2025高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：數(shù)列遞推公式與求和歸類（原卷版）

培優(yōu)沖刺07數(shù)列遞推公式與求和歸類

籍優(yōu)題型大集合

目錄

題型一：數(shù)列型恒成立求參.....................................................................1

題型二：是否存在型求參......................................................................2

題型三：恒成立證明型.......................................................................3

題型四：求和型不等式證明...................................................................3

題型五：數(shù)列不定方程型......................................................................4

題型六：恒成立求參：奇偶討論型.............................................................5

題型七：下標(biāo)數(shù)列............................................................................6

題型八：高斯取整數(shù)列型......................................................................6

題型九：前n項(xiàng)積型不等式恒成立求參.........................................................7

題型十：先放縮再求和型證明不等式............................................................8

題型十一：插入數(shù)型：等差型...................................................................9

題型十二：插入數(shù)列型.........................................................................10

題型十三：新結(jié)構(gòu)19題型壓軸..................................................................11

色筌一大一槎如

題型一：數(shù)列型恒成立求參

分離參數(shù)法基本步驟為：

第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參

數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，

第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解.

第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.

數(shù)列恒成立求參數(shù)關(guān)鍵“坑”：

數(shù)列是以正整數(shù)為“變量”的函數(shù)，所以求最小值時(shí)要注意正整數(shù)的取值范圍

L(河北省邯鄲市部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題)若數(shù)列｛q｝滿足=2%+2"，q,

能為常數(shù).

(1)求證：［/;是等差數(shù)列；

(2)若對任意〃?N*,都有。用＞4,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2..(河北省石家莊二中教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知等比數(shù)列｛4｝滿足。

h+1'

〃1+4+。3=13,且42M3+6,應(yīng)為等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式;

(2)若2=%+Jog3a“+i,Sn=bi+b2++bn,對任意正整數(shù)”，2s“-(9〃+〃?)%>0恒成立，試求加的取值

范圍.

3.(重慶市巫山第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,且4S“=(1+??)2,

數(shù)列間滿足%=含(〃eN*)且々=1.

⑴分別求數(shù)列｛4｝和也,｝的通項(xiàng)公式；

⑵若?！?」一，設(shè)數(shù)列匕」的前"項(xiàng)和為北，且(下-22)ZW〃.d，對任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)2的取

anan+\

值范圍.

題型二：是否存在型求參

一般地，已知函數(shù)y=〃x),xe[a,6],y=g^x),x&[c,d]

不等關(guān)系

⑴若依目初,山€上,田，總有/(%)<g(趣)成立,故"X)1mx〈gUL；

⑵若％e[a,司,BX2e[c,d],有/(%)<8仁)成立,故了⑺1mx<g(x)?1ax；

(3)若叫e[a,b],\/x2G[C,J],有/(%)<g(%)成立,故/⑺0<g(XL；

⑷若叫e[a,b],3X2e[c,rf],有/(%)<g(%)成立，故/⑺―<g(x)一.

1.(上海市敬業(yè)中學(xué)2022屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和為S“，首項(xiàng)為1,已知對任

m

意整數(shù)以巴當(dāng)">心時(shí)，Sn-Sm=q-Sn_m(4為正常數(shù))恒成立.

⑴求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

s

⑵證明：數(shù)列｛「｝是遞增數(shù)列；

⑶是否存在正常數(shù)C,使得｛lg(c-S.)｝為等差數(shù)列？若存在，求出常數(shù)C的值；若不存在，說明理由.

2.(四川省綿陽市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)(文)試題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝的前八項(xiàng)

和為之,且七,5”，端為等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵已知(neN*),是否存在加eN*,使得，他4a也恒成立?若存在，求出根的值；若不

存在，說明理由.

3.(江蘇省南通市如東縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題)已知3是數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和，且4=1,

數(shù)列]，[是公差為g的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛2〃%｝的前〃項(xiàng)和為(，是否存在實(shí)數(shù)f使得數(shù)列1零)成等差數(shù)列，若存在，求出實(shí)數(shù)：的值;若

不存在，說明理由.

