13.3.1 等腰三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)練）解析版

13.3.1等腰三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)練）一、單選題1．（2018·鄰水縣九龍鎮(zhèn)中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，且AD＝AE，點(diǎn)O是BD和CE的交點(diǎn)，則：①△ABD≌△ACE；②△BOE≌△COD；③點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，以上結(jié)論()A．都正確 B．都不正確C．只有一個正確 D．只有一個不正確【答案】A【分析】根據(jù)SAS推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABO=∠ACO，求出BE=CD，根據(jù)AAS推出△BOE≌△COD，根據(jù)全等得出OB=OC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷O在∠BAC的平分線上，可得出答案．【詳解】解：在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABO=∠ACO，

∵AB=AC，AE=AD，

∴BE=CD，

在△BOE和△COD中，

，

∴△BOE≌△COD（AAS），

∴OB=OC，

∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，

∵AB=AC，

∴O點(diǎn)在∠BAC的平分線上，

∴①②③都正確，

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，在判斷③時，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2019·山東冠縣·八年級期中）如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，則∠P的度數(shù)為（）A．44° B．66° C．96° D．92°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B，證明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠A＝∠MKN＝42°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK＝∠BKN，∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝42°，∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝96°，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用等腰三角形的性質(zhì)判定三角形全等，以及三角形的外教性質(zhì)和內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.3．（2018·全國八年級期中）若等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，那么等腰三角形的頂角等于()A．60°或120° B．30°或150° C．150° D．30°【答案】B【分析】本題要分兩種情況解答:當(dāng)BD在三角形內(nèi)部以及當(dāng)BD在三角形外部.再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.【詳解】解:本題分兩種情況討論:(1)當(dāng)BD在三角形內(nèi)部時,BD=AB,∠ADB=90,∠A=30;(2)當(dāng)BD在三角形外部時,BD=AB,∠ADB=90,∠DAB=30,∠BAC=180-∠DAB=150.所以B選項是正確的.【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì),分BD在三角形內(nèi)部以及當(dāng)BD在三角形外部是解題的關(guān)鍵.4．（2019·湖北蔡甸·八年級月考）△ABC中，∠ABC＝∠C，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，且AE=BE，BD＝BC＝AD，∠BDE的度數(shù)是（）A．45° B．54° C．60° D．72°【答案】B【分析】由已知條件開始,通過線段相等,得到角相等,再由三角形內(nèi)角和求出各個角的大小.【詳解】解：設(shè)∠A=x.AD=BD,∠ABD=∠A=x.∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x.∠ABC＝∠C,∠ABC=∠BCD=2x,在△ABC中，x+2x+2x=180,x=36,AE=BE,BD＝AD,在△ABD中，由三線合一可得∠BED=90在RT△BED中，∠EBD=36∠BDE=90-36=54故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的相關(guān)性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和是180度.5．（2017·湖北襄城·八年級期中）如圖，△ABC中，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．EF＝6，BE＝4，則CF的長為（）A．6 B．4 C．2 D．5【答案】C【分析】由已知條件可證明得BE=OE,同理可證得證明CF=OF,即可求得CF的長.【詳解】解:如圖,BO平分∠ABC,∠ABO=∠CBO;EO//BC,∠EOB=∠OBC,∠EOB=∠EBO,BE=OE;同理可證CF=OF;EF=6,BE=4,OF=EF-OE=EF-BE=2,CF=OF=2,故選C.【點(diǎn)睛】本題以三角形為載體,以考查等腰三角形的判定及其性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成;牢固掌握等腰三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6．（2021·全國）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點(diǎn)共線；②平分；③；④．其中正確的有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①設(shè)∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點(diǎn)共線；

