2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：計(jì)數(shù)原理與概率（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練21

計(jì)數(shù)原理與概率

［考情分析］1.高考中主要考查兩個計(jì)數(shù)原理、排列與組合的應(yīng)用，對二項(xiàng)式定理的考查以

求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)為主，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，

難度中等偏下2高考中對此概率內(nèi)容多以實(shí)際材料為背景，主要考查隨機(jī)事件的概率及古典

概型、條件概率的計(jì)算，也考查概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，選擇題、填空題或解答題中均有出

現(xiàn)，難度中等偏下.

【練前疑難講解】

一、排列與組合問題

1.兩個計(jì)數(shù)原理

(1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能

用到分類加法計(jì)數(shù)原理.

(2)對于復(fù)雜的兩個計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直

觀化.

2.解排列組合問題要遵循兩個原則：

一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列

組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).

二、二項(xiàng)式定理

1.二項(xiàng)式定理的常用結(jié)論

(l)(a-b)n=C%"-_|------p(_1)仁初"-----P(—1

(2)(1+無)”=c9+chH-----PCwH------l-c；^.

2.求解二項(xiàng)式有關(guān)問題時，一定要注意“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系.

三、概率

1.古典概型的概率公式

叫m事件A中所含的樣本點(diǎn)

尸(A)一〃一試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率

在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：％8以)=與黑.

3.相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率：若A,8相互獨(dú)立，則尸(AB)=P(A)P(8).

4.若事件A,B互斥,則尸(AUB)=P(A)+P(3),P(T)=1一尸(A).

5.全概率公式

一般地，設(shè)4,42，…，4是一組兩兩互斥的事件，A,UA2U-UA?=f2,且尸(A)>0,，=

1,2,n,則對任意的事件BQO,有P(B)=￡P(guān)(A)P(8A).

尸i

一、單選題

1.（22-23高三下?湖北?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活

動，現(xiàn)有A3,C三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一

名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（）

19310025

A.---B.C.—D.一

24324339

2.（23-24高三上?河北?期末）第19屆亞運(yùn)會在杭州舉行，為了弘揚(yáng)"奉獻(xiàn)，友愛，互助，

進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館開展志愿服務(wù)工作.若要求每個

場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館A時，場館8僅有2名志愿者的概率為（）

32163

A.-B.—C.—D.一

550114

3.（2024?遼寧丹東?一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

x

A.24B.25C.48D.49

4.（2024?北京?三模）已知彳-X的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為

（）

A.-240B.240C.60D.-60

二、多選題

5.（2024?廣東廣州?一模）甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球

（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件

4和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件3表示從

乙箱中取出的兩球都是紅球，則（）

311

A.P（A）=-B.P（B）=—

92

c.P（同4）=玄D.%4忸）=1

6.（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，己知出現(xiàn)正面向上的概率

為P，記4表示事件"在〃次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是

(）

A.4與&是互斥事件B.尸(4)=。2

C.P（A+J=（1-2p）p（A）+pD.尸（&1Ap（D

三、填空題

7.（21-22高三E山東?開學(xué)考試）設(shè)。=八+。7+或72+...+縊7"，則。除以9所得的

余數(shù)為.

8.（2024?廣東江蘇?高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的

卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪

比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字

的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的

卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

參考答案:

題號123456

答案BBDBABDACD

1.B

【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去A的情況數(shù)，從而得到甲不去A小

區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有35=243種情況，

再計(jì)算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，

5人被分為3,1,1或2,2,1

當(dāng)5人被分為3,1,1時，情況數(shù)為C；xA；=60；

當(dāng)5人被分為2,2,1時，情況數(shù)為史卓&=90；

所以共有60+90=150.

由于所求甲不去A,情況數(shù)較多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，

當(dāng)5人被分為3,1,1時，且甲去A,甲若為1,則C；xA；=8,甲若為3,則C：xA；=12

共計(jì)8+12=20種，

當(dāng)5人被分為2,2,1時，且甲去A,甲若為1,則冬xA”6,甲若為2,則

C：xC；xA；=24,共計(jì)6+24=30種,

所以甲不在A小區(qū)的概率為150一（20+3。）=竺2

243243

故選：B.

2.B

2

【分析】首先得甲去場館B或C的總數(shù)為150x（=100,進(jìn)一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求

概率.

