2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：冪指對(duì)比較大小常見(jiàn)方法總結(jié)

第4講暴指對(duì)函數(shù)比較大小題型及方法總結(jié)

一、考情分析：

賽指對(duì)函數(shù)“比大小”是高考的熱點(diǎn)題型之一，難度不定，而且很受命題者的青睞。幾

乎每年高考都會(huì)出現(xiàn)，目前有難度逐年上升的趨勢(shì)。

命題形式主要是選擇題，分值一般為5分，試題往往將賽函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

三角函數(shù)等混在一起進(jìn)行考查。

二、解題策略：

三、方法精講

方法1:直接利用函數(shù)單調(diào)性

【例1】（2024福建寧德高三統(tǒng)考）設(shè)。=0.3"3”=0.3°-二=0.50-3,4=0.5%則a也」d的

大小關(guān)系為（）

A.b>d>a>cB.b>a>d>cC.c>a>d>bD.c>d>a>b

答案D

解：因?yàn)?gt;=。3,且y=Q5'是R上單減，

故可得0.3°-3>0.3°-5,O.503>O.50-5,即a>3,c〉d;

又因?yàn)閍=0.3M=0,027°』,d=0.5°5=0.31250」,

而y=x°」是（O，+°°）上單增，貝U0.031251n>0.027°,，即d>a.

故c〉d〉a〉b.

故選：D.

【變式1］（2023?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。=log?3,b=log46,c=log89,

則a、6、c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

答案C

解：觀察條件可知，可以將反c都化為以2為底的對(duì)數(shù)，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行

比較。

b=log46=log2V6,c=log89=log2^/9,因?yàn)?＞疵＞^，y=log2X單調(diào)遞增,

.\c<b<a.

故選：C

【變式2］（2024?天津?高三統(tǒng)考期末）設(shè)々=c=loSo_503,貝1Ia,b,c

的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

答案B

解：。=2一°5,b=（^\=2?3,一y=2'在R上單增，.?.q<6<2°=l,

-,,y=log05%在（o,+℃）上單減，.-.c=log050.3>log050.5=1,

綜上，a<b<c。

故選：B.

2a3b5c

【變式3】（2024?陜西寶雞統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足J=J=J=2,則

235

（）

A.a>b>cB.a<b<cC.b>a>cD.c>a>b

答案A

p2a3b5c

解：—=—=—=2,所以e?"=4,e3"=6,e50=10,

■235

2a=In4,36=ln6,5c=lnl0,.?.a=ln2,b=lnV^,c=ln痂,;y=Inx在（0,+力）上單

增，比較2,而濘的大小即可，2,福河同時(shí)取15次賽，

?,=產(chǎn)在（0,+8）上單增，比較2、65,1。3即可，

215=524288,65=7776,103=1000;215>103>65

即2>西〉正，即a〉b>c.

故選：A.

71

【變式4］（2023?北京順義高三?？茧A段檢測(cè)）已知a=log52,Z7=log43,c=sin—,比

6

較d6,c的大小為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

答案C

解：Qy=log5%在（o,+"）上單增，/.a=log52<log5辨=；,

.兀1.）

c=sin—=—,..a<c；

62

Qy=log4%在（o,+8）上單增，.?.iog43>log42=1,

綜上,b>c>a.

故選：C

【方法總結(jié)】

當(dāng)兩個(gè)實(shí)數(shù)都是指數(shù)恭或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或暴函數(shù)的

函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較

(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，如〃西和42,利用指數(shù)函數(shù)>=的單調(diào)性即可；

(2)指數(shù)相同，底數(shù)不同，如普和芯，利用賽函數(shù)y=x"的單調(diào)性即可；

(3)底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log。％和log。％,利用指數(shù)函數(shù)y=log“x的單調(diào)性即可；

(4)如果底數(shù)或者指數(shù)不同時(shí)，可以先嘗試化為同底數(shù)或者同指數(shù)的形式，進(jìn)而借助單調(diào)

性進(jìn)行比較

(5)除了暴指對(duì)函數(shù)，也可以利用三角函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小。

方法2:利用作差法或作商法

【例題1】(2023?遼寧?大連高三開(kāi)學(xué)考試)已知20"=22,22匕=23,ac=b,則db,

c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

答案D

解：分別對(duì)20"=22,220=23,兩邊取對(duì)數(shù)，得a=log2022,Z?=log2223,

C=logqb.

lg22lg23_(lg22)2-lg20」g23

a-b=log22-log23=

2022Ig261g22-lg20-lg22

由基本不等式，可得:

1g484?

lg20」g23〈產(chǎn)產(chǎn)).用

所以(lg22)2-lg20」g23>0,^a-b>Q,:.a>b>l.

