2025年陜西中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型專練：二次函數(shù)綜合題（含答案）

專題四二次函數(shù)綜合題

題型1二次函數(shù)的實際應(yīng)用

題型解讀二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題，在陜西中考2022,2023,2024年連續(xù)三年進(jìn)行

考查，其考查本質(zhì)為二次函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，其主要為頂點式的考查，在表達(dá)式的

基礎(chǔ)上進(jìn)行實踐應(yīng)用的考查，知x求y或知y求x,利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值，感受

數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用.

類型1拋物線運動軌跡問題

隗1（2024?西安市蓮湖區(qū)模擬）如圖，在一場校園羽毛球比賽中，小華在點P選擇

吊球進(jìn)行擊球，當(dāng)羽毛球飛行的水平距離是1m時,達(dá)到最大高度3.2m,建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系.羽毛球在空中的運行軌跡可以近似地看成拋物線的一部

分，隊友小樂則在點P選擇扣球進(jìn)行擊球，羽毛球的飛行高度門（單位:m）與水平距

離x（單位:m）近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系yi=-0.4x+2.8.

（1）根據(jù)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求吊球時羽毛球滿足的二次函數(shù)表達(dá)式.

⑵在（1）的條件下，已知球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA=3m,CA=2m,且點A,C都

在x軸上，實踐發(fā)現(xiàn)擊球和吊球這兩種方式都能使羽毛球過網(wǎng).要使球的落地點到

點C的距離更近,請通過計算判斷應(yīng)該選擇哪種擊球方式？

y-

O|AC~W

解題指南（1）抓住最大高度這一特征,設(shè)出頂點式:y=a（x-hy+k,然后將點P的坐

標(biāo)代入即可.

（2）分別令一次函數(shù)與二次函數(shù)的y為0,對比兩種方式在x軸的交點的橫坐標(biāo)到

點C的橫坐標(biāo)的距離大小即可.

類型2以建筑為背景的“過橋”問題

二卜2(2024?西工大模擬)陜北窯洞，具有十分濃厚的民俗風(fēng)情和鄉(xiāng)土氣息.如圖，某

窯洞口的下部近似為矩形OABC,上部近似為一條拋物線.已知OA=3m,AB=2m,

窯洞的最高點M(拋物線的頂點)離地面OA的距離為期m.

(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求拋物線的表達(dá)式.

(2)若在窯洞口的上部要安裝一個正方形窗戶DEFG,使得點D,E在矩形OABC的

邊BC上，點F,G在拋物線上,那么這個正方形窗戶DEFG的邊長為多少米？

★解題指南(1)借助點M為頂點，設(shè)出頂點式，然后將點B坐標(biāo)代入頂點式即可.

(2)設(shè)出小正方形DEFG的邊長，然后用所設(shè)邊長表示出點G的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，最

后代入(1)中拋物線的表達(dá)式解方程即可.

,變式設(shè)問

（2024?西安新城區(qū)模擬）某地想將新建公園的正門設(shè)計為一個拋物線型拱門，設(shè)計

部門給出了如下方案:將拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖，拋物線型拱門的

跨度ON=24m,拱高PE=8m.其中，點N在x軸上,PE1ON,OE=EN.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）現(xiàn)要在拱門中設(shè)置矩形框架，其周長越小越好（框架粗細(xì)忽略不計）.設(shè)計部門給

出了兩個設(shè)計方案：

方案一:矩形框架ABCD的周長記為Ci,點A、D在拋物線上，邊BC在ON上，其

中AB=6m.

方案二:矩形框架ABCD的周長記為C2,點在拋物線上，邊BC在ON上，其

中A'B'=4m.

求這兩個方案中，矩形框架的周長C1,C2,并比較cbc2的大小.

類型3以“懸掛線”為背景解決高度問題

部3如圖,在一個斜坡上架設(shè)兩個塔柱AB,CD（可看作兩條豎直的線段），塔柱間

掛起的電纜線下垂可以近似地看成拋物線的形狀.兩根塔柱的高度滿足

AB=CD=27m,塔柱AB與CD之間的水平距離為60m,且兩個塔柱底端點D與點

B的高度差為12m.以點A為坐標(biāo)原點,1m為單位長度構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系.

(1)求點B,C,D的坐標(biāo).

(2)經(jīng)過測量,AC段所掛電纜線對應(yīng)的拋物線的形狀與拋物線yq器x2一樣，且電

纜線距離斜坡面豎直高度至少為15.5m時,才符合設(shè)計安全要求.請結(jié)合所學(xué)知識

判斷上述電纜線的架設(shè)是否符合安全要求?并說明理由.

,變式設(shè)問

(2024?陜師大附中模擬)在元旦來臨之際，學(xué)校安排各班在教室進(jìn)行聯(lián)歡.八(2)班同

學(xué)準(zhǔn)備裝點一下教室.他們在屋頂對角A,B兩點之間拉了一根彩帶,彩帶自然下垂

后呈拋物線形狀.若以兩面墻交線AO為y軸，以點A正下方的墻角點O為原點建

立平面直角坐標(biāo)系，此時彩帶呈現(xiàn)出的拋物線表達(dá)式為丫=a*2-0.6*+3.5.已知屋頂

對角線AB長12m.

(l)a=，該拋物線的頂點坐標(biāo)為.

(2)小軍想從屋頂正中心C(C為AB的中點)系一根繩子CD.將正下方彩帶最低點

向上提起，這樣兩側(cè)的彩帶就形成了兩個對稱的新拋物線形狀(如圖所示).要使兩

個新拋物線彩帶最低點之間的水平距離為5m,且比之前的最低點提高0.3m.求這

根繩子的下端D到地面的距離.

