2025高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：概率與分布列歸類（原卷版）

培優(yōu)沖刺08概率與分布列歸類

2

優(yōu)題型大集合

目錄

題型一:正態(tài)分布含參型................................................................1

題型二：二項(xiàng)分布型求參................................................................2

題型三：二項(xiàng)分布與正態(tài)分布綜合........................................................3

題型四：圖標(biāo)型分布列基礎(chǔ)..............................................................4

題型五：比賽模式......................................................................5

題型六：射擊模型......................................................................5

題型七：雙盒子換球模式................................................................6

題型八：取球模式......................................................................7

題型九：三人比賽模式..................................................................7

題型十：馬爾科夫鏈基礎(chǔ)型..............................................................8

題型十一：馬爾科夫鏈綜合..............................................................9

題型十二：馬爾科夫鏈：機(jī)器人一維游走模型............................................10

題型十三：求導(dǎo)型分布列...............................................................12

題型十四：分布列第19題壓軸型題......................................................13

題型一：正態(tài)分布含參型

正態(tài)分布概念與性質(zhì)：

1(%—4)2

(1)若X是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為/(x)=^^e2拼,XGR(其中小。

，2乃a

是參數(shù)，且b>0,-8<〃<+8)。

其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：

①曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x=〃對(duì)稱；

②曲線在x=〃處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時(shí)，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；

③曲線的形狀由b確定，b越大，曲線越“矮胖”，b越小，曲線越“高瘦”；

④/(x)圖像與x軸之間的面積為1.

圖13-7

(2)與=〃,4,記作J?NJ,").

當(dāng)〃=o,b=l時(shí)，4服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作4?N(O,1).

(3)J~N(〃,O-2),則&在(〃一cr,〃+cr),(〃一2cr,〃+2cr),(〃一3b,〃+3cr)上取值的概率分

別為68.3%,95.4%,99.7%,這叫做正態(tài)分布的3cr原則。

1.(22-23高三上?江蘇南京)已知隨機(jī)變量且

P(|X-4<1)+尸(|X-2"N1)+P(〃+1VX<2〃+1)=1,則〃=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2022?江蘇常州?模擬預(yù)測(cè))已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布若函數(shù)f(x)=P(xV"x+2)是偶

函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=()

A.0B.；C.1D.2

3.(22-23高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(3,4),且尸(曲一3上0)，=2尸偌420),

則”=()

14

A.gB.1C.-D.3

23

4.(2024高三?全國專題練習(xí))設(shè)*~儆1,辦其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且外心3)-0.0228,那么

向正方形0/16。中隨機(jī)投擲20000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()

[附隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布ML介貝UR〃-cvf<〃+o)R.6826,R〃-2cv<f<〃+2o)=0.9544]

C.14056D.7539

題型二：二項(xiàng)分布型求參

二項(xiàng)分布：

若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為P(0<;?<1),則在〃次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生4次概率0(4=氏)=

CpkQ—p)i(k=0,1,2,…,叫,稱孑服從參數(shù)為〃,p的二項(xiàng)分布，記作4-B(n,p),E^=np

Dx-npq.

1.（陜西省延安市寶塔區(qū)第四中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（伯努利試驗(yàn)）中，若

每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為〃則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布3（”,p）,事實(shí)上，在伯努利試驗(yàn)

中，另一個(gè)隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛,即事件A首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)Y,顯然尸（￥=%）=p（l-p）z,

k=l,2,3,我們稱y服從“幾何分布”，經(jīng)計(jì)算得叮=5.據(jù)此，若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

時(shí)，且相應(yīng)的“幾何分布”的數(shù)學(xué)期望則〃的最小值為（）

A.6B.18C.36D.37

2.（福建省廈門外國語學(xué)校2022-2023學(xué)年模擬數(shù)學(xué)試題（1）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（“,。），且

9

E（X）=9,D（X）=；,貝IJ"=（）

4

A.3B.6C.9D.12

3.（山西省呂梁市柳林縣部分學(xué)校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）設(shè)隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布3（",°）,若

E?=L2,Dq）=0.96,則實(shí)數(shù)，，的值為.