又cnlogo8vlogaaul,；.a>b>c.

故選：D.

171

【變式1](2023?山東青島?高三萊西市第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知。=一，b=cos-,

183

c=3sin-,5H()

3

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

答案B

c.1

3sin—1.

解：-=----=3tan-,0<-<—,

b???1332

(7［\-c1c11

,A:e0?—時(shí)，由不等式得sinx<x<tanx,/.3tan—>3x—=1：.c>b,

\2)33

--2sin2-=2--sin2—

318618186366

1.1nfl).17八7

—>sin—>0,—>sin2—,.\b—a>0,.\b>a,

661^6)6

綜上，c>b>ao

故選：B.

【變式2］已知a=0.8一b=log53,c=Iog85,則()

A.水伙cB.X&a

C.WXaD.K&b

答案B

22

…blog53In3XIn8,(In3+In8)(In^/24)^/目，,

解：噎=詬=(In5)2<4(55)2=(Ing<〔，付灰,，又：c<1<a=0.8-04,

:.XXa.

故選B

【變式3】（2023?河南?安陽(yáng)高中高三模擬）設(shè)Q=log23,Z?=log45,c=21og32,則

a,6、c的大小關(guān)系為（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

答案A

解：???"皿嚼，『叫5=昂”2加2—胃,

Ig2.1g4<(妲詈［.野］〈［野J=(lg3)

又

Ig2」g4.即"f

lg2lg31g21g3

2

c_^lg4_lg5jlg4)-lg3-lg5>()>即c?,..“cm

lg3lg4Ig31g4

故選：A.

【變式4】已知1084相=方9,10812"=11,。.9"=0.8,則正數(shù)機(jī)，p的大小關(guān)系為()

A.p>m>nB.m>n>p

c.m>p>nD.p>n>m

答案A

922

20

解：由Iog4/77=—,得m=4=21°<2,

11

由l0gi2/7=-,得77=124,

——x9994

m420420'4^20'4Aio^4^20256Vo,

--->1,因此2>/77>/7；

243）

1241220巨

由0.9"=0.8,得p—Iogo.9O.8>Iogo.?0.81—2,于是pynT^n,

所以正數(shù)0,n,p的大4、關(guān)系為

故選A

【方法總結(jié)】作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對(duì)數(shù)比大??；

(2)作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見(jiàn)技巧與方法;

方法3:引入中間量法

【例1】（2023?高三新疆石河子一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)a=2°3,〃=o.32,c=log20.3,則a,

b,c的大小順序是（）

A.c<a<bB.c<b<a

0.a<c<bD.b<c<a

答案B

解Qa=2°3>2°=l,Z?=0,32=0.09<l,c=log,0.3<log,1=0；

:.c<b<a.

故選：B.

【變式1】（2024?天津紅橋?高三統(tǒng)考期末）設(shè)a=logz兀，Z，=logl71,c=一則（）

2

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

答案C

解：，）=02兀>10g22=l,b=log；<logj=0,0<c=d<兀。=1,

.\a>c>bo

故選：C

【變式2】（2023?河北石家莊高三專(zhuān)題檢測(cè)）已知10"=兀,5〃=3,log3C=-；,則a,b,c

的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

答案D

解：10"=i,5"=3/og3C=—g,.-.a=lg7t,6=1嗎3,c=3日，

；

a=1g7t<IgVlO=,b=log53>log5石=；,而

「4+14

13-3

5<35:.a<c<b.

"用<y，.,.^=log53>log55

故選D

【變式3】（2024?四川綿陽(yáng)高三專(zhuān)題檢測(cè)）若Q=log23,b=log34,c=log45,則〃、

b、。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

答案D

解：log23>log22=l,log34>log33=1,log45>log44=1,

即。c>\,

11

2r

C=log45=10g225=-log25=log25=log2,5,

而Q=log23>log26，,a>C>\,

33

a=log23>log225/2=-,而匕=log34<log33A/3=-,

3

a>—>b>l,

4

又：=log33=log3V?,b=log34=log3行',

而44>3,,則logs#肝>log3#3,—,

4

同理，=log44=log4,c=log45=log4V?,

而45>54,貝也嗚">log4⑸即（>C,

35

綜上得：——

24

：.c<b<a.

故選：D.