題型2圖形面積探究

類型1面積、線段最值探究

類型解讀二次函數(shù)中面積問題，基本上都可以轉(zhuǎn)化為線段相關(guān)問題,線段的三種表

示方式:①水平型，②垂直型,③斜型.以邊為分類標(biāo)準(zhǔn)，可采取不同方法進(jìn)行面積

的求解，現(xiàn)對不同類型線段的表示作以說明.

⑴線段AB||y軸時，點A,B橫坐標(biāo)相等，則AB=|y1-y2|=|y2-yi|=yi-y2.

(2)線段BCHx軸時，點B,C縱坐標(biāo)相等，則BC=|X2-X1|=|X1-X2|=X2-X1.

(3)線段AC與x軸,y軸不平行時，在RtAABC中,AC4AB?+BC2=

J(X1-2)2+(丫172產(chǎn)

解法探究

第一步，過動點向x軸作垂線，與定邊產(chǎn)生交點

第二步，設(shè)動點坐標(biāo)，表示交點坐標(biāo)

第三步，表示縱向線段長度|y上-y下|

,11

第四步，利用水平寬鉛垂高表示三角形面積:S=^(y上-y下)(x右-x左)

H【原創(chuàng)好題】“水平寬"與'鉛垂高”的運用:已知AABC的三個頂點坐標(biāo)分別

為A(XA,yA),B(XB,yB),C(xc,yc),用含有A,B,C坐標(biāo)的方式表示出z\ABC的面積.

解題指南(1)在平面直角坐標(biāo)系中作AABC,要求點A,B在點C的左、右兩側(cè),

經(jīng)過點C作x軸的垂線交AB于點D,則4ABC被分成兩部分，即

S△ABC=S△ACD+SABCD-

(2)過點A作4ADC的高％,過點B作4DBC的高h(yuǎn)2,所以aACD與aBCD的面積

一11

⑶所以SAABC=SAADC+SABCD與CD%+去CD%與CD(hi+h2).

(4)其中hi與h2的和可以看作點A與點B的水平間的距離，因此稱之為“水平

寬”,hi+h2=|xB-XA|,CD是點C與點D的豎直間的距離,稱之為鉛垂高"，即CD=|yD-yc|9

==

故SAABCSAACD+SABCD2'|yD-yc|-|XB-XA|-

,變式設(shè)問

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點,拋物線

y=-x2+bx+c過A,B兩點,D為線段AB上一動點，過點D作CDlx軸于點C,交拋物

線于點E.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)求AABE面積的最大值.

2.如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于

點C,連接BC.

(1)求A,B,C三點的坐標(biāo).

(2)若P為線段BC上的一點(不與點B,C重合),PM||y軸，且PM交拋物線于點M,

交x軸于點N.當(dāng)線段PM的長度最大時，求點M的坐標(biāo).

類型2面積關(guān)系探究

(2018.T24)

，同側(cè)時:過定點作定底邊的平行線

/定公共底邊(

I'異側(cè)時:求定點關(guān)于底邊某端點對稱點,再作平行線

面積相等

問題

一/同側(cè)時:公共底邊平行定邊時

、動公共底邊

一\異側(cè)時:公共底邊過定邊中點時

2【改編】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-^x2+bx與x軸交于0,A

兩點,B(l,4)在拋物線上.若P是拋物線上一點，且在直線AB的上方，且滿足AOAB

的面積是APAB面積的2倍，求點P的坐標(biāo).

【解題指南(1)第一步，將點B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，求出b的值，根據(jù)A,B

兩點的坐標(biāo)，求出直線AB的表達(dá)式；

(2)第二步，借助三角形的面積公式，求出AOAB的面積，根據(jù)^OAB與APAB的面積

關(guān)系求出4PAB的面積；

(3)第三步，設(shè)點P的坐標(biāo)為(t「爭2+空"過點P作x軸的垂線，與AB交于點N,并

結(jié)合直線AB的表達(dá)式，表示出點N的坐標(biāo)；

(4)第四步，借助“水平寬，鉛垂高”，求出PN的長度用含有t的式子表示出PN的長

度,構(gòu)造方程求解即可.

,變式設(shè)問

1.如圖，拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)為

?2

(3,0),拋物線與直線y=--x+3交于C,D兩點，連接BD,AD.

⑴求m的值.

(2)求A,D兩點的坐標(biāo).

(3)若拋物線上有一點P,滿足SAABP=4SAABD,求點P的坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(O,-1),拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B(4,5)和

C(5,0).

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)連接AB,BC,求NABC的正切值.

(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點D,使得SAABD=SAABC?若存在，直接寫出點D

的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

3.已知拋物線y=-x2+bx+c過點A(-1,O),B(3,O),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式.

(2)P為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)APCB是以BC為底邊的等腰三角形時，求點P

的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，是否存在M為拋物線第一象限上的點，使得SABCM=SABCP?若存

在,求出點M的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解題指南(1)由交點式可直接得出拋物線的解析式.

(2)設(shè)根據(jù)列出方程，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo).

(3)作PQHBC交y軸于點Q,作MN||BC交y軸于點N,先求出PQ的解析式，進(jìn)而

求得MN的解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果.

方法歸納

借助“同底等高”找等面積的方法

在平面直角坐標(biāo)系中有AABC,分別在BC所在直線的兩側(cè)找出一點P和Q,使得

SAPBC=SAQBC=SAABG

操作方式：

(1)根據(jù)要求可知APBC和AQBC均與AABC具有共同的底邊BC,要使它們的面積相等，

只需要它們的高相等即可，因此可以設(shè)APBC與AQBC的高均為h;

(2)確定高以后，過點A作BC的平行線,則在所作平行線上存在一點P滿足SAPBC=SAABC；

(3)如圖，將BC所在直線向下平移AO,個單位長度，過A彳乍BC的平行線，則該直線上存在

一■點Q滿足SAQBC=SAABC；

⑷運用“同底等高”法時，務(wù)必考慮不同位置的情況；

(5)進(jìn)行面積計算時，可以直接利用三角形面積公式求解.

