2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何大題 專項(xiàng)練習(xí)

高考大題專項(xiàng)(四)立體幾何

1.

如圖，點(diǎn)C是以為直徑的圓。上異于46的一點(diǎn),直角梯形比施所在平面與圓。所在平面垂直,

且DE//BC,DCLBC,DE《BC2AC=CD^>.

⑴證明：￡?！ㄆ矫?切；

⑵求點(diǎn)￡到平面力初的距離.

2.

如圖，在四棱錐P-ABCD中,平面/閱9_1_平面PAD,AD//BC,AB=BC=AP^AD,ZADP=30°,ZBAD=90

(1)證明：外，陽；

(2)設(shè)點(diǎn)〃在線段PC上,且PM^PC,若△如C的面積為望,求四棱錐P-ABCD的體積.

JJ

3.

如圖,在長方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)公夕分別在棱DEK,BB,上且2龐9,BFqFB\.

⑴證明：點(diǎn)。在平面/第內(nèi)；

⑵若AB2AD=1,44瑪求二面角A-EF-Ax的正弦值.

4.如圖,在三棱錐產(chǎn)-/優(yōu)■中，底面是邊長為4的正三角形,PA2為，平面ABC,點(diǎn)E,尸分別為AC,PC

的中點(diǎn).

(1)求證:平面龐足L平面PAC-,

(2)在線段以上是否存在點(diǎn)G,使得直線AG與平面次所成的角的正弦值為當(dāng)?若存在,確定點(diǎn)G

的位置;若不存在,請說明理由.

5.

《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的

三棱柱稱為塹堵;陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉牖指四個面均為直角三角形的

四面體.如圖在塹堵ABC-ABC中,ABLAC.

⑴求證：四棱錐B-AACG為陽馬；

(2)若C￡=BC畛,當(dāng)鱉席GT園體積最大時,求平面48c與平面A.BG的夾角的余弦值.

6.已知三棱錐尸T及7(如圖1)的平面綻開圖(如圖2)中，四邊形加力為邊長等于他的正方形,小ABE

和均為正三角形,在三棱錐P-ABC中：

圖1圖2

⑴證明：平面處平面ABC;

(2)若點(diǎn)〃在棱PA上運(yùn)動，當(dāng)直線砌與平面R1C所成的角最大時,求二面角2-8C-〃的余弦值.

7.如圖1,已知四邊形6a應(yīng)為直角梯形，/BWQ；BE〃CD,且BE丸CD丸BC2A為BE的中點(diǎn)，將△

EDA沿4?折到位置(如圖2),連接PC,如構(gòu)成一個四棱錐P-ABCD.

⑴求證如；

(2)若陽_L平面

①求二面角B-PC-D的大小;

②&棱戶。上存在點(diǎn)可滿足麗=兒麗(0W才W1),使得直線川與平面次所成的角為45°,求A

的值.

8.

如圖,在四棱錐P-ABCD中,為，平面ABCD,底面/灰力是菱形,PA=AB畛,ZBAD=60°.

⑴求證：直線應(yīng)LL平面AC;

(2)求直線期與平面陽〃所成角的正切值；

(3)設(shè)點(diǎn)〃在線段PC上,且平面儂'與平面儂夾角的余弦值為怖求點(diǎn)〃原委面48切的距離.

9.如圖，在三棱柱ABC-4BC中，〃是正方形尚出6的中心,AA^y/2,G〃，平面AABB,且QH=辨.

(1)求異面直線/C與AB所成角的余弦值；

(2)求二面角的正弦值；

⑶設(shè)N為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在平面44出8內(nèi)，且施比平面ABG,求線段陽的長.

10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面/閱9是平行四邊形,AB=AC=2,AD之?PB=^Z,PBLAC.

(1)求證:平面用反L平面PAC-,

(2)若/期4N5°,試推斷棱用上是否存在與點(diǎn)己/不重合的點(diǎn)區(qū)使得直線黨與平面陽C所成角

的正弦值為日,若存在,求出言的值;若不存在,請說明理由.