【詳解】不考慮甲是否去場館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為

2

甲去場館A3,C的概率相等，所以甲去場館B或C的總數(shù)為150x§=100,

甲不去場館A,分兩種情況討論,

情形一，甲去場館8,場館B有兩名志愿者共有用=24種;

情形二，甲去場館C,場館8場館C均有兩人共有C：C：=12種，

場館8場館A均有兩人共有C：=6種，所以甲不去場館A時，

場館B僅有2名志愿者的概率為24；；：+6=急嗎.

故選：B.

3.D

【分析】利用二項(xiàng)式定理連續(xù)展開兩次，然后令4-/*-24=0,從而滿足題意的數(shù)組（八,女）

可以是：（0,2）,（2,1）,（4,0）,將這些數(shù)組回代入通項(xiàng)公式即可運(yùn)算求解.

【詳解】（X+—-1）4的展開式通項(xiàng)為

X

4（9、4一/44-r，、女

*=ZQx+2（-i）r=（m，LJ

r=0\XJr=0k=0

44-r

=ZQ（T）'ZC1,2。?"*^0<r<4,0<k<4-r,r,keN）,

r=0k=0

令4-一2左=0,得滿足題意的數(shù)組（r㈤可以是：（0,2）,（2,1）,（4,0）,

規(guī)定C：=l,

故所求為C：（一1）°C：2?+C：（-1）2C；21+C：（-I），2°=24+24+1=49.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得〃=6,結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.

【詳解】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,可得〃=6,

r

其展開式的通項(xiàng)為Tr+{=C；[(-x)=(-1/-26T.q.=0,i,工…,6,

3

令(-3=0,解得廠=2,

所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)為(-以?24?屋=240.

故選：B.

5.ABD

【分析】根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意可得P(A)=1,尸(&)=：,叩聞爺=>呻|&)=裊，

?JJJ-A\J

oaoi11

所以P(B)=P(4)P(網(wǎng)a)+尸(A)p(3%)=+yx^=而，故A正確、B正確、c錯

誤；

12

尸⑷所制——x—2

105故D正確.

1111

50

故選：ABD

6.ACD

【分析】對A根據(jù)對立事件和互斥事件的關(guān)系即可判斷；對B,直接計(jì)算尸(&)即可；對

C,利用全概率公式即可；對D,構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性即可判斷.

【詳解】對A,因?yàn)閷α⑹录腔コ馐录訟正確；

對B,尸(4)=p2+(l-p)2=2p2_2p+l,所以B錯；

對C,由全概率公式可知

尸(4+J=P(A+J4>P(4)+尸(電區(qū))?尸(4)=Q-P)尸(4)+P(I-P(4))

=(1一2。)尸(4)+p,所以C正確；

對D,由C可知尸(4+J4=(1-2°)卜(4)-』，

因?yàn)槭?=g_p/o,

所以卜(4)-l是以為首項(xiàng)，1-20為公比的等比數(shù)列，

所以P(A.)_g=\_p](l_2P尸=g(l_2p)",

所以P(A)=%(1-2p)"+g,

所以尸(4“)=：(1一2。產(chǎn)+^,因?yàn)?<P<1且p#；,

所以l—2pe(—1,0)50」),所以(l-2p)2e(0,l),

所以P(&")=；(1-2p)2"+；=g[(l-2p)2]”+1是關(guān)于n的遞減數(shù)列，

所以P(怎)>尸(怎+2)，D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合等比數(shù)列定義變形化簡得到

P(4)=1(l-2pr+1,最后得到尸(4“)=g(l-20產(chǎn)+：,利用函數(shù)單調(diào)性分析數(shù)列單調(diào)

性即可.

7.8

【分析】根據(jù)已知條件將。寫為(1+7)%即(9-1嚴(yán)，展開后觀察式子即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍=C；9+C；97+C；972+-+C；；7\

所以

191919181819

a=(l+7)=(9-1)=C°99+C]99(-l)+??.+C^'c-l)+C；^(-l)=9^-1=9()t-1)+8,

ZeN*,

所以。除以9所得的余數(shù)為8.

故答案為：8

8.y/0.5

【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.

【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X1,X2，X3，X”，四輪的總得分為X.

對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有

六種，從而甲在該輪得分的概率尸（Xk=l）=￡=：,所以E（XJ=|（A=1,2,3,4）.

從而磯X）=E（X+X2+X3+Xj=ZE（Xj=Zd=亍

k=lk=l&乙

記2=尸（*=k）化=0,1,2,3）.