題型三：二項(xiàng)分布與正態(tài)分布綜合

離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)

（1）離散型隨機(jī)變量J的分布列

40???

PPl2。3Pn

@3</?,.<l（l<z<n,ze^*）；

②。1+0+P”=l?

（2）紇表示自的期望：紜也+~+4以，反應(yīng)隨機(jī)變量的平均水平，若隨機(jī)變量鼻〃滿足

r）-a^+b,貝IJ紇=aE&+b.

（3）2表示j的方差：？=（。g）2口+值-EJ02++（￡-EJP”，反映隨機(jī)變量4取值的波動(dòng)

性。？越小表明隨機(jī)變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機(jī)變量〃滿足〃=aj+b,則與=。2與。

1.（2024天津南開,一模）已知隨機(jī)變量X~N3b2）,y~8（6,p）,且尸（XN4）=；,E（X）=E（Y）,貝”=

2.（22-23高三廣西河池?）已知隨機(jī)變量X,y,X~d4,；］,Y~N（〃,b2）,且E（F）=8尸（X=2）,又

尸（瓊0）=尸（y/+2）,則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.0或2B.2C.-2或2D.-2

3.（22-23湖南常德?階段練習(xí)）已知兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,其中X~B（8,；）,若〃=E（X）,

p（y<o）=o.2,則尸（4wy<8）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

4.（22-23山西呂梁模擬）已知隨機(jī)變量X,y,X~?6,；1y~N（〃,b2）,且E（X）=E（Y）,又

P（Y<-3m）=P（Y>m2）,則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.T或4B.-154或1D.5

題型四：圖標(biāo)型分布列基礎(chǔ)

求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：

（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；

（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；

（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如

超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）.

1.（遼寧省錦州市遼西育明高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生

的美育教育，某校開展了傳統(tǒng)藝術(shù)書畫知識(shí)趣味競(jìng)賽活動(dòng),一共3題，答題規(guī)則如下，每隊(duì)2人，其中1人

先答題，若回答正確得10分，若回答錯(cuò)誤，則另一人可補(bǔ)答，補(bǔ)答正確也得10分，得分后此隊(duì)繼續(xù)按同

樣方式答下一題；若2人都回答錯(cuò)誤，則得0分且不進(jìn)入下一題，答題結(jié)束.已知第一隊(duì)含有甲、乙兩名隊(duì)

員，其中甲答對(duì)每道題目的概率為:，乙答對(duì)每道題目的概率為:，每道題都是甲先回答，且兩人每道題

目是否回答正確相互獨(dú)立.甲乙兩人回答正確與否也互相獨(dú)立.

⑴求第一隊(duì)答對(duì)第1題的概率；

⑵記X為第一隊(duì)獲得的總分，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2.（陜西省咸陽市武功縣2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有三關(guān)，只有

一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活動(dòng)的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān),已知第一

關(guān)的通過率為07第二關(guān)通過率為05第三關(guān)的通過率為0.3,三關(guān)全部通過可以獲得一等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金為300

元），通過前兩關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金為200元），如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等獎(jiǎng)，則獎(jiǎng)金可以累加

為500元,假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).

⑴求甲最后沒有得獎(jiǎng)的概率；

⑵已知甲和乙都通過了第一關(guān)，求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元的概率.

3.（貴州省貴陽市五校2023屆高三聯(lián)合考試（五）理科數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校組織“消防”知識(shí)競(jìng)賽，有A,8

兩類題目.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類題目中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一道題回答，若回答錯(cuò)誤則該同

學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)

束.4類問題中的每個(gè)問題回答正確得40分，否則得0分；8類問題中的每個(gè)問題回答正確得60分，否則

得0分已知小明能正確回答A類問題的概率為0.7,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.5,且能正確回答問題

的概率與回答次序無關(guān)