②根據(jù)△BCD繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；

③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．

④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．【詳解】解：如圖，①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線；故①正確；②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，要注意旋轉(zhuǎn)不變性，找到變化過程中的不變量．7．（2021·遼陽石油化纖公司教師學(xué)校八年級期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，則∠CAA′的度數(shù)是（）A．50° B．70° C．110° D．120°【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根據(jù)∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′，進(jìn)而可得∠CAA'的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′＝50°＋70°＝120°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．8．（2020·首都師范大學(xué)附屬育新學(xué)校）下列說法中：①線段是軸對稱圖形，②已知兩腰就能確定等腰三角形的形狀和大小，③等腰三角形的角平分線就是底邊的垂直平分線，正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】①根據(jù)軸對稱圖形的概念判定即可；②根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系判定即可；③根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判定即可；【詳解】解：①線段是軸對稱圖形，正確；②已知兩腰就能確定等腰三角形的形狀和大小，角度不能確定，錯誤；③等腰三角形的角平分線就是底邊的垂直平分線，錯誤；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的概念與等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握軸對稱圖形的概念與等腰三角形的性質(zhì)．9．（2020·浙江溫州·八年級月考）如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③、④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn－Pn－1等于…（）A． B．3－ C．1－ D．＋【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等）求出等邊三角形的周長P1，P2，P3，P4，然后周長相減即可得到規(guī)律，進(jìn)行解答．【詳解】解：P1＝1＋1＋1＝3，P2＝1＋1＋＝，P3＝1＋1＋×3＝，P4＝1＋1＋×2＋×3＝，…∴P3－P2＝－＝，P4－P3＝－＝，∴Pn－Pn－1＝，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查對等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題是一個規(guī)律型的題目，題型較好．10．（2017·江蘇通州·八年級月考）有下列說法：其中正確的個數(shù)是（?）(1)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；(2)三角之比為3:4:5的三角形為直角三角形；(3)等腰三角形的兩條邊長為2，4，則等腰三角形的周長為10；(4)一邊上的中線等于這邊長的一半的三角形是等邊三角形；A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【答案】A【分析】考查等邊三角形，直角三角形等的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系：（1）有一個角為60°的等腰三角形，則三個角都是60°，（2）中有三角比例，求出其大小即可判斷是否為直角三角形，（3）根據(jù)三邊關(guān)系可確定，（4）利用等邊三角形的判定定理即可．【詳解】(1)中三角形內(nèi)角和為180°，且一個角為60°，又是等腰三角形，所以三角形只能是等邊三角形；(2)中根據(jù)三個角的比例求其角分別為45°，60°，75°，所以，不是直角三角形；(3)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，所以周長只能是10；(4)等邊三角形一邊上的中線：該邊邊長=:2，故不是等邊三角形.所以正確的說法有兩個，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.11．（2019·山西靈石·八年級期末）如圖，中，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到出，與相交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AA'C=70°=∠A'AC，即可求解．【詳解】∵將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)40°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C∴AC=A′C,∠ACA′=40°,∠BAC=∠B′A′C=90°，∴∠AA′C=70°=∠A′AC∴∠B′A′A=∠B′A′C?∠AA′C=20°故選C.【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于得出得∠AA'C=70°=∠A'AC.12．（2020·內(nèi)蒙古臨河·八年級期末）如圖，點(diǎn)E是等腰三角形△ABD底邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)C是AE延長線上任一點(diǎn)，連接BC、DC，則下列結(jié)論中：①BC=AD；②AC平分∠BCD；③AC=AB；④∠ABC=∠ADC．一定成立的是（）A．②④ B．②③ C．①③ D．①②【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出結(jié)論進(jìn)而判斷即可．【詳解】∵點(diǎn)E是等腰三角形△ABD底邊上的中點(diǎn)，∴BE＝DE，∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠BEC＝∠DEC＝90°．在△BEC與△DEC中，∵，∴△BEC≌△DEC（SAS）∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE，∴∠ABC＝∠ADC，∴④∠ABC＝∠ADC；②AC平分∠BCD正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△BEC≌△DEC．13．（2019·巴彥淖爾市臨河區(qū)第五中學(xué)八年級期末）如圖，ABC是等腰三角形，點(diǎn)O是底邊BC上任意一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，等腰三角形ABC的腰長為5，面積為12，則OE+OF的值為A．4 B． C．15 D．8【答案】B【分析】連接AO，根據(jù)S△ABC=S△ABO+S△AOC，結(jié)合AB=AC=5，利用三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】連接AO，如圖，∵AB=AC=5，∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB?OE+AC?OF=OE+OF=12，∴OE+OF=，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，正確添加輔助線將三角形分成兩個小三角形并正確地表示面積是解題的關(guān)鍵.二、填空題14．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，等邊中，，則以線段為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為______________________________．【答案】，，．【分析】通過旋轉(zhuǎn)至，可得是等邊三角形，將放在一個三角形中，進(jìn)而求出各角大小?！驹斀狻拷猓簩⒛鏁r針旋轉(zhuǎn)，得到，