題型三：恒成立證明型

數(shù)列與不等式問題要抓住一個(gè)中心一一函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列

的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，

利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理.

1.（2024高三?全國專題練習(xí)）已知在數(shù)列｛%｝中，4=1,點(diǎn)P（24,4+J,“eN*在直線x-2y+2=0上.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)2=',為數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于"的整式g（w）,使得

an

岳+邑++5?_1=（S?-l）-g（n）（n>2,且N*）恒成立？若存在,寫出g⑺的表達(dá)式,并加以證明;

若不存在，請說明理由.

2.（廣西南寧市第八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列｛%｝中，已知4=0,%=6,且對于任意正

整數(shù)w都有q,+2=5*1-6n“.

⑴令2=an+1-2an,求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)機(jī)是一個(gè)正數(shù)，無論m為何值，是否都有一個(gè)正整數(shù)〃使--3〈機(jī)成立.

%

3.（23-24高三上?重慶?階段練習(xí)）已知公比不為1的等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S?,且R，%，生成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛?！埃墓?；

（2）是否存在八s,“N’,且「>s>r，使得5,電總成等差數(shù)列？若存在，求出乙s一的關(guān)系；若不存

在，請說明理由.

題型四：求和型不等式證明

求和型不等式證明：

先求和再放縮，放縮時(shí)，可以直接放縮，可以借助數(shù)列的單調(diào)性放縮。

求和常用方法

1.形如盤=可（等差）+c“（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減

2.形如%（等差比）+%（裂項(xiàng)），用分組求和法，分別求和而后相加減

3.形如4,=2+分（勾，c“為可以求和的常見數(shù)列），用分組求和法，分別求和而后相加減

4.錯位相減法求數(shù)列｛”“｝的前n項(xiàng)和

若&｝是公差為或4片0）的等差數(shù)列,｛￡｝是公比為4（#1）的等比數(shù)歹”,求數(shù)列｛an.bn｝的前n項(xiàng)和S“.

5.常見的裂項(xiàng)技巧：

⑴1-

+k\nn+kJ'

⑵~/==—7=+k-赤）；

7n+k+7nkv）

11J1]

⑶

（2〃-1）（2〃+1）2<2n—12n+lJ

2〃（2"+1-l）-（2"-l）11

（2"-1）（2"+1-1）一（2"-l）（2"+l-1）~T-l2"+1-l

指數(shù)型（”一1）/=4n+l—an,.

（6）對數(shù)型log?！?log.an+l-log.an.

an

1_111

n（n+l]（n+2]2n（n+l}（n+l）（n+2）

nil

⑻（n+1）!n\（〃+l）!

2〃=11

（9）（2向一1）（2"-1）—2〃—12n+1-l

?+2__J________]什

（1。）仆+1）.2"一".2"T-（"+1）.2"寺

1.（山東省德州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為

數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和北=匕-”.

S",53=6,出，%,%成等比數(shù)列,2

⑴求數(shù)列｛叫和也｝通項(xiàng)公式；

100

⑵求2城yos（應(yīng)?萬）的值；

k=l

J_、

⑶證明：<1.

<-4+1>

2.（2023上?山東?高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為%且2%=S.+L

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式：

2〃+139

（2）若a=（一1）"也｝的前〃項(xiàng)和為T,，證明：一/4（4一］

log2a?+1-\og2an+2

3.（2023上湖南長沙?高三長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足

%=l,a“M=3a”+2,〃eN*,數(shù)列也｝滿足々=1,S?+i-n=S,l+b?+n+l,其中S“為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

⑴證明數(shù)歹￡%+1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）令c“=丫-1,求數(shù)列c”的前”項(xiàng)和1,并證明：24（＜，

%,+1）4

題型五：數(shù)列不定方程型

1.（重慶市第十一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期10月自主質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,

且滿足。2+4=18,S5=35.