（D若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

⑵為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

題型五：比賽模式

比賽模式思維點(diǎn)：

1.比賽幾局？

2.“誰贏了”；

3.有沒有平局

4.贏了的必贏最后一局；

5.比賽為啥結(jié)束？

6.有沒有“抽簽

1.（廣東省佛山市H7教育共同體2022-2023學(xué)年聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球冠軍爭奪賽，比賽采

取三局二勝制，甲隊(duì)每局取勝的概率為!.甲隊(duì)有一名核心球員，如果核心球員在比賽中受傷，將不能參

加后續(xù)比賽，甲隊(duì)每局取勝的概率降為:，若核心球員在每局比賽受傷的概率為:.

42

⑴在核心球員一直未受傷的條件下，甲隊(duì)以2:0取勝的概率；

⑵甲隊(duì)以2:1取勝的概率.

2.（天津市河西區(qū)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）在某次世界乒乓球錦標(biāo)賽的團(tuán)體比賽中，中國隊(duì)將對(duì)陣韓國

隊(duì).比賽實(shí)行5局3勝制.根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊(duì)在每一局中獲勝的概率都是1.

⑴求中國隊(duì)以3:0的比分獲勝的概率；

⑵求中國隊(duì)在先失1局的前提下獲勝的概率；

⑶假設(shè)全場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,在韓國隊(duì)先勝第一局的前提下，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

3.（河北省邯鄲市六校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）甲、乙兩位圍棋選手進(jìn)行圍棋比賽，比賽規(guī)則如下：比

賽實(shí)行三局兩勝制（假定沒有平局），任何一方率先贏下兩局比賽時(shí)，比賽結(jié)束，圍棋分為黑白兩棋，第

一局雙方選手通過抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從第二局開始，上一局的敗方擁有優(yōu)先選棋權(quán).已知

甲下黑棋獲勝的概率為下白棋獲勝的概率為|,每位選手按有利于自己的方式選棋.

⑴求甲選手以2:1獲勝的概率；

⑵比賽結(jié)束時(shí)，記這兩人下圍棋的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與期望.

題型六：射擊模型

1.打了幾槍？

2.為啥結(jié)束？

3.是否有子彈限制？

4.最終結(jié)束，是因?yàn)樽訌棿蛲?，還是因?yàn)椤巴瓿扇蝿?wù)”

5.有沒有限制：如是“連續(xù)兩槍擊中”（或脫靶）還是“累計(jì)兩槍擊中”（或脫靶）

1.某靶場(chǎng)有A,2兩種型號(hào)的步槍可供選用，其中甲使用A3兩種型號(hào)的步槍的命中率分別為g,；；,

⑴若出現(xiàn)連續(xù)兩次子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊，若擊中標(biāo)靶至少3次，則可以獲得

一份精美禮品，若甲使用8型號(hào)的步槍，并裝填5發(fā)子彈，求甲獲得精美禮品的概率；

⑵現(xiàn)在A3兩把步槍中各裝填3發(fā)子彈，甲打算輪流使用43兩種步槍進(jìn)行射擊，若擊中標(biāo)靶，則繼續(xù)

使用該步槍，若未擊中標(biāo)靶，則改用另一把步槍，甲首先使用A種型號(hào)的步槍，若出現(xiàn)連續(xù)兩次子彈脫靶

或者其中某一把步槍的子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊，記X為射擊的次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期

望.

73

2.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是彳和;假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每

人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.

⑴求甲、乙各射擊一次均擊中目標(biāo)的概率；

⑵求甲射擊4次，恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率；

⑶若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標(biāo)就會(huì)被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率.

3.（上海市進(jìn)才中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分

別為0.4,0.6,0.7.飛機(jī)恰被一人擊中而擊落的概率為0.2,恰被兩人擊中而擊落的概率為0.8,若三人都

擊中，飛機(jī)必定被擊落.

⑴求飛機(jī)恰被一人擊中的概率；

⑵求飛機(jī)被擊落的概率；

⑶已知飛機(jī)被擊落，求三人都擊中飛機(jī)的概率.