如果甲得。分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對應(yīng)乙出2,4,6,

11

8,所以Po=Q=五；

如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對應(yīng)乙出8,2,4,

11

6,所以。3=爐=五.

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故〃o+Pi+P2+P3=1，pi+2p2+3p3=E（X）=~.

所以Pl+〃2+77=1，P1+2P2+3=7，兩式相減即得P2+彳7=彳，故72+〃3=彳.

12o22422

所以甲的總得分不小于2的概率為P2+叢=（.

故答案為：工.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得

到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4

名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.一

6323

2.（23-24高二下，重慶?階段練習(xí)）從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的

三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（）個.

A.24B.30C.36D.60

3.（2024?山東日照?一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了

電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選

擇共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

4.（2024?遼寧大連?一模）將ABCDER六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，

其中48分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.36種D.54種

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測）若f=4+q（無一6）+%（%-6）~+…+4（X-6）6,則%=

（）

A.6B.16C.26D.36

6.（2024?貴州黔南?二模）我國農(nóng)歷用"鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、

豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的

（13耳+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

7.（2024?海南?？?模擬預(yù)測）在黨的二十大報告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教

育"，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲、乙

、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至

少安排1名專家的概率為（）

1418

A.—B.-C.—D.—

99327

8.（2024?北京石景山?一模）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球.若從中不放回地

取球2次，每次任取1個球，記"第一次取到紅球”為事件A,"第二次取到紅球"為事件

B,則尸（叫4）=（）

4234

A.—B.-C.—D.一

15555

9.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）有3臺車床加工同一型號的零件，第1,2,3臺加工的次品率

分別為5%,2%,4%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)的比為

4:5:11,現(xiàn)任取一個零件，記事件4="零件為第，臺車床加工”。=1,2,3）,事件3="零

件為次品"，則尸（4忸）=（）

510

A.0.2B.0.05C.—D.—

3737

10.（2024?遼寧?二模）某公司的員工中，有15%是行政人員，有35%是技術(shù)人員，有50%

是研發(fā)人員，其中60%的行政人員具有博士學(xué)歷，40%的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，80%的

研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的

概率為（）

二、多選題

11.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）若相，”為正整數(shù)且〃＞根＞1,貝I（）

A.C；=C；B.『苧

（）

C.mC：=?-!€：：；D.A：+mA：-'=A：+1

12.（23-24高二上?遼寧遼陽?期末）某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)

課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（）

A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法

B.若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

13.（2024?江西?二模）在（2尤-工］的展開式中（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B.第3項(xiàng)的系數(shù)最大

C.所有項(xiàng)系數(shù)之和為-1D.不含常數(shù)項(xiàng)

14.（2024?山東青島?三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)

如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

產(chǎn)量（萬臺）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

銷量（萬臺）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

記"產(chǎn)銷率"=E＞X100%,2015-2023年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為機(jī)，則（）

產(chǎn)量

A.機(jī)=18.7

B.2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)

2

C.從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于100%的概率為§

D.從2015-2023年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于機(jī)的條

件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于70%的概率為!

三、填空題

15.（2024,浙江?二模）某中學(xué)的48兩個班級有相同的語文、數(shù)學(xué)、英語教師，現(xiàn)對此2個

班級某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2節(jié)語文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語課，要求每個班級的

2節(jié)語文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有種不同的排課方式.（用數(shù)字

作答）

16.（2024?浙江?三模）甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2

人且甲、乙不站同一個臺階，同一臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是

種.（用數(shù)字作答）

17.（23-24高三上?湖南張家界?階段練習(xí)）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志

愿者分配到甲、乙、丙、丁4個小區(qū)開展工作，若每個小區(qū)至少分配一名志愿者，則有

種分配方法（用數(shù)字作答）；

2

18.（2023?全國?模擬預(yù)測）己知（ox-2）（x+—彳的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240,則。=.

參考答案:

題號12345678910

答案DBBBDBBCDC

題號11121314

答案ADABCABDACD

1.D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C；=6

件，

其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有C；C；=4,

所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為4;=；2.

63

故選：D.

2.B

【分析】考慮選出的3個數(shù)中有沒有。的情況，有0時再考慮。的排法，根據(jù)分類加法原

理，即可求得答案.

【詳解】若從0,L2,3,4中選出3個數(shù)中沒有0,

則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有A；A；=12個；

若從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)中有0,且。排在個位,

則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有A；=12個；

若從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)中有0,且0不在個位,

則組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)有A；A；=6個；

故從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，

這樣的數(shù)有12+12+6=30個，

故選：B

3.B

【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識進(jìn)行求解.