題型3特殊三角形問題探究

類型1等腰三角形問題探究

類型解讀等腰三角形存在問題，可以分為兩個方向來解決，幾何法和代數(shù)法，其中

幾何法的優(yōu)勢在于比較直觀地得到結(jié)果，對幾何圖形要求較高;代數(shù)法以解析幾何

為背景可更快地找到等量關(guān)系，方法較為單一,等腰三角形問題做完之后一定要驗

證是否出現(xiàn)三點共線的情況.

方法一幾何法

(1)兩圓一線找出點；

(2)利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長求得點坐標(biāo)

方法二代數(shù)法

⑴表示出三個點坐標(biāo)A,B,C;

(2)由點坐標(biāo)表示出三條線段AB,AC,BC；

⑶分類討論①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;

(4)列出方程求解

H(2024?鐵一中模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線L的頂點E的坐標(biāo)為

(-2,8),且過點B(0,6),與x軸交于M,N兩點.

(1)求該拋物線L的表達(dá)式.

(2)設(shè)拋物線L關(guān)于y軸對稱后的拋物線為U,其頂點記為點D,連接MD,在拋物線

U對稱軸上是否存在點Q,使得以點M,D,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,

求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

,變式設(shè)問

(2024?西咸新區(qū)模擬)如圖,拋物線L:y=ax2+bx-3(a>b為常數(shù)，且a/))與x軸交于點

A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點C.將拋物線L向右平移1個單位長度得到拋物線L,.

y

AO'B'x

C-

(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式.

⑵連接AC,探究拋物線U的對稱軸直線1上是否存在點P,使得以點A,C,P為頂點

的三角形是等腰三角形?若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在，請

說明理由.

類型2直角三角形問題探究

類型解讀直角三角形存在問題，菱形中對角線垂直，矩形中的內(nèi)角為直角,有下列

兩個方向可以幫助解決問題，不同的方法適用不同方向的題目，注意區(qū)分其方法.

一、勾股定理

若AC2+BC2=AB2JIJAABC為直角三角形

二、構(gòu)造“K”字型相似

過直角頂點作坐標(biāo)軸的平行線,過其他兩點向平行線作垂直，出現(xiàn)“一線三等角”模型，利用“一線三

等角”的相似模型，構(gòu)建方程解決問題

EP2已知拋物線L:y=ax2-2ax-8a(a和)與x軸交于點A,點B,且點A在點B的左

側(cè)，與y軸交于點C.

(1)求出點A與點B的坐標(biāo).

(2)當(dāng)AABC是以AB為斜邊的直角三角形時，求拋物線L的表達(dá)式.

變式設(shè)問

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線Ci：y=ax2+bx+c(a/J)交x軸于點A(-5,0),B(-l,0),

交y軸于點C(0,5).

(1)求拋物線Ci的表達(dá)式和頂點D的坐標(biāo).

(2)將拋物線?關(guān)于y軸對稱的拋物線記作C2,E為拋物線C2上一點，若ADOE是

以DO為直角邊的直角三角形，求點E的坐標(biāo).

方法歸納

直角三角形中的找點方法和計算方法

找點方法：

??

AB

示例:如圖，在平面內(nèi)有A,B兩點,試著找出一點C,使得A,B,C三點構(gòu)成的三角形為直角三角

形.

分兩種情況討論：

當(dāng)AB為直角邊時，

［過點A作AB的垂線11，

I過點B作AB的垂線必

當(dāng)AB為斜邊時，以AB為直徑作圓.

如圖,在直線上的點C滿足AABC為直角三角形，但要注意一點:點C不與A,B兩點重合.

我們將這種找點C的方法稱為“兩線一圓”.

計算方法：(1)利用勾股定理構(gòu)造方程求解；

(2)以“K”字型搭建相似三角形，列比例式構(gòu)造方程求解.

類型3等腰直角三角形問題探究

類型解讀等腰直角三角形相關(guān)問題，以等腰直角三角形和正方形問題，主要解題方

法相對統(tǒng)一，注意如何構(gòu)圖能直觀得到“K”字全等是解決問題的關(guān)鍵之處.

(1)過直角頂點作坐標(biāo)軸平行線，構(gòu)造“K”字全等

(2)方法一:設(shè)某小邊長度.方法二:設(shè)點坐標(biāo)，表示直角三角形中的直角邊

(3)利用某縱向或橫向線段構(gòu)建等式

如圖,拋物線y=-|(x+l)(x-5)與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C.如果P是

拋物線上一點,M是該拋物線對稱軸上的點，當(dāng)AOMP是以0M為斜邊的等腰直角

三角形時，求點P的坐標(biāo).

解題指南第一步，過直角頂點作平行y軸的垂線，分別過另兩個頂點作垂直，構(gòu)

造“K”字全等；

第二步，利用坐標(biāo)分別表示兩直角三角形的直角邊；

第三步，利用某邊相等構(gòu)造方程.

,變式設(shè)問

(2024?高新一中模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線L:y=x?+bx+c與x軸交于

點A(l,0)和點B,與y軸交于點C(0,3).

(1)求出拋物線L的表達(dá)式和頂點的坐標(biāo).

(2)P是拋物線L的對稱軸右側(cè)圖象上的一點，過點P作x的垂線交x軸于點Q,作

拋物線L關(guān)于直線PQ對稱拋物線L；則C關(guān)于直線PQ的對稱點為C,若APCC

為等腰直角三角形，求出拋物線U的表達(dá)式.