題型七：雙盒子換球模式

雙盒子換球模式：

1.過去得是啥顏色球。

2.來的是啥顏色球

3.是同時(shí)換，還是A到B先放再從B到A取

4.換了幾次，為啥結(jié)束

1.（2023.河南新鄉(xiāng).統(tǒng)考三模）現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中4個(gè)

球.

⑴求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率.

⑵已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出i[=L2,3）個(gè)球進(jìn)行交換，記交

換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為X,X的數(shù)學(xué)期望為耳（X）.證明：E1（X）+E3（X）=4.

2.（23-24高三上?廣東湛江?階段練習(xí)）已知有甲，乙兩個(gè)不透明盒子，甲盒子裝有兩個(gè)紅球和一個(gè)綠球，

乙盒子裝有三個(gè)綠球，這些球的大小，形狀，質(zhì)地完全相同.在一次球交換的過程中，甲盒子與乙盒子中

各隨機(jī)選擇一個(gè)球進(jìn)行交換，重復(fù)幾次該過程，記甲盒中裝有的紅球個(gè)數(shù)為X”.

⑴求X2的概率分布列；

（2）求E（X.）.

3.（2023.廣東茂名.二模）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈.馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，

即第〃+1次狀態(tài)的概率分布只跟第"次的狀態(tài)有關(guān)，與第〃-2,〃-3,…次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)

球交換，重復(fù)進(jìn)行“次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為X",甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為?！埃?/p>

有2個(gè)黑球的概率為a.

（1）求X]的分布列；

⑵求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

⑶求X”的期望.

題型八：取球模式

取球模式：

1.一次取幾個(gè)。

2.兩個(gè)以上球，是一次性取出還是一個(gè)一個(gè)取。

3.是否放回。

4.為啥停止取球，停止條件是什么

1.（23-24湖南長沙.階段練習(xí)）某商城進(jìn)行促銷活動(dòng)，購買某產(chǎn)品的顧客可以參加一次游戲：在一個(gè)不透明

箱子中放入紅、藍(lán)、黃三種顏色的小球各1個(gè)，顧客從中有放回地取出小球，直到取出的小球集齊了三種

顏色則停止取球.設(shè)顧客停止取球時(shí)，取過的小球次數(shù)為X,

（1）求P（X=3）；

（2）設(shè)“23,數(shù)列線=尸（X=〃）,求｛叫的通項(xiàng)公式;

⑶顧客停止取球時(shí)，取過的小球次數(shù)為X,顧客可以獲得對(duì)應(yīng)的y元獎(jiǎng)金，其中y=1三1,求證：

3

2.（2024.遼寧大連.一模）一個(gè)不透明的盒子中有質(zhì)地、大小均相同的7個(gè)小球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球，

現(xiàn)采取不放回的方式每次從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，停止取球.

⑴求停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球的概率；

⑵停止取球時(shí)，記總的抽取次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望：

⑶現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)盒子中，甲盒裝3個(gè)小球，其中2個(gè)白球，1個(gè)黑球：

乙盒裝4個(gè)小球，其中2個(gè)白球，2個(gè)黑球.采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中

只剩一種顏色時(shí)，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者

乙盒小球全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為匕求丫的數(shù)學(xué)期望，并從實(shí)際意義解釋X與丫的數(shù)

學(xué)期望的大小關(guān)系.

3.（22-23山東煙臺(tái)?模擬）已知甲、乙兩個(gè)袋子中各裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，

現(xiàn)設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：從甲、乙兩個(gè)袋子中各隨機(jī)取出1個(gè)球，觀察兩球的顏色，若兩球顏色不同，則將兩球

交換后放回袋子中，并繼續(xù)上述摸球過程；若兩球顏色相同，則停止取球，試驗(yàn)結(jié)束.