方法4:構(gòu)造函數(shù)法

【例題1】（2023?遼寧大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知

1ln2ln3

4=電2［2,c=［9）3,試比較的大小關(guān)系（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

答案C

M：設(shè)〃同=手（工>。）0/（到=1］；龍,

當(dāng)x>e時(shí)，/'（x）<0,/（x）單調(diào)遞減，

.-./（e）>/（3）>/（4）,

1_IneIn2_21n2_In4

ee'244

1ln3In4

->——>----,

e34

設(shè)g(%)=九*(%>0)=>Ing(x)=x\nx,

設(shè)y=xlnx=>y'=lnx+l,

當(dāng)0<%<！時(shí)，/<0,函數(shù)y=%ln%單調(diào)遞減,

e

e34

因?yàn)楹瘮?shù)y=In%是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù),

:.a<c<b,

［變式1］（2023?甘肅蘭州高三模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=5（2/n5）In4e

b=-c=---,貝I。，

e4

b,。的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

答案A

產(chǎn)

5(2—In5)71IneIn4

解：va=b=—=---

e2ee

5

所以構(gòu)造函數(shù)無(wú)）=/，則（（無(wú)）=上誓

XX

人,、1-lnx

令r(=二0,解得產(chǎn)e

當(dāng)了￡（0,e）時(shí)，>0,/（%）在（0,e）上單調(diào)遞增,

當(dāng)x?e,+oo)時(shí)，/(%)在(e,+oo)上單調(diào)遞減,

心

又a=于—，b=f5c=〃4)

:.a<b,c<b.

3〃4)=竽=竽=〃2),又?<2<e,

<2>

?e-fe</(2),即c>“，版a<c<b,

I3J

故選：A.

【變式2］（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知。=ln%,b=eTc=（9-31n3）e-3,則。，

b,。的大小為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

答案C

解：令函數(shù)/（幻=止（尤Ne）,當(dāng)x>e時(shí)，求導(dǎo)得：匕學(xué)<0,

XX

則函數(shù)/⑺在［e,+8）上單調(diào)遞減，又〃=吧=/（3）,b=—=f{€）,

3e

3

顯然e<3<(則有嗎)<〃3"⑹，所以。3江

故選：0

【方法總結(jié)】構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時(shí)候三個(gè)數(shù)比較大小，可能某一個(gè)數(shù)會(huì)被可以的隱

藏了“同構(gòu)”規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個(gè)數(shù)規(guī)律

(1)對(duì)于抽象函數(shù)，可以借助中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)、周期等性質(zhì)來(lái)”去除f()外衣”比較大

??；

(2)有解析式函數(shù)，可以通過(guò)函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性，比較大

小。

四、真題練

1.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)若4=1.0儼5涉=1.01。6,°=06。5,則a,瓦c的大小關(guān)系為

()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>c

答案：DD.b>a>c

解：由y=1.01'在R上遞增，則a=1.0產(chǎn)5<6=i.01。.6,

由y=在［0,+co)上遞增，則4=1,0產(chǎn)5>。=0.6°5.所以6>。>°.故選：D

2.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e-d.記

a=2,6=，則()

IJ[2J、2,

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

答案：A

解：令g(尤)=-(x-l)2,則g(x)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=l,

灰1。④瓜+6

而（遍+我2-4?=9+6忘-16=6五一7>0,

22J2

?布一6]屈+61>0,即立一1>1_0

.-----1-1-

222222

VJ

由二次函數(shù)性質(zhì)知g)，

回瓜+垃4

1—

22J22

(A/6+^)2-42=8+4>/3-16=473-8=4(>/3-2)<0,

即乎-1<1-日，仔）〉gg），綜上，g（字<g*）<g$，

又〉=厘為增函數(shù)，ika<c<b,即b>c>a.故選：A.

3.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）已知a=207,b=，c=log21,則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

答案：C

解：>0=log2l>log21,.”>6>C.故答案為：C.

4.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知yMlOmuKr-lLbuge—g,貝4（）

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>QD.b>O>a

答案：A

解：［方法一］:（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9"'=10可得m=log10=黑>1

9而想叫11<1］=［等［<l=（lglO）2,所

1g9產(chǎn)產(chǎn)

以曾〉型

即加電“-

1g91g10.?.a=10"'—11>1011=0.

又lg81glO〈(3=(等)<(炮9『,..茬胃'即l°g89>〃z

<越詈2；<2JIgoIgy

=8m-9<810gs9-9=0.：.a>o>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）

由9m=10,可得，〃=log）。e（LL5）.