題型4三角形關(guān)系問題

類型1與相似三角形結(jié)合問題

類型解讀三角形的關(guān)系問題是陜西考試中非常常見的一個類型，中考中多次連續(xù)

出現(xiàn)才目似問題的處理方法也相對較為固定,以固定三角形為參照，找到定角，以邊

為分類標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)行分類討論.主要有兩個方法.

方法一:利用一角相等,鄰邊成比例證明相似

方法二:兩組角相等的三角形相似

分析目標(biāo)三角形：

第一類:找一角相等用鄰邊成比例.

第二類:找一角相等(多為90。問題)，找另一角相等.

方法總結(jié):(1)分動、定三角形;(2)找等角;(3)表示邊或者找另一角相等.

瓢卜1(2024?曲江一中模擬)如圖,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過坐標(biāo)原點O與點A(3,0),正

比例函數(shù)y=kx與拋物線交于點B(蕓).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)P是第四象限拋物線上的一個動點，過點P作PMlx軸于點N,交OB于點M,是

否存在點P,使得AOMN與以點N,A,P為頂點的三角形相似?若存在，請求出點P

的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

變式設(shè)問

(2024?陜師大附中模擬)已知拋物線Li：y=x2+bx+c與x軸交于點A,B(點A在點B

的左側(cè))，與y軸交于點C(0,-3),對稱軸為直線x=l.

(1)求此二次函數(shù)表達(dá)式和點A,B的坐標(biāo).

(2)P為第四象限內(nèi)拋物線Li上一動點，將拋物線Li平移得到拋物線L2,拋物線L2

的頂點為點P,拋物線L2與y軸交于點E,過點P作y軸的垂線交y軸于點D.是否

存在點P,使以點P,D,E為頂點的三角形與^AOC相似?如果存在，請寫出平移過程,

并說明理由.

類型2與全等三角形結(jié)合問題

1.全等為特殊的相似，相似比為1，方法與相似一致.

2.注意相等角的鄰邊分類情況.

02【改編】如圖,拋物線y=-|x2噂x+4的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸的

正半軸交于點C,過點C的直線y=qx+4與x軸交于點D.若M是拋物線上位于第

一象限的一動點，過點M作ME1CD于點E,MF||x軸交直線CD于點F,當(dāng)

△MEF=ACOD時,求出點M的坐標(biāo).

喃題指南當(dāng)AMEF三ZkCOD時，

(1)找準(zhǔn)對應(yīng)角、邊.結(jié)合關(guān)系式可知/MEF=ZCOD/MFE=ZCDO,MF=CD.

(2)根據(jù)直線CD的表達(dá)式求出線段CD的長度.由點M在拋物線上，可以設(shè)點M

的坐標(biāo)為(01,-|012第01+4),再由MF||x軸，得點F的縱坐標(biāo).根據(jù)全等三角形的對

應(yīng)邊相等可以得出點F的橫坐標(biāo)為m-5.

(3)由點F在直線CD上，將點F的坐標(biāo)代入直線CD的表達(dá)式中，求出m的值.

,變式設(shè)問

已知經(jīng)過原點0的拋物線y=-x2+4x與x軸的另一個交點為A.

(1)求點A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸.

(2)B是0A的中點,N是y軸正半軸上一點，在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點M,

使得AOMN與AOBM全等，且點B與點N為對應(yīng)點?若存在，請求出點M的坐標(biāo)；

若不存在,請說明理由.

方法歸納

與全等三角形結(jié)合問題的求解步驟

(1)全等三角形的問題與相似三角形的問題步驟類似，均是先列出三角形的對應(yīng)關(guān)系式，

再根據(jù)關(guān)系式找出對應(yīng)邊相等；

(2)借助對應(yīng)邊相等,將邊與邊的長度關(guān)系用點的坐標(biāo)進(jìn)行表示，然后運用“兩點間距離公

式”構(gòu)造方程求解.

題型5特殊四邊形問題探究

類型1平行四邊形問題探究

類型解讀平行四邊形問題，一般分為三定一動，兩定兩動問題，選取固定的兩個點

為分類標(biāo)準(zhǔn)，①以某邊為邊時;②以某邊為對角線時.

第一步，尋找分類標(biāo)準(zhǔn)；

第二步，平移點,找關(guān)系(注意:從A到B和從B到A);

第三步，代入關(guān)系求值

(2024,西工大附中模擬)如圖,拋物線y=ax2-2x+c與直線y=kx+b都經(jīng)過

A(0,3),B(-3,0)兩點，該拋物線的頂點為C.

(1)求此拋物線和直線AB的表達(dá)式.

(2)設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E,在射線EB上是否存在一點M,過點

M作x軸的垂線交拋物線于點N.使點M,N,C,E是平行四邊形的四個頂點?若存在,

求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

?變式設(shè)問

【改編】已知點A(-1,O)在拋物線L:y=x2-x-2上,拋物線U與拋物線L關(guān)于原點對

稱，點A的對應(yīng)點為點A；是否在拋物線L上存在一點P,在拋物線U上存在一點

Q,使得以AA，為邊，且以A,A,,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出點P

的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

方法歸納

平行四邊形中坐標(biāo)的計算

如圖1,在平行四邊形ABDC中，關(guān)于坐標(biāo)的計算——平移法則：

=

XB-xA=XD-xc,yB-yAyD-yc?

XA-Xc=XB-XD?yA-yc=yB-yD.

如圖2,在平行四邊形ADBC中，關(guān)于坐標(biāo)的計算——中點坐標(biāo)公式:

XA+XBxc+XDyA+yByc+yrD

XM-2_2JM-2-2

類型2菱形問題探究

類型解讀菱形存在問題,主要分兩類.