⑴求第1次摸球取出的兩球顏色不同的概率；

⑵我們知道，當(dāng)事件A與8相互獨(dú)立時(shí)，有P（AB）=P（A）P（3）.那么，當(dāng)事件A與8不獨(dú)立時(shí)，如何表示

積事件的概率呢？某數(shù)學(xué)小組通過研究性學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)如下命題：P（AB）=P（A）P（B|A）,其中P（網(wǎng)A）表

示事件A發(fā)生的條件下事件3發(fā)生的概率，且對(duì)于古典概型中的事件A,B,有尸（叫力=個(gè)才.依據(jù)上

述發(fā)現(xiàn)，求“第2次摸球試驗(yàn)即結(jié)束”的概率.

題型九：三人比賽模式

1.（2020?全國高考真題（理））甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘

汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一

場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終

獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為

（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

2.（2022?黑龍江哈爾濱?高三開學(xué)考試）甲乙丙三人進(jìn)行競(jìng)技類比賽，每局比賽三人同時(shí)參加，有且只有一

個(gè)人獲勝，約定有人勝兩局（不必連勝）則比賽結(jié)束，此人直接贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為

乙獲勝的概率為9，丙獲勝的概率為5，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

44

（1）求甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽的概率；

（2）記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.

3.（2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁四名選手進(jìn)行羽毛球單打比賽.比賽采用單循環(huán)

賽制，即任意兩位參賽選手之間均進(jìn)行一場(chǎng)比賽.每場(chǎng)比賽實(shí)行三局兩勝制，即最先獲取兩局的選手獲得

勝利，本場(chǎng)比賽隨即結(jié)束.假定每場(chǎng)比賽、每局比賽結(jié)果互不影響.

⑴若甲、乙比賽時(shí)，甲每局獲勝的概率為g,求甲獲得本場(chǎng)比賽勝利的概率；

⑵若甲與乙、丙、丁每場(chǎng)比賽獲勝的概率分別為試確定甲第二場(chǎng)比賽的對(duì)手，使得甲在三場(chǎng)

比賽中恰好連勝兩場(chǎng)的概率最大.

題型十：馬爾科夫鏈基礎(chǔ)型

馬爾可夫鏈：

若P（X“+EIx“=i，x口）=P（X“+5Ixq=與，即未來狀態(tài)x.只受當(dāng)前狀態(tài)x”的影響，

與之前的…,X°無關(guān).

1.（23-24高三上?山東威海期末）甲、乙、丙3人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都等可能

地傳給其余2人之一，設(shè)匕表示經(jīng)過"次傳遞后球傳到乙手中的概率.

⑴求匕口；

⑵證明：優(yōu)t是等比數(shù)列，并求尸一

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（Xj=l）=l-P（X，=0）=%,1=1,2,則=.記前“次

Z=1Z=1

（即從第1次到第"次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為y,求E（y）.

2.（23-24高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）籃球是一項(xiàng)風(fēng)靡世界的運(yùn)動(dòng)，是深受大眾喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng).

喜愛籃球運(yùn)動(dòng)不喜愛籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性6040100

女性2080100

合計(jì)80120200

⑴為了解喜愛籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到如上2x2列

聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).

尸（八%）0.1000.0500.0250.0100.001

叫)2.7063.8415.0246.63510,828

2

2_n^ad-bc')

',(a+6)(c+d)(〃+c)(&+d),n=a+b+c+d.

⑵?；@球隊(duì)中的甲、乙、丙三名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可

能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的

人為第1次觸球者，第"次觸球者是甲的概率記為只，即［=1.

①求4(直接寫出結(jié)果即可)；

②證明：數(shù)列］勺為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小

3.(2023?云南昆明,模擬預(yù)測(cè))從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確

定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將

球傳出.

(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵若剛好抽到甲、乙、丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記”次傳球后球在甲手中的概

率為用(〃=L23,…).

①直接寫出鳥，鳥的值；

②求尸向與匕的關(guān)系式(〃N)并求出爪〃N*).

題型十一：馬爾科夫鏈綜合

馬爾科夫不等式

設(shè)X為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為E(X),則對(duì)任意￡>0,均有尸(X2￡)〈C區(qū),

馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的

關(guān)系.