【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看,

剩余的2人，2部影片進(jìn)行全排列，

故共有C；C；A；=6x3x2=36種情況.

故選:B

4.B

【分析】先平均分組，再利用全排列可求不同分配方法的總數(shù).

【詳解】將余下四人分成兩組，每組兩人，有生■種分法，

2

故不同的分配方法共有C&xA；=18種，

2

故選：B.

5.D

【分析】由/=[6+@-6)了，由二項(xiàng)式定理，利用展開式的通項(xiàng)求生的值.

【詳解】因?yàn)閒=[6+(x-6)]6,展開式的通項(xiàng)為&=Qx66Tx(尤-6)',

令r=5,可得＜=屋x6x(x-6)5=36(無一6。

所以%=36.

故選：D.

6.B

【分析】借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算即可得.

【詳解】由13"=(12+l)i4=C；412"+C：J2i3+...+C；：12i+C；：

=12?12"+C；J2"+…+C；；)+1,

故13M除以12的余數(shù)為1,故13"+1除以12的余數(shù)為2,

故(13"+1)年后是馬年.

故選：B.

7.B

【分析】分別求出"甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法”和

“每個地區(qū)至少安排1名專家的安排方法"的種數(shù)，再由古典概型的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：

3'=81種；

每個地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：C；A；=36種；

364

由古典概型的計(jì)算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為：

故選：B.

8.C

【分析】由條件概率公式求解即可.

43

【詳解】可引4)=罌=空=1?

6

故選：C.

9.D

【分析】根據(jù)題意，由全概率公式、條件概率公式和貝葉斯公式，結(jié)合已知條件，求解即

可.

【詳解】根據(jù)題意可得：

尸(4)=77^=%尸=

尸(514)=0.嗨戶①4)=P(M)=；

由全概率公式可得：P(B)=P(A)P(44,)+尸(4)p(3%)+尸(A)尸(3肉)

37

=-x0.05+-x0.02+—x0.04=

54201000

1

尸(A)p(2IA)-x0.05

故P(A⑻=號需==5_____100..10

麗_3737~37-

10001000

故選：D.

10.C

【分析】設(shè)事件A="選出的員工是行政人員"，8="選出的員工是技術(shù)人員"，C="選出的

員工是研發(fā)人員"，"選出的員工具有博士學(xué)歷"，由全概率公式及條件概率公式分別求

出尸(￡>)和尸(￡)8),即可求解.

【詳解】設(shè)事件4="選出的員工是行政人員"，3="選出的員工是技術(shù)人員"，C="選出的

員工是研發(fā)人員"，。="選出的員工具有博士學(xué)歷”，

由題可知，P(A)=0.15,P(B)=0.35,尸(C)=0.5,P(O|A)=0.6,P(O[8)=0.4,

P(￡>|C)=0.8,

所以尸(￡>)=P(D\A)尸(A)+P(D\B)P(B)+P(D\C)尸(C)

=0.15x0.6+0.35x0.4+0.5x0.8=0.63,

P(BD)0.142

所以P(3|O)=

P(D)-063-9

故選：C.

11.AD

【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì)，對每個選項(xiàng)逐一計(jì)算即可判斷.

【詳解】對A：由組合數(shù)性質(zhì)：C：=C<可知，A正確;

對B：C；=9,故B錯誤;

73!

n\(九一1)!

對c-mC：=m-------:------TT

(〃-i)c—(:”左右兩邊不相等，故c錯誤；

,Y!IrjI/、〃?加

對D?A：+mA：=---：―+m--------———=(n-m+1)--------———+m--------———

(n-m)!(n-m+1)!(n-m+1)!(n-m+1)!

n\

\故D正確.

n—m+1)!n—m+ly.

故選：AD

12.ABC

【分析】選項(xiàng)A將數(shù)學(xué)排在后三節(jié)，再將其余3個科目全排列即可；選項(xiàng)B采用捆綁法進(jìn)

行求解；選項(xiàng)C采用插空法進(jìn)行求解；選項(xiàng)D根據(jù)除序法進(jìn)行求解.

【詳解】對于A,有3A；=18種排法，故A正確；

對于B,采用捆綁法，有A；=6種排法，故B正確；

對于C,采用插空法，有A；A；=12種排法，故C正確；

對于D,有多=4種排法，故D錯誤.

故選：ABC

13.ABD

【分析】由題意，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，通過給變量賦值,

逐一判斷各個選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.