第一類以平行四邊形為背景，在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對角線垂直或鄰邊相等即可得菱形.

(1)選一定點,再將這一定點與另外點的連線作為對角線，分類討論.

(2)利用中點坐標(biāo)公式列方程:XA廣C-XB；XD}A；yc_yBjyD.

(3)對角線垂直:可參照直角存在問題.

鄰邊相等:可參照等腰存在問題.

(4)平移型:先平行四邊形，再菱形.

翻折型:先等腰，再菱形.

第二類:若出現(xiàn)在平面內(nèi)任意一點存在性問題，則去掉此點，轉(zhuǎn)化為等腰存在問題，可以利用等

腰存在問題策略解決問題

Eb2如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點

C,OA=2,OC=6,連接AC和BC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

⑵若M是y軸上的動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使以A,C,M,N為頂點的四

邊形是菱形?若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

類型3矩形問題探究

類型解讀矩形存在性問題,主要分兩類.

第一類:以平行四邊形為背景，在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對角線相等或一內(nèi)角為90。即可得

到矩形.

(1)選一定點,再將這一定點與另外點的連線作為對角線，分類討論.

(2)利用中點坐標(biāo)公式列方程:XA+Xc=XB+XD；yA+yC=yB+yD.

(3)方向一對角線相等：A/(XA-XC)2+(yA-yc)2R(XB-XD)2+(yB-yD)2.

方向二有一角為90。.

第二類:若出現(xiàn)在平面內(nèi)任意一點存在性問題，則去掉此點，轉(zhuǎn)化為直角存在問題，可以利用直

角存在問題策略解決問題

仁卜3已知拋物線L:y=ax2+bx(a邦)經(jīng)過點B(6,0),C(3,9).

(1)求拋物線L的表達(dá)式.

(2)若拋物線U與拋物線L關(guān)于x軸對稱,P,Q(點P,Q不與點O,B重合)分別是拋物

線L,U上的動點，連接PO,PB,QO,QB,問四邊形OPBQ能否為矩形?若能，求出滿足

條件的點P和點Q的坐標(biāo);若不能，請說明理由.

,變式設(shè)問

已知拋物線L:y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于

點C.

(1)求A,B,C三點的坐標(biāo).

(2)拋物線L平移后得到拋物線U,點A,C在拋物線U上的對應(yīng)點分別為點A',C,

若以A,C,A，,C為頂點的四邊形是面積為20的矩形，求平移后的拋物線U的表達(dá)式.

類型4正方形問題探究

類型解讀(在菱形的基礎(chǔ)上增加對角線相等)

(1)選一定點,再將這一定點與另外點的連線作為對角線，分類討論.

(2)利用中點坐標(biāo)公式列方程:XA+Xc=XB+XD；yA+yc=yB+yD.

(3)平行四邊形題基礎(chǔ)上加等腰直角三角形問題.

部4如圖，一條拋物線y=ax2+bx(aW0)的頂點坐標(biāo)為(2,2,正方形ABCD的邊AB

落在x軸的正半軸上，點C,D在這條拋物線上.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式.

(2)求正方形ABCD的邊長.

解題指南⑴已知頂點,可直接設(shè)拋物線的頂點式:y=a(x-h)2+k,將點的坐標(biāo)代入

計算即可.

(2)①在正方形中，四條邊均相等；

②設(shè)出正方形的邊長，并根據(jù)所設(shè)邊長表示出正方形ABCD的頂點坐標(biāo)；

③注意觀察正方形ABCD的頂點C,D在拋物線上；

④代入相應(yīng)點的坐標(biāo)求出所設(shè)的邊長即可.

變式設(shè)問

已知二次函數(shù)y=-1x2+bx+c的圖象L經(jīng)過原點，且與x軸的另一個交點為(8,0).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)作x軸的平行線，交L于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，過A,B兩點分別作x

軸的垂線，垂足分別為D,C.當(dāng)以A,B,C,D為頂點的四邊形是正方形時，求點A的坐

標(biāo).

方法歸納

借助拋物線判定正方形的思路步驟

1.明確在拋物線上的正方形的兩個頂點；

2.借助拋物線表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c(a/)),設(shè)出其中一個頂點坐標(biāo)為(x,ax2+bx+c),然后利用

拋物線對稱軸表示出另一個頂點坐標(biāo)；

3.根據(jù)正方形四條邊相等構(gòu)造一元二次方程求解即可.

題型6角度問題探究

題型解讀角相關(guān)問題是二次函數(shù)中相對較為綜合性的問題,在近幾年中考中也常

出現(xiàn)在各個省市的中考題中，問題最終都會落到以下問題上來.

等角問題,可直接用等角的性質(zhì)來處理問題.

解決策略：

(1)尋找相似，出現(xiàn)等角;(2)利用三角函數(shù)找等角;(3)利用軸對稱來找等角.

【改編】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-x2+4x-3與x軸分別交于

A,B兩點，且點A在點B的左側(cè).在拋物線上是否存在一點D,使得NDOA=45。?若

存在,求出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解題指南以平面直角坐標(biāo)系為背景來探究角度問題，常用的思路為借助三角

函數(shù)構(gòu)造方程求解.本題具體步驟如下：

第一步，根據(jù)ZDOA=45。,聯(lián)想tanZDOA=l;

第二步，根據(jù)點D在拋物線上，可以過點D作x軸的垂線，記垂足為H,在△DOH

中JanNDOH3普；

第三步，由點D在拋物線上，設(shè)點D的坐標(biāo)為(t,-t2+4t-3);

第四步，根據(jù)DH=%|*t2+4t-3|,OH呻構(gòu)造方程求解即可.