證明：當(dāng)X為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：

設(shè)X的分布列為P(X=%)=R,i=l,2,其中p”(0,+co),%e［0,+8)(i=l,2,則對(duì)任意

1=1

￡>O,P(X*)=EAWE-A='2>加=2過，其中符號(hào)SA表示對(duì)所有滿足士冷的

Xj>eXj>￡￡Xj>￡￡i=l￡x(>￡

指標(biāo)，所對(duì)應(yīng)的a求和.

1.甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若

骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3,則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4,

則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4,則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則丙將球傳給

甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始時(shí)，球在甲手中.

(1)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)投擲九次骰子后(〃eN*),記球在乙手中的概率為心，求數(shù)列｛，/的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)服=^---?-2,求證.4_工<&+玖++-^-<—(neN*)

⑶攻|3p〃-1|本此234d3<+12、>-

2.乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無論

之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為06乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃

的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

3.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布,且P（X,=1）=1—P（X,.=0）=分i=l,2,則

=之l.記前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為F,求E（Y）.

\z=lyi=\

3.（2024屆?武漢高三開學(xué)考）有編號(hào)為1,2,3，…，18,19,20的20個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有2個(gè)黃球1

個(gè)綠球，其余箱子均為2個(gè)黃球2個(gè)綠球，現(xiàn)從第一個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第二個(gè)箱子，再從第二個(gè)箱

子中取出一個(gè)球放入第三個(gè)箱子，以此類推，最后從第19個(gè)箱子取出一個(gè)球放入第20個(gè)箱子，記化為從

第i個(gè)箱子中取出黃球的概率.

（1）求02,/（2）求，20.

題型十二：馬爾科夫鏈：機(jī)器人一維游走模型

一維隨機(jī)游走模型：

設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻￡=0時(shí)，位于點(diǎn)x=i（ieN+）,下一個(gè)時(shí)刻，它將以

概率a或者夕（ae（0,l）,a+，=l）向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)表示：在時(shí)刻/該點(diǎn)位于

位置x=4eN+）,那么由全概率公式可得：

P（X,+l=i）=P（X,=i-l）P（X,+l=i|Xe）+P（X曰JP（X,+l=z

另一方面，由于方XM/XIT）=￡,尸（X,+~|X,*i）=a,代入上式可得：

R=a-P、+[+萬片.「

進(jìn)一步，我們假設(shè)在x=0與x=7〃（根＞0,根eN+）處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游

走.于是，4=0,以=1?隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為。，原地不動(dòng)，其概率為6,向右平

移一個(gè)單位，其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得：

R=aPi+\+bPi+cR[

1.（湖南省長沙市瀏陽市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第六次月考數(shù)學(xué)（理）試題）商品種類齊全、

性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)

據(jù)（其中表示2015年，“產(chǎn)2”表示2016年，依次類推；J/表示人數(shù)）：

X12345

乂萬人）2050100150180

（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬

人；

（2）該公司為了吸弓I網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費(fèi)購物券”活動(dòng)，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)

果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn).若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券500

元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券200元,已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概

率都是工，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一

2

次骰子，遙控車向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動(dòng)一格（從左到上+1）若擲出偶數(shù)遙控車向前移

動(dòng)兩格（從左到上+2）,直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束。

設(shè)遙控車移到第〃（1</<19）格的概率為Pn,試證明｛匕-月-｝是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲

得免費(fèi)購物券金額的期望值.

Zw”一位y

附：在線性回歸方程$=%+6中，g=T----------,a=y-bx.

22

[xz-rix

Z=1

2.（江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)軸上有一只兔子，從坐標(biāo)

x°=O開始，每秒以的概率向正方向跳一個(gè)單位，以（1-P）的概率向反方向跳一個(gè)單位，記兔子

第〃秒時(shí)的位置為馬.

⑴證明:雙玉）20；

⑵記/（"）是表達(dá)式占0（%=0,1,,〃）的最大值，證明：P（"O）>1-丁仆/⑺.