∵，是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則,∴是等邊三角形.則又∵∴故以線段三邊構(gòu)成的三角形為所以故答案為：.【點(diǎn)睛】此題旨在考查圖形旋轉(zhuǎn)的特性和實際應(yīng)用，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.15．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，和都是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，則①；②；③；④；⑤是等邊三角形．其中，正確的有__________．【答案】①②④⑤【分析】證明△ACE≌△DCB，可得①正確；即可求得∠AOB＝120°，可得③錯誤；再證明△ACM≌△DCN，可得②④正確和CM＝CN，進(jìn)而可證明⑤正確，問題得解．【詳解】解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正確；∠CBD＝∠AEC，∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③錯誤；在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，④正確；∠AMC＝∠DNC，②正確；CM＝CN，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等邊三角形，⑤正確；故答案為：①②④⑤【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識，本題中證明△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解題的關(guān)鍵．16．（2020·鄱陽縣第二中學(xué)）若等腰三角形的周長為30cm，一邊長為6cm，則腰長為__________．【答案】12cm【分析】分兩種情況：6cm為底時和6cm為腰時分情況計算，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系驗證，即可得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)6cm為底時，∵等腰三角形的周長為30cm，∴腰長為（30-6）÷2=12cm，此時三邊長為12cm，12cm，6cm符合三角形三邊關(guān)系，∴此時腰長為12cm；當(dāng)6cm為腰時，腰長為6cm，底邊18cm；此時三邊長為6cm，6cm，18cm，∵6+6=12<18不符合三角形的三邊關(guān)系，∴綜上所述，腰長為12cm；故答案為：12cm．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與三角形的三邊關(guān)系，注意要分類討論以及驗證三角形的三邊關(guān)系看是否符合題意．17．（2020·廣東中山一中八年級期中）如圖，中，，AD平分，點(diǎn)E線段BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若，則的周長是___．【答案】24cm【分析】由AB=AC，AD是△ABC的角平分線，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得BD=CD，又由點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，可得AC=CE，繼而可得AB=CE，則可得△ABC的周長為2DE．【詳解】解：∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上∴AC=CE∵AB=AC，AD平分∠BAC∴BD=CD∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE∵DE=12cm∴AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=2×12=24cm即△ABC的周長等于24cm故答案為：24cm．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．18．（2020·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第三中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度．【答案】70【分析】先利用HL證明△ABE≌△CBF，可證∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.【詳解】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案為70.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題20．（2020·江蘇工業(yè)園區(qū)·）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求證：DE=2AB．【分析】取ED的中點(diǎn)O，連接AO，可證得∠AOE=2∠D，∠EBC=∠D，∠AOE=2∠EBC，可得∠ABD=∠AOB，AB=OA，可證得結(jié)論.【詳解】證明：取ED的中點(diǎn)O，連接AO，∵∠CAD=90°，∴OD=AO=OE，∴∠AOE=2∠D，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠D，∴∠AOE=2∠EBC，∵∠ABD=2∠EBC，∴∠ABD=∠AOB，∴AB=OA，∴DE=2AB=2OA．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于作出斜邊DE上的中線,求證OA=AB即可.21．（2020·三臺縣潼川初級中學(xué)校八年級月考）如圖，△ABC中，AC的中垂線交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，判斷△ABC的形狀，并寫出理由．【答案】△ABC是直角三角形【分析】連接CD，根據(jù)題意得到AD=BD=CD，得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可判斷．【詳解】△ABC是直角三角形，理由如下：連接CD，如下圖所示：∵AC的中垂線交AB，AC于點(diǎn)D，E∴CD=AD∴∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)∴BD=AD∴CD=BD∴∵∴即∴△ABC是直角三角形故答案為：△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記等邊對等角，等角對等邊是本題的關(guān)鍵．