橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：xyO創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，學(xué)生自主探究：?jiǎn)栴}2:你能利用學(xué)過(guò)的知識(shí)快速畫出它的圖形嗎？作圖時(shí)候我們或許能用到或要考慮哪些問(wèn)題呢？問(wèn)題1：方程表示什么樣的曲線？橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍頂點(diǎn)扁平程度對(duì)稱性1.范圍說(shuō)明：橢圓落在x=±a,y=±b圍成的矩形中

oyF1F2x問(wèn)題3：觀察直角坐標(biāo)系中的橢圓，它有怎樣的范圍？你能利用方程（代數(shù)方法）確定出它的具體邊界嗎？

橢圓中,x的范圍是

.練習(xí)1：說(shuō)明橢圓位于

的矩形框里.y的范圍是

.YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）問(wèn)題4：觀察橢圓的形狀，它有怎樣的對(duì)稱性？在直角坐標(biāo)系中，要證明一個(gè)圖形的對(duì)稱性本質(zhì)是證明什么？（1）從圖形上看：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。2.對(duì)稱性結(jié)論:橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱。（2）從方程上看：（1）P(x,y)y軸（2）P(x,y)x軸（3）P(x,y)原點(diǎn)3、頂點(diǎn)橢圓與y軸的交點(diǎn)是什么？長(zhǎng)軸長(zhǎng)：A1A2=2aa長(zhǎng)半軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)：B1B2=2bb短半軸長(zhǎng)焦距長(zhǎng)：F1F2=2cc半焦距。

oyB2B1A1A2F1F2四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a,0)A2(a,0)坐標(biāo)為B1(0,-b)B2(0,b)橢圓與x軸的交點(diǎn)是什么？問(wèn)題5：觀察橢圓，你覺(jué)得有哪些比較特殊的點(diǎn)？為什么？如何得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)？令x=0，得y=±b令y=0，得x=±a練習(xí)2.根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)在同一坐標(biāo)系中畫出下列圖形.（1）（2）A1

B1

A2

B2

123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4xO問(wèn)題6：橢圓有些比較“扁”，有些比較“圓”，如何用一個(gè)適當(dāng)?shù)牧靠坍嫏E圓扁平的程度呢？123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4xA1

B1

A2

B2

Oa保持不變時(shí)，

b越小，此時(shí)橢圓就越扁b越大，此時(shí)橢圓就越圓可以刻畫橢圓的扁平程度.合作探究4.橢圓的離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率。刻畫橢圓的扁圓程度：

離心率問(wèn)題7：橢圓的離心率在什么范圍內(nèi)？0<e<1問(wèn)題8：橢圓的離心率在范圍內(nèi)變化時(shí)橢圓形狀如何變化？結(jié)論：離心率越大越接近1，橢圓越扁；離心率越小越接近0，橢圓越圓.特例：c=0，a=b,橢圓變?yōu)閳A，方程變?yōu)?.橢圓的離心率問(wèn)題9：你能運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解釋，為什么越大，橢圓越扁平？越小越接近于圓嗎？xyO標(biāo)準(zhǔn)方程圖象范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)焦距a,b,c關(guān)系離心率關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b焦距為2cxyOxyO關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b焦距為2c長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b焦距為2c小結(jié)關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.1、填空：長(zhǎng)軸長(zhǎng)：

；短軸長(zhǎng)：

；焦距：

；離心率：

；焦點(diǎn)坐標(biāo)：

；頂點(diǎn)坐標(biāo)：

；

64典例分析分析：橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：于是a=3，b=2，c=例1.已知橢圓方程為4x2+9y2=36,標(biāo)準(zhǔn)方程圖象范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)焦距a,b,c關(guān)系離心率關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b焦距為2cxyOxyO關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b