,變式設(shè)問

已知拋物線L:y=-§x2+bx+c,與y軸的交點為C(0,2),與x軸的交點分別為

A(3,0),B(點A在點B右側(cè)).

(1)求拋物線的表達(dá)式.

⑵將拋物線沿x軸向左平移m(m>0)個單位長度，所得的拋物線與x軸的左交點為

M,與y軸的交點為N,若ZNMOZCAO,求m的值.

參考答案

題型1二次函數(shù)的實際應(yīng)用

類型1拋物線運動軌跡問題

例1解析:⑴在刃=-0.4x+2.8中，令x=0,則刃=2.8,

?:尸(0,2.8).

根據(jù)題意,二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為(1,3.2).

設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為j=a(x-l)2+3.2,

才巴尸(0,2.8)代入^=。(》-1)2+3.2,

得a+3.2=2.8,解得片-0.4,

?：吊球時羽毛球滿足的二次函數(shù)表達(dá)式片-0.4(x-l)2+32

(2)吊球時冷尸0,則-0.4(X-1)2+3.2=0,

解得羽=1+2A/^,X2=1-2&(舍去)，

扣球時，令尸0廁-O4x+2.8=0,解得x=7.

"OA=3m,CA=2m,

.-.OC=OA+AC=5.

:7-5=2,|2心+l-5|=4-2也＜2,

選擇吊球時，球的落地點到點C的距離更近.

類型2以建筑為背景的“過橋”問題

例2解析:(1)由題意得點M,B的坐標(biāo)分別為Q§),(3,2).

2.o

設(shè)拋物線的表達(dá)式為尸aQ22+京

解得。=力

,：拋物線的表達(dá)式為J=

(2)設(shè)正方形的邊長為2m.

把點2+2掰)代入拋物線表達(dá)式，

得2+2能T(|-叫L率

解得機U(負(fù)值已舍去)，

.：正方形窗戶DEFG的邊長為1m.

變式設(shè)問解析：(1)由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為(12,8),

N(24,0).

設(shè)產(chǎn)a(x-12)2+8,

把N(24,0)代入表達(dá)式中，得a=%

?:該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)叱(x-12)2+8.

⑵方案「令y=6,即6=-^(x-12)2+8.

解得％1=642=18,.：3。=4)=12.

又:N5=CZ>=6,.：矩形/5CQ的周長Ci=2xl2+2x6=36(m).

方案二:令尸4,即4=中=2)2+8,

解得修=12-6隹M=12+6反

.-.B'C'=A'D'=12+6&-(12-6?=12&.

又以W=CD=4,.：矩形的周長。2=2xl2m+2x4=(24^+8)m.

：-Ci=36=28+8=4x7+8,

。2=24/+8=4x6&+8,

.：36<24a+8,即Ci<C2.

類型3以“懸掛線”為背景解決高度問題

例3解析：

(1)如圖，過點c作CELy軸,垂足為E,過點D作DFLy軸,垂足為E記CD與x軸

相交于點G.

根據(jù)題意，得點B的坐標(biāo)是(0,-27).

:：FS=12,則GD=OF=OB-FB=21-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=21-i5=12,

.:點C的坐標(biāo)是(60,12),點D的坐標(biāo)是(60,-15).

(2)符合安全要求.

理由:設(shè)AC段所掛電纜線對應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-^x2+bx,

將點C(60,12)代入表達(dá)式中，得12=^x602+606,解得公得

由點8(0,-27),0(60,-15)可知直線BD的表達(dá)式為>=聶-27.

記M為拋物線上一點，過點M作x軸的垂線與BD交于點N.

設(shè)點〃(m,-^m2-jm)廁點N，加-27),

故肱懺自--劍-(加-27)=之(祖-30)2+18之18>15.5,

.：電纜線距離斜坡面豎直高度的最小值為18m,高于安全需要的距離15.5m,故符

合安全要求.

變式設(shè)問解析:⑴0.05;(6,1.7).

提示:由題意得拋物線的對稱軸為直線x=6,

則幺(0,3.5)3(12,3.5),

.：144tz-7.2+3.5=3.5,

解得a=0.05,

.:拋物線的表達(dá)式為y=0.05x2-0.6x+3.5.

當(dāng)x=6時少=0.05%2-0.6%+3.5=1.7,即該拋物線的頂點坐標(biāo)為(6,1.7),

(2)：?兩個新拋物線彩帶最低點之間的水平距離為5m,且比之前的最低點提高0.3

m,

?:左邊新拋物線的頂點坐標(biāo)為(3.5,2).

設(shè)左邊新拋物線的表達(dá)式為y=a'(x-3.5y+2,

將點A的坐標(biāo)代入上式得3.5=優(yōu)(0-3.5)2+2,解得a'=-^,

.:左側(cè)拋物線的表達(dá)式為y=/(x-3.5)2+2.

當(dāng)x=6時急(6-3.5尸+2卷,

?:這根繩子的下端。到地面的距高為言m.

題型2圖形面積探究

類型1面積、線段最值探究

例1解析:如

A巖

圖，過點C作垂直于x軸的直線，與AB交于點。，分別過點A,B作CD的垂線段

〃1,人2,即S*BC=S“CD+S&BCD.“DC=￡D'h\,S〉BCD=￥^D'g

^S^ABC=SLACD+S^BCD=^CD'(JII+h—.

+

又rCD=\yD-yc\,h\h2=\xB-xA\,

,:s”BC=Sco+S"CD=±(ygc)(物-%4).

變式設(shè)問1.解析:⑴在一次函數(shù)y=x+4中，令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,

以(-4,0)乃(0,4).

:,點4(-4,0)乃(0,4)在拋物線y=-N+bx+c上，

?:拋物線的表達(dá)式為y=-x2-3x+4.