參考答案

高考大題專項(xiàng)(四)立體幾何

⑴證明取8c的中點(diǎn)四連接翻形在△/回中，。是48的中點(diǎn)，〃是比■的中點(diǎn)，.：*〃陽/“平面

EMO,次七平面EMO,故/C〃平面MEO.

在直角梯形BCDE中,DE//CB,且DE=CM,

.:四邊形加須是平行四邊形，

/.EM//CD,同理"〃平面EMO.

又(7?nAC=C,故平面用加〃平面ACD,又「成七平面EMO,.：￡〃〃平面ACD.

(2)：26是圓。的直徑，點(diǎn)。是圓。上異于48的一點(diǎn)，???ACLBC.

又：'平面宛陽J_平面ABC,平面BCDEC平面ABC=B&

,"C_L平面BCDE,

可得AC是三棱錐力-"/的高.在直角梯形BCDE中,SMDE^DEXCD^X2X3=3.設(shè)￡到平面ABD

的距離為h,則VE-ABD=VA-EBDi即回*h=^S!\EBD?AC,

由已知得46=5,BD^>,AD哥也

由余弦定理可得cos//初=||,貝I]si：嚼,貝I]Sx扃AB?肱in//劭考.解得"界即

點(diǎn)￡到平面9的距離為寥.

2.⑴證明了平面平面PAD,ZBAD=90°,."6_L平面PAD,.,.ABLPD,在△序。中，:AP《AD,Z

ADP=30°,.:由正弦定理可得sin//卯=；sinN4少，

；./APD00°,

.：PD1PA.

又API/吐，.：如_L平面PAB,

；.PD，PB.

⑵解取加的中點(diǎn)E連接CF,PF,設(shè)AD^a,則AB=BC=AP=a,PD=?,則PB=PC=@a,

.：△小為等腰三角形,且底邊及;上的高為

:PM《PC,△戚的面積為孥,二△PBC的面積為",

1/7

2aX解得a2

四棱錐P-ABCD的體積為:x；x(2⑷X2x乖畛木.

3.解設(shè)AB=a,AD=b,AA=c,如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz.

(1)證明：連接GF,則

C\（0,0,0）,A（a,b,c）,a,0,資），伍子）,E4=（0,b,§c）,C/=（0,A?c）,得E4=C\F,

因此應(yīng)1〃GF即4￡,區(qū)G四點(diǎn)共面,

所以點(diǎn)G在平面/斯內(nèi).

(2)由已知得4(2,1,3),￡(2,0,2),M0,1,1),A(2,1,0),荏=(0,-1,T),布二(-2,0,-

2),標(biāo)二(0,T,2),布二(—2,0,1).

設(shè)ni=(x,y,z)為平面4砂的法向量，

(nvAE=0,

則n^AF=0,

(-y-z=0,

即1-2%-2z=0,

可取-1,1).

設(shè)m為平面4歐的法向量,

nAiE=0,

2同理可取112二&,2,1.

則TI2A1F=0,

因?yàn)閏osa,m，=箭=耳,所以二面角A-EF-Ar的正弦值為半.

4.⑴證明多乙￡為〃的中點(diǎn)，

.\BELAC.

又A_L平面ABC,龐u平面ABC,

：.PAVBE.

VPA^AC=A,.:龐_L平面為C

:平面BEF,

.：平面龐?L平面PAC.

⑵解存在.如圖，由⑴知，陽，班以，陽點(diǎn)Eb分別為陽凡■的中點(diǎn)，.,.EF//PA,：.EFVBE,EFV

AC,又BELAC,；.EB,EC,"兩兩垂直,分別以麗，麗，方方向?yàn)閤軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

貝U4(0,-2,0),9(0,-2,2),6(2雜,0,0),C(0,2,0),麗=(一29,-2,2),荏=(29,2,0),設(shè)

前次前二(-2圾，-2九24)，Ae[0,1],

：■AG=AB+前=(2鄧(D,2(1T),21),前=(-2信2,0),PC=(0,4,~2),設(shè)平面PBC的法

(nBC=0,_f-2#x+2y=0,人

向量n=(x,y,z),貝“n,正=0,'[4y-2z=0,令x=l,貝!Iy=#,z=2#,.：n=(l,2^/3).

