扭轉等的組合變形情況§10.2斜彎曲ahbyzq檁條外力的作用點在截面形心處，但是外力作用線并沒有沿著形心主軸。桿件產生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫向力）不位于外力所在地縱向平面內，這種彎曲稱為斜彎曲?，F(xiàn)在以矩形截面懸臂梁為例來說明斜彎曲時的應力與位移的計算方法。設作用在梁自由端的集中力F通過截面形心，且與豎向對稱軸之間的夾角為j。將力F沿y、z軸方向分解在Fy單獨作用下，z軸為中性軸；而在Fz單獨作用下，y軸為中性軸?？梢娦睆澢莾蓚€互相垂直方向的平面彎曲的組合。Fy和Fz各自單獨作用時，距離固定端為x的橫截面上，繞z軸和y軸的彎矩分別為可見彎矩My和Mz也可以從分解向量M來求得材料在線彈性范圍內工作，則對其中的每一個平面彎曲，均可以用彎曲正應力的計算公式。對于x截面在第一象限內某點C(y,z)處，與彎矩Mz和My對應的正應力都應該是壓應力，故上兩式彎矩均為絕對值Fy和Fz共同作用時，應用疊加法，即得C點的正應力此式表明橫截面上的正應力是坐標y、z的線性函數(shù)，即為平面方程。FBED由右圖可知，在x截面上角點B處有最大拉應力，角點D處有最大壓應力，它們的絕對值相等。E和F點處的正應力為零，它們的連線即是中性軸，可見B點和D點就是距離中性軸最遠的點。FBED對整個梁來說，橫截面上的最大正應力在危險截面的角點處，其值為由于角點處的切應力為零，所以應該單項應力狀態(tài)來建立強度條件。材料的拉壓強度相同，則斜彎曲的強度條件為l由第七章的知識可知在Fy和Fz單獨作用下自由端的撓度因為wy和wz是正交的，所以當Fy和Fz共同作用時自由端截面的總撓度為yz若以b角表示總撓度與y軸之間的夾角，則式中，Iy和Iz是橫截面的形心主慣性矩。由于舉行截面地Iy≠Iz，所以b≠j。這表明梁在斜彎曲是的撓曲平面與外力所在地縱向平面不重合。jF例1外力F通過截面形心，且與y方向的夾角j＝15°，材料許用應力[s]=170MPa,試校核此梁的強度。2m2myzF解：梁跨中截面上的彎矩最大，故為危險截面，該截面上的彎矩值為在兩個形心主慣性平面那地彎矩分量分別為從型鋼表查得25a號工字鋼的彎曲截面系數(shù)將這些值代入公式，可得此梁滿足強度條件將這些值代入公式，可得如果在此例中若F力的作用線與y軸重和，即j＝0，則此梁橫截面上的最大正應力為對于圓形截面因為過形心的任意軸均為截面的對稱軸，所以當橫截面上同時作用兩個彎矩時，可以將彎矩用矢量表示，然后求二者的矢量和。于是，斜彎曲圓截面上的應力計算公式為：注意：斜彎曲矩形橫截面依然存在中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的形心，但不垂直于加載方向。此時的界面的中性軸為與合彎矩矢量相平行的圓截面直徑?；蛘邽榕cFy與Fz合力垂直的直徑為中性軸。+=§10.3拉壓與彎曲一、軸向拉壓和彎曲的組合變形lFFlFFFl+==由于在最大拉應力和最大壓應力處為單向應力狀態(tài)，則強度條件例2

AB梁為工字鋼，材料為Q235鋼，許用應力[s]=100MPa。試按正應力強度選擇工字鋼型號。2.2m2m2mBACDFAxFAyBADM13xxFN11.8解：由圖中的幾何關系可得取AB為研究對象由BC桿的軸力可以得到AB桿的彎矩和軸力圖2.2m2m2mBACDM13xxFN11.8由正應力強度條件有查型鋼表，其中W＝141cm3A＝26.1cm2最大壓應力在D截面的邊緣，其值為故無需重新選擇截面型號二、偏向拉伸(壓縮)xzyO當直桿受到與桿的軸線平行但不通過截面形心的拉力或壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮。設F力作用點的坐標為zk、yk。將力向桿端截面的形心簡化?？梢娖睦鞂嵸|上是軸向拉伸和兩個平面彎曲的組合變形。這時各橫截面上的軸力和彎矩分別相同，即當材料在線彈性范圍內工作內，在離力作用稍遠的那些橫截面上，將三個內力所對應的正應力疊加起來，即得任一橫截面上任一點C(y,z)的應力表達式xzyO由正應力的表達式可以求出最大拉應力和最大壓應力分別為危險點處為單向應力狀態(tài)，假設材料的拉壓強度不等，則偏心拉壓的強度條件為例3

鑄鐵壓力機框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應力[

t]＝30MPa，許用壓應力[c]＝120MPa。試按立柱的強度計算許可載荷F。

解：（1）計算橫截面的形心、面積、慣性矩（2）立柱橫截面的內力

（3）立柱橫截面的最大應力（2）立柱橫截面的內力

（4）求壓力FFlaS§10.4彎曲與扭轉13S平面zMzMt4321yx13可以看出，對于許用應力相同的材料，1、3點同等危險，只需要對其中一點進行強度校核即可。由于圓截面的WP＝2Wz，為計算方便，將強度表達式改寫式中，Wz為圓截面的彎曲系數(shù)；M和T分別是危險截面上的彎矩和扭矩。而稱為按第三強度理論得到的相當彎矩。稱為按第四強度理論得到的相當彎矩。以上分析的圓截面的第三、第四強度理論的相當彎矩也同樣適用于空心圓截面桿的彎曲與扭轉的組合變形。yz例4圖示一45號鋼制的實心圓軸。齒輪C的直徑dC＝200mm，齒輪D的直徑dD＝100mm。材料的許用應力[s]=90MPa，試按第四強度理論求軸的直徑。120mm200mm500mmBACD120mm200mm500mmBACD0.874210.7282.4解：將齒輪上的切向力向軸線簡化。由于圓截面不會發(fā)生斜彎曲，故可以把彎矩My與Mz的矢量求出求第四強度理論的相當彎矩根據公式建立強度條件為代入數(shù)據有所以取軸的直徑為68mm。2m3mBACO例5圖示結構。AB桿直徑d＝101mm的圓截面桿，其許用正應力[s]=170MPa。試用第四強度理論校核AB桿的強度。解：將作用在BC桿上的載荷向B截面的形心簡化。根據簡化后的載荷圖，作出相應的內力圖ABT圖FN圖M圖T圖FN圖M圖由內力圖可知A為危險截面A截面總彎矩A截面最大彎曲正應力A截面的軸向拉伸應力A截面總的拉應力T圖A點的應力狀態(tài)如圖所示按照第四強度理論，其強度條件為即AB桿的強度滿足要求。§10.5縱彎曲xyxzyxyll/2本節(jié)討論小撓度的情形，即小剛度稈在小偏心壓縮問題。撓曲線近似微分方程7-1為了考慮由撓度引起的附加彎矩，需要求出偏心壓桿的撓曲線方程。

w為任一x截面處的撓度，則截面上的彎矩為引入記號則上式可以改寫為二階齊次線性微分方程通解為xyll/2兩端鉸支壓桿的位移邊界條件x＝0處，w＝0x＝l處，w＝0從而w與F及EIz之間的關系隱含在k之中。由對稱性可知，最大撓度d發(fā)生在桿的中點，將x＝l/2代入，得由