【詳解】由于二項(xiàng)式系數(shù)之和為C+C；+...+^=25=32,故A正確.

設(shè)展開式第左+1項(xiàng)為a=C（2x嚴(yán)（-與=（一V-2”■產(chǎn)次，左=0,1,2…5,

X

易知04,7；的系數(shù)均小于0,且7]=32天5,4=80尤,豈=10二3,故第3項(xiàng)的系數(shù)最大，為

80,故B正確，

令x=l得所有項(xiàng)系數(shù)之和為儼=1，故C錯誤，

當(dāng)5-2左=0,則左=：,但左=[e{0,,1,2,3,4,5},故展開式不含常數(shù)項(xiàng)，D正確.

故選：ABD.

14.ACD

【分析】由中位數(shù)定義可判斷A；求得每年的產(chǎn)銷率，可判斷B；由B可得產(chǎn)銷率大于

100%的有2個年份，可得概率判斷C；利用條件概率公式求解可判斷D.

【詳解】對于A：由中位數(shù)的定義可知，相=18.7,故A正確；

對于B：2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率依次為：

2357

——x100%?69.7%,——x100%?79.2%,

3.37.2

136149

^xlOO%工103.9%,^xlOO%X100.7%,

13.114.8

—x100%x80.2%,里x100%x65.8%,

18.723.7

X100%B74.0%,X100%x67.0%,

36.644.3

21A

—X100%-73.5%,

43.0

所以2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率隨年份的增加，有時增加，有時減少，故B

錯誤；

對于C：由B可知，從2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率大于100%的有2個年份，

2

所以從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于100%的概率為g,

對于D：設(shè)事件A表示"從2015-2023年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都

大于m”,

事件B表示"從2015-2023年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率大于70%",

C21C21

所以尸⑷飛石尸(曲二才/

1

所以P(A|B)=?^=平=］故D正確.

P(A)6

6

故選：ACD.

15.8

【分析】由，表示數(shù)學(xué)課，。表示語文課，。表示英語課，按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課

順序，列出所有可能情況可得答案.

【詳解】由〃表示數(shù)學(xué)課，。表示語文課，。表示英語課,

按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課排列，可得

若A班排課為aabbc,則B班排課為bbcaa,

若A班排課為bbaac,貝ljB班排課為aacbb,

若A班排課為aacbb,則B班排課為仍公zc,或B班排課為cbbaa,

若A班排課為bbcaa,則B班排課為aabbc,或B班排課為caabb,

若A班排課為cbbaa,則B班排課為aacbb,

若A班排課為caabb,則B班排課為bbcaa,

則共有8種不同的排課方式.

故答案為：8.

16.180

【分析】采用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】易知甲有6種站法，則乙有5種站法，丙有6種站法，總共有6x5x6=180種.

故答案為：180

17.240

【分析】利用分組分配求解

【詳解】先把5名志愿者分成2,1,1」共4組,然后再進(jìn)行排列，有C；A；=10x24=240種不同

的分配方法，

故答案為：240

18.3

【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式及給定的常數(shù)項(xiàng)求出?值.

【詳解】（X+專的展開式的通項(xiàng)Tr+l=Gx5T（2），=2，C）5皿（r=0,1,2,3,4,5）,

令5-2廠=-1得r=3,令5-2r=0,無解，

2

所以（辦-2）（x+—r的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為a?展C；=80a=240,所以a=3.

x

故答案為：3

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?浙江?模擬預(yù)測）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一

場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安

排方法有（）

A.2025種B.4050種C.8100種D.16200種

2.（22-23高三上?全國,階段練習(xí)）將編號為1,2,3,4,5的小球放入編號為1,2,3,

4,5的小盒中，每個小盒放一個小球.則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為

（）

.1111

A.-B.—C.—D.—

861224

3.（23-24高三上?黑龍江牡丹江?期末）7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙

兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（）種站排方式.

A.672B.864C.936D.1056

4.（2023?廣東茂名?二模）從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該

三位數(shù)能被3整除的概率為（）

5.（2024?浙江嘉興?二模）6位學(xué)生在游樂場游玩A,B,C三個項(xiàng)目，每個人都只游玩一個項(xiàng)

目，每個項(xiàng)目都有人游玩，若A項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（）

A.180種B.210種C.240種D.360種

「0「2「3「4「5「6

6.（2024?遼寧大連?一模）/一?+二一=+=一，+，=（）

3°313233343536

646411

A-----------R--------C-----------D--------

'729'729'729'729

7.（2024?重慶?三模）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.