⑵設(shè)點C的坐標(biāo)為(加,0)(-名生0),則點E的坐標(biāo)為(加，如2_3加+4),點D的坐標(biāo)為

則DE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m,

=222

則SLABE\DE-(XB-XA)=1(-m-4m)x4=-2m-8zw=-2(m+2)+8.

：-4<m<0,

.:當(dāng)m=-2時,S取得最大值，最大值為8.

故△4BE面積的最大值為8.

2.解析:⑴對于了=--+2》+3,令x=0,則y=3,

令y=0,貝1」-/+2》+3=0,解得修=3,必=-1,

以(-1,0),8(3,0).

(2)煙3,0)0(0,3),

.：設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b(k^0),

o3k+

響

得

貝---

-77-

b3牛3

,

.：直線BC的表達(dá)式為j=-x+3.

設(shè)點P的坐標(biāo)為。4+3),

則點M的坐標(biāo)為&-P+2什3),

.-.PM=-fi+2t+3+t-3=-t2+3t=-Q-p2+J.

：0</<3且拋物線開口向下，

.:當(dāng)片期寸盟1最大，

此時點新的坐標(biāo)為Qp.

類型2面積關(guān)系探究

例2解析:將點B的坐標(biāo)代入拋物線y=-y+bx中，有4=甘+仇解得6=中,

令尸0相-32+學(xué)40,可知z(4,0).

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+m(k^0),

將幺(4,0),5(1,4)代入，

k=-

后［4k+m=0“.解得.￡

旬Ik+m=4,(m3,

故直線AB的表達(dá)式為y=-^x+y.

：以0/5=已4x4=8,

?:故S〉PAB=4.

如圖，過點尸作x軸的垂線，交x軸于點M交AB于點N,過點B作BELPM于點E.

:SAPAB=SAPNB+SAPNA寺NBE+研N-AM=^PN=4,

.：PN=%

設(shè)點P的坐標(biāo)為(層/2+學(xué))(1</<4),

忒，歲+乳

.:qN=-?2+/(-學(xué)+p/解得t=2或t=3,

.：點尸的坐標(biāo)為(2,號)或(3,4).

變式設(shè)問1.解析:⑴拋物線產(chǎn)-/+皿+3經(jīng)過點(3,0),

.：-9+3根+3=0,

.：m=2.

⑵由(1)知拋物線的表達(dá)式是了=-/+2》+3,

,：y=-(x-3)(x+l),

■:該拋物線經(jīng)過點(-1,0),(3,0).

:?點B的坐標(biāo)為(3,0),

.4(-1,0).

綜上所述,幺(-1,0),。&2.

⑶由題意知C(0,3)Q(淆).

?'S^ABP=4SA4BD,

.看48義|阿|=4x'8x?,

,：|y尸|=9,艮口了?=±9,

當(dāng)了=9時,-N+2x+3=9,

-'-x2-2x+6=0,

.：/=4-4x6<0".此方程無實數(shù)解,

當(dāng)v=-9時,-N+2x+3=-9,

解得Xi=l+V13^2=1-713,

,:點P的坐標(biāo)為(1+屈,-9)或(1-屈,-9).

2.解析:⑴把點5(4,5)和。(5,0)分別代入尸步+H+c,得｛袈：然：晨楙解得匕；5；

故該拋物線的表達(dá)式為y=-x2+4x+5.

(2)由點4(0,-1),點8(4,5)和C(5,0),得AC2=26,BC2=2652,

.?.AG+BGAB?,

.:乙4cB=9。。.

■.■AC=BC,

?,△ABC是等腰直角三角形,

.'.Z.ABC=45°,.'.tanZ-ABC=1.

(3)如圖,設(shè)直線AB與拋物線的對稱軸交于點E,

由y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9知，該拋物線的對稱軸是直線x=2.

由點2(0,-1)和點8(4,5)易得直線AB的表達(dá)式是y=lx-l.

把x=2代入y=|x-l,得y=2,即￡(2,2).

當(dāng)直線CDWAB時,設(shè)直線CD的解析式為尸為+/,

把C(5,0)代入，得|x5+片0,解得甘,

即直線CD的解析式為片步果

把x=2代入得產(chǎn)!義23=一|,

.:點D關(guān)于點￡(2,2)對稱點。(2,￡)也符合題意.

綜上所述,符合條件的點。的坐標(biāo)是(2,-?或(2,藍(lán)).

3.解題指南:尸8=尸。

解析:⑴由題意得y=-(x+l)(x-3),

■■y=-x2+2x+3.

⑵由題意易知拋物線的對稱軸為直線x=l,C(0,3),設(shè)尸(1〃).

???PB'PC1,

-(3-l)2+m2=l+(m-3)2,

(3)存在.

假設(shè)存在點M滿足條件.

如圖，連接8M作PQWBC交j軸于點0,作MN]\BC交j軸于點N.

:?點B的坐標(biāo)為(3,0),點C的坐標(biāo)為(0,3),

.：易求得直線BC的解析式為y=-x+3.

,.PQIIBC,且過點尸(1,1)".易求得直線PQ的解析式為y=-x+2,

：C(0,3)5BCM=S“BCP,--<0,4),

.：直線MN的解析式為y=-x+4.

由-x2+2x+3=-x+4,得x=^-,

.:點M的橫坐標(biāo)為(I或七叵

題型3特殊三角形問題探究

類型1等腰三角形問題探究

例1解析:(1)設(shè)拋物線L的表達(dá)式為y=a(x+2)2+8,

將點8(0,6)代入〉=必》+2)2+8彳導(dǎo)6=a(0+2)2+8,

解得

?：拋物線L的表達(dá)式為j=-1(x+2)2+8.