什=糜城inAi

由已知5砌可，則飛--4a6(1-毋+4戶解得兒=2或訶(舍去),故故線段加上存在點(diǎn)G,

使得直線/G與平面小所成的角的正弦值為羋，此時G為線段期的中點(diǎn).

5.⑴證明：底面先平面/比；：.A^AX.AB.

."瓦L平面ACGA,

又四邊形/GG4為矩形，

.：四棱錐8T/CG為陽馬.

(2)解:ABLAC,BC2

又：7Z；_L底面ABC,

■■VC1.ABC=\ac\AB-AC^-AB-AC<冷=|；當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=^,匕-加取最大值.

：28_L/G4/_L底面ABC,

.：以力為原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則

8（也,0,0）,C（0,50）,4（0,0,2）,G（0,52）,布=（衣,0,-2）,銃=（-衣,衣,0）,而=（0,50）,

niAiB=0,?-2zi=0,

設(shè)面48C的一■個法向量m=（xi,幾zi）,由oBd=0人」（-=0,得1）,

n2AxB=0,.（A/2X2-2z2=0,

設(shè)平面A\BC\的法向量是112=（蒞,yi,Zi）,由九2工1。1=0"b泛、2=0,

得m=（也,0,1）.

./、/1"2715

..cos<hi,n2>i^=—,

故平面4以與平面4小夾角的余弦值為等.

6.

⑴證明設(shè)〃的中點(diǎn)為a連接做產(chǎn)〃

由題意,得PA=PB=PC=&,PO=1,AO=BO=CO=\.

因?yàn)樵凇鳛镃中，身盟。為“'的中點(diǎn)，所以RUC

因?yàn)樵凇鲬?中，PO=\,OB=1,PB=?即Pd+O^=P^,所以POLOB.

因?yàn)?mOB=O,AC,如在平面ABC^,所以尸O_L平面ABC,因?yàn)槭?t平面PAC,所以平面序人平

面ABC.

⑵解由⑴知,BOLPO,BOLAC,即60,平面PAC,所以/掰9是直線題與平面以C所成的角，且tan

B0]

N剛％而=麗,所以當(dāng)加最短時，即〃是PA的中點(diǎn)時，N倒川最大.由尸0,平面ABC,OBVAC,所以

P010B,P010C,故以0C,OB,8所在直線分別為x軸,p軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),。(1,0,0),8(0,1,0),4(—1,0,0),尸(0,0,1),"J°，?，麗二(1,T,0),玩二(1,0,-

1),MC=0,J.

m前=0,fxi-yi=0,

設(shè)平面仞%的法向量為in=(xi,幾Zi),則m-MC=0所以3%i-Zi=0.

fn-BC=0,

令xi=lf得yi=l,為=3,即m=(l,1,3).設(shè)平面心。的法向量為/(松丹,勿)，則[九.正=o,所以

52-丫2=。，

[x2-z2=0.

令x2=lf得刃=1,勿=1,即n=(l,1,1).

mn55y/33

cos<n,|m||n|J33=3o3o.

因?yàn)槎娼鞘?CW的平面角是銳角，故二面角2-8CW的余弦值為嘎

7.⑴證明在題圖1中，：AB〃CD,AB=CD,.：四邊形/反方為平行四邊形，

.".AD//BC.:NB幫；；.ADLBE.

當(dāng)△被4沿四折起時，

ADVAE,.".ADVAB,ADLPA.

VABHPA=A,/8u平面PAB,以u平面PAB,平面PAB,

「眸平面PAB,/.ADLPB.

⑵解⑦由于⑸，平面ABCD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以仍AD,AP為x軸,y軸，2軸,建立空間直角

坐標(biāo)系,則力(0,0,0),6(1,0,0),CQ,1,0),A0,0,1),2(0,1,0),PC=(1,1,-

1),就=(0,1,0),反二(1,0,0),

設(shè)平面W的法向量為n=(x,y,z),

(PCn=0,fx+y-z=0.

