湖南省“長(zhǎng)沙市聯(lián)考”高三上學(xué)期1月數(shù)學(xué)變式卷2

2025年1月“長(zhǎng)沙市聯(lián)考”變式卷（同考點(diǎn)）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（

）A．0 B． C． D．82．為異面直線，且.若，則直線l必定（

）A．與a，b都相交 B．與a，b都不相交C．至少與a，b之一相交 D．至多與a，b之一相交3．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖像如左圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C．D．5．已知函數(shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖，四邊形中，，，則（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A．1 B． C． D．28．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某校舉行了交通安全知識(shí)主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評(píng)委對(duì)甲、乙的演講分別進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（

）A．若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)B．甲得分的極差大于乙得分的極差C．甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)D．甲得分的方差大于乙得分的方差10．在遞增的等比數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)積，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C． D．11．歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet），當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象都沒(méi)有完全的嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺和想象來(lái)描述數(shù)學(xué)對(duì)象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無(wú)理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來(lái)，這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為（其中a，且），以下對(duì)說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)锽．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無(wú)理數(shù)均不是的周期C．為偶函數(shù)D．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在△ABC中，，，，則點(diǎn)的軌跡方程為．13．徐匯濱江作為2024年上海國(guó)際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8cm，則該花盆上?下兩部分母線長(zhǎng)的總和為.14．在銳角中，角的對(duì)邊為，為的面積，且，則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對(duì)第1題的概率為，甲答對(duì)題序?yàn)榈念}目的概率，，各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．(1)若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，求甲答對(duì)第4題的概率；(2)求甲停止答題時(shí)答對(duì)題目數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望．16．如圖，在棱長(zhǎng)都為2的平行六面體中，，點(diǎn)在底面上的投影恰為與的交點(diǎn)；(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.18．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，的面積為，橢圓的離心率為．

(1)求橢圓的方程．(2)如圖，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心．①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；②求點(diǎn)到直線的距離的最大值．19．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)一切，，點(diǎn)都在函數(shù)圖象上.(1)求，，，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（不必證明）：(2)將數(shù)列