22．（2018·無錫市第一女子中學(xué)中考模擬）四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=120°，求證：BD=AD+CD．【分析】首先延長AD到E，使DE=DC，連接CE，由∠ADC=120°，可得∠1=60°，再有DE=DC可根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊角形證出△DEC是等邊三角形，同理證出△ABC也是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：AB=CB，DC=CE，∠3=∠4=60°，進(jìn)而得到∠BCD=∠ACE，再證明△BCD≌△ACE，得出BD=AE，由AE=AD+DE，DE=DC進(jìn)行等量代換可得BD=AD+CD．【詳解】證明：延長AD到E，使DE=DC，連接CE，∵∠ADC=120°，∴∠1=180°?120°=60°，∵DC=DE，∴△DEC是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊角形)，∴DC=CE,∠4=60°，∵∠ABC=60°，AB=CB，∴△ABC是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊角形)，∴AC=CB,∠3=60°，∴∠3=∠4=60°，∴∠3+∠5=∠4+∠5，即：∠BCD=∠ACE，∵在△BCD和△ACE中：，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD=AE(全等三角形對應(yīng)邊相等)，∵AE=AD+DE=AD+DC，∴DB=AD+DC.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.23．（2019·湖南開?！っ鞯氯A興中學(xué)八年級月考）已知等腰三角形的周長為32.（1）寫出底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)解析式；（2）求當(dāng)x10時，三角形的面積【答案】（1）y=32﹣2x；（2）48.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義直接寫出函數(shù)解析式即可；（2）先求得底邊長，再利用勾股定理求得高的長，然后利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由題意可得底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)解析式為：y=32﹣2x；（2）當(dāng)x=10時，y=32﹣20=12，則底邊上的高=，故三角形的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義與性質(zhì)，函數(shù)的解析式，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn).24．（2019·廣東梅縣·八年級期末）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn).求證：.【分析】首先根據(jù)HL證明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC=∠EBD，然后根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)即可證明．【詳解】解：證明：∵.∴∵∴在中與中，∵,∴（HL）∴,∴（三線合一）.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得出∠EBC=∠EBD，是解題的關(guān)鍵．25．（2020·江西南昌·八年級期中）已知：如圖所示，在中，平分，求證：．【分析】在AB上截，連結(jié)DE，則可證得，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可證得△BDE為等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得結(jié)論．【詳解】證明：在AB上截，連結(jié)DE，在△ADE和△ACD中，，，，∵∴，又，，，【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在AB上截構(gòu)建全等三角形．26．（2021·平頂山市第四十二中學(xué)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：AB＝DC；(2)試判斷△OEF的形狀，并說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）等腰三角形，理由見解析【詳解】證明：（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝DC．（2）△OEF為等腰三角形理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF為等腰三角形．27．（2021·全國八年級專題練習(xí)）如圖1，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接CE、BD、CD，∠BDC＝60°．（1）①求證BD＝CE；②求∠DCE的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，連接DP，求的值．【答案】（1）①見解析；②120°（2）【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明線段及角相等，從而證明BD=CE；②通過角度的轉(zhuǎn)換，∠DCE=180°-（∠CDE+∠CED）；（2）延長DP到K使PD=KP，連接CK作等邊三角形DMC，連接AM，利用三角形全等證明線段相等．【詳解】（1）①∵△ADE和△ABC為等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE；②∵△BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB，∴∠AEC+∠CED=60°，∴∠ADB+∠CED=60°，∵∠CBD=∠ADE=60°，∴∠ADB=∠CDE，∴∠CDE+∠CED=60°，∴∠DCE=120°；（2）延長DP到K使PD=KP，連接CK作等邊三角形DMC，連接AM，