（1）求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

4s-20;“-27

⑵試求所有的正整數(shù)機(jī)，使得3---------------為整數(shù).

aa

mm+i

2.(23-24高三?上海模擬)已知函數(shù)/(x)=a"的圖像過點(diǎn)｛4,j和3(5,1).

(1)求函數(shù)/⑺的解析式；

⑵記4=1嗎/(〃)，〃是正整數(shù)，S“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，解關(guān)于〃的不等式?！癝”,,0；

(3)對于(2)中的數(shù)列凡，整數(shù)IO"是否為如￡｝中的項(xiàng)？若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)；若不是，則說明理由.

3.(22-23高三?湖北,聯(lián)考)已知等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，首項(xiàng)%>0,若。>3%，生成等差數(shù)列且

a4=2g+4.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)2為整數(shù)，是否存在正整數(shù)”使10?！?2S”+22成立？若存在，求正整數(shù)〃及X；若不存在，請說明理

由.

題型六：恒成立求參：奇偶討論型

正負(fù)相間討論型：

1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。

2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇

數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。

3.分奇偶討論時(shí)，對于奇數(shù)，帶入時(shí)要代入1,3,5等奇數(shù)。對于偶數(shù)，代入時(shí)要代入2.4.6..............

1.(重慶市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題)已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，S,=2a,-2.

⑴求數(shù)列同｝的通項(xiàng)公式；

2n—1

⑵若2=——,數(shù)列也J前〃項(xiàng)和為7“，是否存在實(shí)數(shù)力，使得(<2(-1)'"4“+3對任意加，〃eN*恒成

an

立，若存在，求出實(shí)數(shù)％的所有取值；若處存在，說明理由.

2.(天津市青光中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題)已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，

q=4=1嗎=5(%-%),么=4(%—4).

(1)求｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵令q=%也，求數(shù)列｛c0｝的前”項(xiàng)和T“；

⑶記4=3"-2.(-1)"獨(dú)0*0).是否存在實(shí)數(shù)X,使得對任意的〃eN*,恒有？若存在，求出2的

取值范圍；若不存在，說明理由.

3.(22-23高三?吉林?階段練習(xí))數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=1,點(diǎn)p(%,%+J在直線》-'+2=。上.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)令—,數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S..

anan+\

⑴求S”;

他)是否存在整數(shù)X(XHO),使得不等式恒成立？若存在，求出所有兄的值；若不

存在，請說明理由.

題型七：下標(biāo)數(shù)列

下標(biāo)數(shù)列

下標(biāo)數(shù)列，最常用的是直接函數(shù)代入型，an=f(n),則ag(Q=f(g(n))

下標(biāo)數(shù)列，要注意隨著下標(biāo)數(shù)列的代入，對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)和新數(shù)列的性質(zhì)，以及系數(shù)列與原母數(shù)列是否存在著聯(lián)系,

以利用解題突破

an+-,〃為偶數(shù)，

54

（neN*,aeR,a為常數(shù)），

1.(2023江蘇高考模擬)已知數(shù)列｛4｝滿足：an=<

2tzn+]—ci+〃為奇數(shù),

X2

數(shù)列｛4｝中，a=42-1。⑴求的,出，。3；⑵證明：數(shù)列仍“｝為等差數(shù)列;

⑶求證：數(shù)列｛4｝中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，。為有理數(shù)。

2.(湖北省黃岡中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)｛a,｝是等差數(shù)列，｛勿｝是等比數(shù)歹U.

已知。］=1,4=2,b2=2a2,b3=2a3+2.

