2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點(diǎn)突破專(zhuān)題09冪函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1專(zhuān)題09冪函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)模塊一：冪函數(shù)1.冪函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．2.冪函數(shù)的圖象當(dāng)分別為，，，，時(shí)，冪函數(shù)圖象如下圖：3.冪函數(shù)的性質(zhì)⑴全部的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)；⑵假如，則冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)；⑶假如，則冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地靠近軸．當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地靠近軸．⑷冪函數(shù)的奇偶性確定冪函數(shù)過(guò)的象限．奇函數(shù)過(guò)一、三象限；偶函數(shù)過(guò)一、二象限；非奇非偶函數(shù)只過(guò)第一象限．⑸當(dāng)為負(fù)奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象在第一、三象限，但不過(guò)原點(diǎn)；⑹當(dāng)為正分?jǐn)?shù)時(shí)，設(shè)為（，是互質(zhì)的正整數(shù)）．①假如，都是奇數(shù)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象過(guò)第一、三象限及原點(diǎn)；如是奇函數(shù)，圖象為：②假如是偶數(shù)，為奇數(shù)，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，圖象在第一象限及過(guò)原點(diǎn)；如是非奇非偶函數(shù)，∴圖象只在第一象限，即③假如為奇數(shù)，為偶數(shù)，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖象過(guò)第一、二象限及原點(diǎn)．如是偶函數(shù)，圖象為：⑺當(dāng)為負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí)，設(shè)為（，是互質(zhì)的正整數(shù)）．①假如，都是奇數(shù)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象在第一、三象限；②假如為偶數(shù)，為奇數(shù)，冪函數(shù)的圖象只在第一象限；③假如為奇數(shù)，為偶數(shù)，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖象在第一、二象限．如是偶函數(shù)，圖象為考點(diǎn)1：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)例1.（1）已知是冪函數(shù)，求的值.【解答】（2）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值是A．或 B． C． D．【解答】解：冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則，解得．故選：．模塊二：函數(shù)的零點(diǎn)1.函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，假如函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩俸瘮?shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．④零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)（函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò)x軸，則稱(chēng)這樣的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)）．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．考點(diǎn)2：函數(shù)的零點(diǎn)推斷例1.（1）設(shè)．則在下列區(qū)間中，使函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是A． B． C． D．【解答】解：（1），（2），（1）（2），則在內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn)，故選：．例2.（1）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．如圖，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)意題意；聯(lián)立，得．由△，得．若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．（2）設(shè)函數(shù)，．若存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【解答】解：由題意可得有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象和直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得，即；當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得，即，可得時(shí)，直線(xiàn)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故答案為：，．例3.已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【解答】解：依據(jù)題意，函數(shù)，若，解可得或，若，即，即，解可得，若，即，即，解可得或，則函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；故答案為：3課后作業(yè)：1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)是增函數(shù)，（1），（2），（1）（2），的零點(diǎn)所在區(qū)間為．故選：．2．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則的解等價(jià)于函數(shù)與圖象在時(shí)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)與圖象如下：由圖可知，此時(shí)兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，故時(shí)，有一個(gè)解，綜上共兩個(gè)零點(diǎn)．故選：．3．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)與的圖象，知