設(shè)。，。，〃?（〃2>0）為整數(shù)，若。和6被加除得余數(shù)相同，則稱。和6對模機(jī)同余.記為

a三b（modm）.若。=94+以+鼠+e+…+C=a=&（modl7）,則6的值可以是（）

A.14B.15C.16D.17

8.（2024?遼寧撫順?一模）若，+￡|（1+尤）”的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為10,則〃的值是

（）

A.3B.4C.5D.6

13

9.（22-23高二下?江蘇南通?期中）已知隨機(jī)事件A,B滿足P（A）="P（A|B）=~,

P（B\A）=—,則尸（可=（）

13941

A.-B.—C.—D.—

4161648

10.（2024?湖南常德?三模）設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為

90%,乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗(yàn)不合格，放回原箱后在

該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為（）

.56717

A.-B.—C.—D.—

67820

二、多選題

11.（23-24高二下?寧夏石嘴山?期中）"楊輝三角"是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出

現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系

數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角"的結(jié)論正確的是

楊輝三角

第

0一

丁

第

1一

丁

一

第2

丁

一

第3

丁

一

第4

丁

第

5一

丁

第

6一

丁

第

7一

72135357

丁1

第

8一

28565621281

丁701

A.C+C；+C；+...+C；o=165.

B.由"第〃行所有數(shù)之和為2""猜想：C：+C；+C；+...+C：=2".

C.第20行中，第11個數(shù)最大.

D.第15行中，第7個數(shù)與第8個數(shù)之比為7齡.

12.（2024?廣東佛山?一模）有一組樣本數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,添加一個數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，

且P（X=Q=*（左e{0』,2,3,4,5}）,則新的樣本數(shù)據(jù)（）

3

A.第25百分位數(shù)不變的概率是二

16

31

B.極差不變的概率是至

C.平均值變大的概率是二

2

7

D.方差變大的概率是七

13.（2024?云南?模擬預(yù)測）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的三個箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個

紅色球，1個黃色球和1個藍(lán)色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個紅色球，1個藍(lán)色球；藍(lán)色箱子內(nèi)

裝有3個紅色球，2個黃色球.若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，將取出的球放

入與球同色的箱子中，第二次再從剛才放入與球同色的這個箱子中任取一個球，則下列說

法正確的是（）

A.若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍(lán)色球的概率為:

4

3

B.第二次抽到藍(lán)色球的概率為7

16

C.如果第二次抽到的是藍(lán)色球，則它最有可能來自紅色箱子

D.如果還需將5個不同的小球放入這三個箱子內(nèi)，每個箱子至少放1個，則不同的放

法共有150種

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的

研究，設(shè)mb，機(jī)（m>0）為整數(shù)，若。和b被根除得的余數(shù)相同，則稱。和Z?對模相同

余，記為。多（modm）.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3,則記為9三21（mod6）.若

a=CM+C；2,2+C；2?22+…+C；；.222,a=b(mod10),則1的值可以是().

A.2019B.2023C.2029D.2033

15.（2024?山東煙臺?一模）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為

x,y,設(shè)事件A=〃log（x+i）y為整數(shù)〃，B=〃x+y為偶數(shù)〃，C="x+2y為奇數(shù)〃，則（）

A.尸（A）=JB.=!

o12

7

C.事件8與事件C相互獨(dú)立D.P（A|C）=—

lo

三、填空題

16.（2024?全國?模擬預(yù)測）中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳

統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體

EF-ABCD.現(xiàn)裝修工人準(zhǔn)備用四種不同形狀的風(fēng)鈴裝飾五脊殿EF-ABCD的六個頂點(diǎn)，

要求E,尸處用同一種形狀的風(fēng)鈴，其它每條棱的兩個頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，則不同的

裝飾方案共有種.

圖1圖2

17.（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）近年來，重慶以獨(dú)特的地形地貌、城市景觀和豐富的

美食吸引著各地游客，成為“網(wǎng)紅城市遠(yuǎn)道而來的小明計(jì)劃用2天的時間游覽以下五個

景點(diǎn)：解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、"輕軌穿樓"打卡點(diǎn)、磁器口，另外還要安排一次自

由購物，因此共計(jì)6項(xiàng)內(nèi)容.現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個時間段，每個時段完成

1項(xiàng)內(nèi)容，其中大劇院與洪崖洞的時段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在