(1)求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

k

(,fl,n=2,y

(2)數(shù)列｛%｝滿足c,=<'/,設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S“，求5”.

a”"2

3.(河北省衡水市第二中學(xué)2023屆高考模擬數(shù)學(xué)試題)定義集合屈=｛21卜eN*｝,數(shù)列｛?｝滿足

［a.+2,〃史M

a-=\0,n.M

⑴定義數(shù)列九=a2?+2?-,,證明：也｝為等比數(shù)列

⑵記數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S“，求滿足邑”=31。的正整數(shù)〃

題型八：高斯取整數(shù)列型

取整函數(shù)丫=［司,［可表示不超過x的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)，

1.（2024遼寧沈陽模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，論,｝是等差數(shù)列，且q=24=2,%=4,

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵國表示不超過x的最大整數(shù)，配表示數(shù)列,-1）閆倉卜勺前4〃項(xiàng)和,

集合A=J〃幾4,J%,neN*｝共

4+2

有4個(gè)元素，求2范圍；

]4匹丁啦=，及=2k_l,keN*_

（3）3=14+27討+2>,求數(shù)列｛%｝的前2”項(xiàng)和?

[an-bn,n=2k,keK

2.（23-24高三河北保定）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為%S6=9S2,且%=2%+l.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

14

（2）設(shè)2=4,+---------，數(shù)列也,｝的前”項(xiàng)和為此，定義因?yàn)椴怀^x的最大整數(shù)，例如[1.6]=1,[5.4]=5,

an'an+\

求數(shù)列的前幾項(xiàng)和T,.

（說明：F+22+3?+…+/=小+1）（2〃+1））

6

3.（23-24高三上?天津）已知數(shù)列｛g｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，也“｝是等差數(shù)列，且q=24=2,%=%,%=4%,

⑴求數(shù)列｛4｝和也,｝的通項(xiàng)公式；

⑵㈤表示不超過x的最大整數(shù)，&表示數(shù)列]（-0山面卜勺前4〃項(xiàng)和，集合4=卜卜.共

有4個(gè)元素，求2范圍；

-亞0717IV*/、

--/丫—，「=2左一1,左￡N,、25（2〃2、?

⑶，

%=%+2?相E數(shù)列k｝的前2〃項(xiàng)和為S",求證：52?<-+---4-.

VioyJyJ

an-bn,n=2k,kEW

題型九：前n項(xiàng)積型不等式恒成立求參

注意區(qū)分“和”與“積”的公式：

應(yīng),〃

1=1,

1.通項(xiàng)明與前〃項(xiàng)和s“的關(guān)系是：an=\

2.可以類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過程來求數(shù)列前n項(xiàng)積：

1.〃=1,得41

2.”22時(shí)，4=工'所以Ti

ln-\

L（23-24高三?江西?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝和也｝滿足也+"=2,2%=4%,且%=1.

⑴求｛凡｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）若陷n+2>求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S.；

…）…）（”）等后￡恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

（3）若對任意的〃eN+,

（、（〃為奇數(shù)），（、

2.（23-24高三上,云南昆明?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,%2（〃為著數(shù)）數(shù)列間滿足

b?=a2n-l-

⑴求外,b3的值及數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）若|1+--1+7~|py/2n+l（p>0,〃eN*）,求〃的取值范圍；

I4人即Ibn）

⑶在數(shù)列論,｝中，是否存在正整數(shù)加，3使心bm,bk（m,左eN*,5<m<k）構(gòu)成等比數(shù)列？若存

在，求符合條件的一組（私左）的值，若不存在，請說明理由.

3.（22-23高三?四川成都）設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S,,,且5"=24-2向，數(shù)歹ij也“｝滿足仇=bg?懸，其

中〃eN*.

⑴證明［會:為等差數(shù)列，求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列，三｝的前〃項(xiàng)和為Z,；

（1A（1A（1A___

⑶求使不等式1+--1+--?…1+--2m.師,對任意正整數(shù)”都成立的最大實(shí)數(shù)小的值.

I勘"I勘3）I“2〃一”

題型十：先放縮再求和型證明不等式

常用的數(shù)列放縮式還有：

]___1__[<J_<]__i__j_

nn+1+n2—1)n—ln

2i22

?+JM+Iy/n+y[n

等，解題過程中，注意觀察數(shù)列特征選擇合適的放縮方法.