根據(jù)a/的形式構(gòu)造函數(shù)/(尤)=廿一x—l(x>l),貝|/(力=,加7-1,

令((x)=0,解得％=機(jī)占，由，"=log910e(LL5)知天?(0,1).

f(x)在(1,+刃)上單調(diào)遞增，.?"(10)>/(8),即a>b,

又,，/(9)=9log91°-10=0,:.a>0>b.故選:A.

3111

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知。=—*=cos-,c=4sin-,貝|()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解析】[方法一]:構(gòu)造函數(shù)

(兀、Q1,

因?yàn)楫?dāng)工￡0,不，xvtanx,故一=4tan—〉l,故一>1,所以c>Z?；

<2Jb4b

設(shè)/(x)=cosx+g爐_i,%￡(o,+oo),/'(4)=一sinx+%>0,所以f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增,

(131

f~>f(0)-0/.cos--------->0,所以.c>b>a,故選彳

⑷432

［方法二］:不等式放縮

2>

因?yàn)楫?dāng)xe[0,=],sinx<x,取％=!得：COs-=l-2sin->l-2f-|=—,故

I2；848⑻32

..11/r=-.(114

4sin—+cos—=V17sin^—+^?j,其中^G^O,—J,JLsin^=-^=,cos^=-^=

當(dāng)4sin'+cos工時(shí)，—+(p=—,7L(p=~~—

444224

止匕時(shí)sin—=cos0=—j=cos—=sintz?=—j=./.cos—=——<—j==sin—<4sin—故

-4V174V174V/17如44'

b<c

：,b>a,.\c>b>a,故選/

［方法三］:泰勒展開(kāi)

310.252

設(shè)％=0.25,貝I。=——=1—,一『但

322424!

1

1sin八Q^2Q,勺4

c=4sin-=^^?l--+^—,計(jì)算得c>6>a,故選A.

4

［方法四］:構(gòu)造函數(shù)

—=4tan—,因?yàn)楫?dāng)xJo,g],sinx<x<tanx,tan—>—，即￡>1,：.c>b-,設(shè)

b4I2；44。

/(x)=cosx+^x2-l,xe(0,+oo),/'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增

則

/[：)>/(0)=。，所以cos；-||>0,:.b>a,:.c>b>a,故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

—=4tan—,因?yàn)楫?dāng)xe[o,'],sinx<x<tanx,所以tan1>^，即￡>1,所以c>〃；因

b4k2J44b

為當(dāng)xe(0,g],sinx<x,取苫=!得cos』=]_2sin2l>]_2[l]=—,：.b>a,

\2；848⑻32

:.c>b>a.

故選：A.

6.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)。=0.卜°」,6=。c=-ln0.9,貝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

答案C

解：方法一,:構(gòu)造法

1Y

設(shè)/(%)=ln(l+x)-x(x>-1),因?yàn)?(%)=;——1=---,

l+x1+X

當(dāng)無(wú)￡(—1,0)時(shí)，f\x)>0,當(dāng)%￡(0,+8)時(shí)/'(x)<0,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+x)-%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

/(1)</(0)=o,.-.lny-1<0,故卜吟=Tn0.9

即/?>C,

1919--111

f(---)<f(0)=0,In—+—<0,故—<e10,/.—e10<—,故〃<6,

10101010109

設(shè)g(x)=xe，+ln(l-x)(0<x<l),則g，(％)=(x+i)e*+-^=~:：+J

令力(尤)=e'(^2-1)+1,h'(x)-ex(x2+2x-l),

當(dāng)O<x<0-1時(shí)，"(x)<0,函數(shù)〃(尤)=/(尤2-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)a-1<X<1時(shí)，〃(x)>。，函數(shù)/2(%)=/(%2-1)+1單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,所以當(dāng)0〈尤〈夜一1時(shí)，h{x)<0,

所以當(dāng)0<尤<近一1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增,

所以g(01)>g(0)=0,即0.1e°i>—ln0.9,■-a>c,故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.le01,b=-^-,c=-ln(l-O.l),

1—(J.1

①ln?-lnZ7=0.1+ln(l-0.1),

令/(-^)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

1—Y

則/,U)=1---=—<0,

1-x1-x

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減,

可得f(0-1)</(0)=0,即lna-ln&<0,所以a<b;

②o-c=0.1e01+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+In(l-A：),x6(0,0.1],

1(l+x)(l-x)e%-1

則g\x)=xex+ex

1—x1—X

令*(x)=(l+x)(l-x)er-l,所以r(x)=(l-%2-2x)ex>0,

k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得左。)>打0)>0,即g'(x)>0,

g(x)在(0,?！簧蠁握{(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

7.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)