2Zp-i

3.（江西省景德鎮(zhèn)一中2021-2022學(xué)年考數(shù)學(xué)試題）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，

隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值最；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）

⑵根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布N（〃，4）,經(jīng)計(jì)算，（1）中

樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10,用樣本平均數(shù)指作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值，現(xiàn)任抽

取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機(jī)變量X~N（〃，/）,貝U

P（〃一bVXV〃+b）a0.6827,尸（〃-2b4XV〃+2b）a0.9545,尸（〃一3crVX4〃+3b）土0.9973）

⑶該年級(jí)1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí),提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，

特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次小程序中”

玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng)，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎(jiǎng)品,小程序頁面上有一

列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每

次跳1格或跳2格，概率均為依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎(jiǎng)勵(lì)0分）或第

15格（獎(jiǎng)勵(lì)5分）時(shí)，游戲結(jié)束，每天的積分自動(dòng)累加，設(shè)小兔子跳到第〃（14〃414）格的概率為匕，試證

明｛月+1-舄是等比數(shù)列,并求&（獲勝的概率）的值.

題型十三：求導(dǎo)型分布列

1.（22-23高三全國,單元測(cè)試）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MEKS）

和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（ziCoV）是以前從

未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和

呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡,某醫(yī)院為篩查冠

狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有〃（〃eN*）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢

驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)〃次.方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（左eN*且左22）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).

若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這4份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為

陽性，為了明確這％份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這4份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這4份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總

共為Z+1.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是

陽性結(jié)果的概率為「（0<。<1）.現(xiàn)取其中々屋eN*且左i2）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需

要檢驗(yàn)的總次數(shù)為采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為多.

（1）若E（JJ=E催），試求夕關(guān)于々的函數(shù)關(guān)系式P=；

（2）若夕與干擾素計(jì)量%相關(guān)，其中士,々，，匕（〃22）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足玉=1且（〃22）

_1n-lr22_2

都有卷二上成立.

MXtXM尤2-玉

（/）求證：數(shù)列｛%｝等比數(shù)列；

,1

（//）當(dāng)。=1-『時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的

期望值更少，求女的最大值

2.（2023?江西宜春模擬預(yù)測(cè)）超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕

的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，

更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径璉起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷甚

至死亡某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有〃（〃eN*）份血液樣本，每個(gè)

樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)〃次；（2）混合檢驗(yàn)，將其

中左（左eN*且%>2）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，

因而這々份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，?如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這4份血液究竟哪幾份為陽性，

就要對(duì)這％份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這々份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為Z+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，

每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為夕（0<P<D.現(xiàn)取其中

左屋eN*且份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為采用混合檢驗(yàn)方式，

樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為曷.

（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若E信）=￡但），試求戶關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式p=/（Z）；

（2）若Q與抗生素計(jì)量%相關(guān)，其中“演，無“（n>2）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足占=1,對(duì)任意的“eN*

1n—1

(n>2),都有一

i=lxtxMx；-X；

（/）證明：｛%｝為等比數(shù)列；

,1

（//）當(dāng)。=1-『時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望

值更少，求左的最大值.

參考數(shù)據(jù)：ln2a0.6931,In3?1.0986,In4?1.3863,ln5?1.6094,ln6?1.7918,

In7?1.9459,In8?2.0794,ln9=2.1972,In10?2.3026

3..（22-23高三上?河南?階段練習(xí)）超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)

菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐

藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径璉起可怕的炎癥，高燒，痙攣，

昏迷，甚至死亡.

某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每個(gè)樣本取到

的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)”次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中左（左eN

且上22）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這左份的血液全為陰性，因而這％份

血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這4份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這左

份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這4份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)

結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為P（O</7<1）

現(xiàn)取其中％（keN*且左22）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為。，采用混合

檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為^

（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若E（4）=E值），試求關(guān)于上的函數(shù)關(guān)系式P=〃左）；

⑵若P與抗生素計(jì)量x“相關(guān)，其中4W，…，Z（〃22）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足占=1,對(duì)任意的〃eN*（府