/、

]<]_]1_]

an“Mi1向？猴）用■一瘋7

1.（2024全國模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝不為常數(shù)數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為%4=1,

滿足力=XS“+〃a”，其中4〃是不為零的常數(shù)，〃eN*

⑴是否存在九〃使得數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

⑵若數(shù)列是公比為"2>2）的等比數(shù)列，證明：°<」7+；++」7<1（“22且〃eN*）

電一1。3T??-1

2.（2024.河北邢臺.二模）已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“且5“=2%-1.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求證：[+：+：+

+2

Q]r

3.（21-22高三?北京強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列｛%｝是公差d不等于0的等差數(shù)列，且｛旬｝是等比數(shù)列，其中

左1=3,左2=5,43=9.

(1)求上1+4+…+々的值?

(2)若a=也+、昌,weN11]

證明：-

.2向.2.3弧+n-(n+l)yj2b^

an+2Van+2

題型十一：插入數(shù)型：等差型

插入數(shù)型

1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列

在%和區(qū)田之間插入〃個(gè)數(shù)，使這71+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列｛么｝來求解dn

〃+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為口，所以：

b—h

*2=4+5+2-1）<od=（；3二）

n

1.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考三模）在①S“M=2S“+2,②%-a“=2",③S,=-2這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.

已知數(shù)列｛m｝的前"項(xiàng)和為5,首項(xiàng)為2,且滿足一.

（1）求數(shù)列缶疥的通項(xiàng)公式；

（2）在小與斯+/之間插入”個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為加的等差數(shù)列，求證：.

2.(2023上海閔行.統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S”.規(guī)定：若數(shù)列｛a“｝滿足前

r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第r-1項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列｛〃“｝為>關(guān)聯(lián)

數(shù)列”.

(1)若數(shù)列｛%｝為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)在⑴的條件下，求出S,,并證明：對任意〃wN*,anSn>a6S6；

(3)若數(shù)列｛4｝為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，當(dāng)，后6時(shí)，在。,與。用之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為

4,的等差數(shù)列，求4,,并探究在數(shù)列｛4｝中是否存在三項(xiàng)4”，dk,d.其中見k,p成等差數(shù)列)成等比

數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由.

3.(2023,安徽馬鞍山,高三階段練習(xí))設(shè)數(shù)列｛〃0｝的前”項(xiàng)和為S“，且%M=S“+l(〃eN*),?,=1.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)在。,與1之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為久的等差數(shù)列，求數(shù)歹卜勺前〃項(xiàng)和

題型十二：插入數(shù)列型

插入數(shù)混合型

混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列｛%｝提供了多少項(xiàng)，其余都是插入進(jìn)來的。

1.(2023?浙江金華統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和%4=3,且5向=25“+〃+3.數(shù)列也｝滿足

4=i,%=[i+Jr卜(〃cN)

⑴求數(shù)列｛。,｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵將數(shù)列｛2｝中的項(xiàng)按從小到大的順序依次插入數(shù)列｛凡｝中，在任意的知,之間插入2%-1項(xiàng)，從而構(gòu)

成一個(gè)新數(shù)列｛g｝,求數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)的和.

2.(2023福建福州?高三福建省福州格致中學(xué)?？?已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛??｝中，4=1且滿足

2%M=a；+2a“，數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S,,滿足2s“+1=36”.

⑴求數(shù)列｛4｝,也,｝的通項(xiàng)公式；

⑵若在4與%之間依次插入數(shù)列｛%｝中的左項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列｛%｝:[,4也，4，%，%%，%,線也,.,求數(shù)列

｛%｝中前40項(xiàng)的和久).

3.(2022?廣東汕頭?統(tǒng)考三模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝中，q=1且滿足-d=2an+2an+l,數(shù)列｛b,,｝

的前〃項(xiàng)和為S“，滿足2S.+l=3b”.

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