在△DPB和△KPC中，∴△DPB≌△KPC(SAS)，∴CK∥BD，CK=BD，DK=2PD，與①同理得△DAM≌△DEC，∴CE=AM，由①得BD=CE，∴AM=CK，∠AMD=∠ECD=120°，∵CK∥BD，∴∠DCK=120°，在△KCD和△AMD中，∴△KCD≌△AMD(SAS)，∴AD=KD，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．28．（2021·山東牡丹·）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．（l）求證：BE＝CE；（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC＝45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：AE＝BC．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD垂直平分BC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BE=CE；

（2）判斷出△ABF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF=BF，根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD垂直平分BC，

∴BE=CE；（2）證明：∵BF⊥AC，∠BAC=45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，∴△AEF≌△BCF（ASA），

∴AE=BC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2019·河南信陽·八年級月考）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段AC上由點(diǎn)A向點(diǎn)C以的速度運(yùn)動若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B、A同時出發(fā)．經(jīng)過2秒后，求證：≌若的周長為18cm，問經(jīng)過幾秒鐘后，為等腰三角形？【答案】經(jīng)過1秒或秒或秒時，是等腰三角形．【分析】經(jīng)過2秒后，，則，，結(jié)合已知可得，，，即可根據(jù)SAS可證得≌．由≌可得，再根據(jù)三角形的外角即可得證．可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為是等腰三角形，則可知，，，，再根據(jù)的周長為18cm，得出,當(dāng)為等腰三角形時，分三種情況從而求得t的值即可．【詳解】解：當(dāng)P，Q兩點(diǎn)分別從B，A兩點(diǎn)同時出發(fā)運(yùn)動2秒時，有，，則，，是AB的中點(diǎn)，，，，又中，，，在和中，，≌≌設(shè)當(dāng)P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)運(yùn)動t秒時，有，的取值范圍為，則，，的周長為18cm，

，要使是等腰三角形，則可分為三種情況討論：當(dāng)時，則有解得：當(dāng)時，則有解得：當(dāng)時，則有解得：三種情況均符合t的取值范圍．綜上所述，經(jīng)過1秒或秒或秒時，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．30．（2019·全國八年級課時練習(xí)）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的中點(diǎn)，請按要求作出滿足條件的△ABC圖形并證明：DE＝DF；(2)如圖①，若點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，求證：BE＝AF；(3)若點(diǎn)E、F分別為AB、CA延長線上的點(diǎn)，且DE⊥DF，那么BE＝AF嗎？請利用圖②說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE＝AF，見解析．【分析】（1）畫圖并證明△AED≌△AFD，可得DE＝DF；（2）如圖①，證明△BDE≌△ADF，可得BE＝AF；（3）如圖②，證明△EDB≌△FDA，可得BE＝AF．【詳解】（1）如圖，連接AD．∵∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴∠EAD＝∠FAD．∵點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的中點(diǎn)，∴AEAB，AFAC．在△AED和△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF；（2）連接AD，如圖①所示．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∠B＝45°．∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴ADBC＝BD，∠FAD＝45°．∵∠BDE+∠EDA＝90°，∠EDA+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF．在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（3）BE＝AF．證明如下：連接AD，如圖②所示．∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°．∵∠EDB+∠BDF＝90°，∠BDF+∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA．在△EDB和△FDA中，∵，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE＝AF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線、構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．31．（2019·重慶市育才中學(xué)八年級期中）已知等腰三角形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一動點(diǎn)連接、，且．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，、、三條線段還滿足（1）中的結(jié)論嗎？若滿足，則直接證明；若不滿足，請寫出結(jié)論并證明．【答案】（1）見解析；（2）不滿足（1）中的結(jié)論，，證明見解析．【分析】（1）連接AD，設(shè)AF交DE于G，通過證明≌（AAS），得出BE=AF，即可得出結(jié)論；

（2）連接AD，取AC的中點(diǎn)G，連接DG，通過證明≌（AAS），得出AE=GF，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）連接，設(shè)交于，如圖所示，∵，，∴，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，，，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴≌（AAS），∴，∵，，∴．（2）不滿足（1）中的結(jié)論，，理由如下：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，∵，，∴，，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，，∴，，即是等邊三角形，∴，，∴，，同（1）得，在和中，，∴≌（AAS），∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．32．（2019·河南鄭州·八年級月考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，將△ABC沿BC翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，點(diǎn)P是射線上的一動點(diǎn)，以AP為邊在其右側(cè)作等邊△APQ．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，連接DQ，BP與DQ的數(shù)量關(guān)系是，DQ與AC的位置關(guān)系是.（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長線上時，(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請補(bǔ)全圖2，并說明理由．若不成立，請說明理由．【答案】（1）BP=DQ；DQ⊥AC（2）成立，理由見解析；【分析】（1）連接AD，證明△ABP△ADQ,可得BP=DQ；延長DQ交AC于點(diǎn)M，利用等