叫近九=o/ly=o,

取z=l,得n=(l,0,1),

設(shè)平面尸C力的法向量m=(&6,c),

\mPC=0,fa+h-c=0,

貝“7n?反=0/I。=0,取斤1,得m=(0,1,1),

設(shè)二面角6-比為的大小為9,由圖可知9為鈍角，則cos”需=-￡區(qū)=1，?:夕=120°.

.：二面角6-R7乜的大小為120°.

②而二(0,0,1),PC=(1,1,-1),

AM=AP+PM^(0,0,1)+^(1,1,-1)=(A,2,l-4),0WXWl,

平面小的法向量n=(l,0,1),

\AM-n\|A+1-A|平

:?直線砌與平面小所成的角為45°,.：sin45°=/cos(俞,n)/=扁二=反廬”而不=Z

2

解得4=0或4=§.

8.(1)證明由菱形的性質(zhì)可知劭，/G

由線面垂直的定義可知BDLAP,且APOAC=A,由線面垂直的判定定理可得直線劭_1平面PAC.

⑵解以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,m方向?yàn)閥軸,z軸正方向,如圖所示,在平面48CD內(nèi)與垂直的方

向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,則

戶(0,0,2),8(信1,0),。(0,0,0),2(0,2,0),

則方=(陰,1,-2),平面PAD的法向量為m=(l,0,0),

設(shè)直線期與平面處。所成的角為9,

,—,同叫=理拈sine聲聲

則sin夕=/cos<PB,m>/［函附一眄"sd=乖tan"何=7=飛-?

(3)解由于9(0,0,2),。(收,3,0),月(避,1,0),4(0,0,0),麗=(9,3,-2),荏=(0,-

2,0),而二(避,1,0),方二(書,1,-2),兩“麗=(圾,3A,-

24)(0W4<1),而=麗+而=(8-內(nèi)，1-34，24-2),貝!］點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(我,3九-2才+2),設(shè)

(n\CB=0,

平面加的法向量為m=(xi,幾句)，則11.麗=o,所以

-2yl=0,

［(遮.732)X1+(1-3A)yi+(2A-2閉=0,

所以m=(2,0,鄧).

(Y12-AB=0,

設(shè)平面MBA的法向量為m=(范,姓,%)，則1n2.麗=0,所以

：2+=°,

-通l）%2+（1-3A）y2+（2A-2）Z2=05

所以s=（l,-收翔

平面奶C與平面MBA夾角的余弦值為/

2+為

5

故"'?J1+3+慈~T

整理得14—1914R,解得才［或入今由點(diǎn)〃的坐標(biāo)易知點(diǎn)〃原委面能力的距離為1或搟

9.解如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系，以8為坐標(biāo)原點(diǎn),屈所在直線為x軸,陽所在直線為y軸，由

題意,B（0,0,0）,4（2嫄,0,0）,C（也,-*木）,4（2?2也,0）,氏（0,2?0）,Q（也*隔,

ACAiBi4#

⑴前=（-也，-心出），4止1=（-2々,0,0）,所以cos<AC,AXBX>=荻9=石，所以異面

函而

直線〃與AB所成角的余弦值為今

⑵易知AAi=（O,2",0）,AiJ=（-也，-收祖），AiBi=（-2也,0,0）,設(shè)平面加4的法向量

pn4cl=or-A/2%1-+&Z1=0,

m二（xi,幾幻），貝,如菽=°,囚（2"yi=0,

令xi=y/5,則Zi=",所以m=c遙0,@,同理,設(shè)平面BiAiG的法向量n=（x2,y2,z2）,則

n-A\C\=0,

n-A\B\=0,

（-A/2%2-點(diǎn)丫2+木Z2=0,

即1-2*^2—0,

令y2二平,則Z2二",所以n=（0,所以cos<m,n）焉上療"=：,設(shè)二面角ZTiG_fl的

大小為9,

則sin0-jl-=苧,所以二面角A-AGS的正弦值為孚.

⑶最=(也,-M，&),由“為棱8K的中點(diǎn)，得八(答言力，設(shè)〃(a,6,0),則而=(亭-a,孚-

肩