(2)存在.

理由:由(1)中拋物線的表達(dá)式得點M(-6,0).

如圖，由題意得新拋物線的對稱軸為直線x=2,Q(2,8).

設(shè)點0(2,優(yōu)),根據(jù)點的坐標(biāo)彳導(dǎo)。。2=(8-機)2,°〃2=64+祖2QM2=128.

當(dāng)。。=0河時,(8加)2=64+加2,解得機=0,.：點0(2,0);

當(dāng)時,(8-祖)2=128,解得加=8±8隹

.:點Q的坐標(biāo)為(2,8+8溝或(2,8-8河；

當(dāng)2M=。河時,64+/=128,解得m=-8或機=8(舍去)，.:點Q的坐標(biāo)為(2,-8).

綜上所述，點Q的坐標(biāo)為(2,0)或(2,8+8溝或(2,8-8溝或(2,-8).

變式設(shè)問解析:⑴把2(-1,0)乃(3,0)代入廠方2+旅一3中，

得｛看讓M,解得｛昌,

?：拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3.

(2)存在點P,使得以點A,C,P為頂點的三角形是等腰三角形.

理由:在尸N-2x-3中，

令x=0得片-3,.：。(0,-3).

:把拋物線y=/-2x-3向右平移1個單位長度得到拋物線

,：拋物線//的函數(shù)表達(dá)式為j=(x-l)2-2(x-l)-3=x2-4x=(x-2)2-4,

?:拋物線〃的對稱軸為直線x=2.

設(shè)尸(2J),

以(-1,0),

.4尸2=9+/2,c尸2=4+?+3)2,2。=10.

(2MZP=C尸廁9+祥=4+(什3)2懈得t=-l，

■:點P(2,-|)；

切4?=/。，則9+P=10,解得t=l或t=-l,

.:點尸(2,1)或(2,-1);

CP=ZC,則4+(什3)2=10,解得片偈3或t=-&-3,

.:點尸(2,偈3)或(2,-偈3).

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(2,-,或(2,1)或(2,-1)或(2/6-3)或(2,-巡-3).

類型2直角三角形問題探究

例2解析:⑴令片ax2-2ax-8a=0,

解得x=-2或x=4,

?:點48的坐標(biāo)分別為(-2,0),(4,0).

(2)如圖，由拋物線的表達(dá)式，得點C(0,-8a).

?2BC是以AB為斜邊的直角三角形，

貝(J乙4c8=90°.

■.■ACAB+AACO=90°,AACO+^OCB=90°,

.?.乙CAB=AOCB.

??ZAOC=LCOB,

.?△AOCfCOB,

?噴書，即2

OBCOOC=OAOB=2X4=8,

.：64a2=8,

解得a=總,

,：拋物線L的表達(dá)式為了=*2-導(dǎo)-2也或y=qx2+*x+2也.

變式設(shè)問解析：(1)將點N(-5,0),8(-l,0),C(0,5)代入v=ax2+bx+c,

a-L

,25a-5b+c=0,b-6

,-

得a-b+c=0,解傳C2

,c=5,

W=N+6x+5.

:y=N+6x+5=(x+3)2_4,

?:頂點D的坐標(biāo)為(-3,-4).

⑵設(shè)拋物線C2上任意一點的坐標(biāo)為(xj),則(xj)關(guān)于了軸對稱的點為(-X/),

?:點(-W)在拋物線G上，

2

拋物線C2的表達(dá)式為y=x-6x+5,

設(shè)￡&於-6什5),

如圖，過點D作DGlx軸于點G,過點E作EHlx軸于點H.

yZ-DOE=90°,

?ZGOD+^HOE=90。.

:NGOD+NGQO=90。，

.4O￡=NG。。，

??△GDOfHOE,

,GD_GO

**OH-HE'

??GD=aGO=3,HE=-@+6t-5QH=t,

十或〃

.:點E的坐標(biāo)為(4,-3)或幻專).

類型3等腰直角三角形問題探究

例3解析:??拋物線產(chǎn)-第+1)(/5),.：拋物線的對稱軸為直線產(chǎn)個=2,.??點M在直

線x=2上，即點〃的橫坐標(biāo)為2.

如圖，過點P作y軸的平行線交過點M與x軸平行的直線于點F,交x軸于點E,

設(shè)點尸的坐標(biāo)為'x,-|x2+1x+2<

■.■^MPO=9Q°,.-.^MPF+^OPE=9Q°.

:,乙OPE+乙POE=90°,

■■.Z-POE=Z-MPF.

??"FM=^OEP=90°FM=PO,

.?△PFM三△尸(AAS),

.:尸E=7l吠則1爭2+%+2I=|x-2],解得x=1或x=4或x=0或x=y,

故點P的坐標(biāo)為U或(4,2)或(0,2)或(土?.

變式設(shè)問解析：(1)由題意得｛:°=o,解得｛、。

,：拋物線L的表達(dá)式為j=x2-4x+3.

(2)由拋物線的表達(dá)式得頂點坐標(biāo)為(2,-1).

如圖，設(shè)C。交尸0于點N

若MCC為等腰直角三角形時，則PN=CN=C'N.

設(shè)點P(切⑼2_4切+3),則機=//-4m+3-3,解得機=0(舍去)或5,

即點尸的橫坐標(biāo)為5.

:原拋物線的對稱軸為直線x=2,

?:新拋物線的對稱軸為直線x=2+3+3=8,

■:新拋物線的頂點坐標(biāo)為(8,-1),

,：拋物線〃的表達(dá)式為j=(x-8)2-l.

類型1與相似三角形結(jié)合問題

例1解析:⑴將點43,0)石(舒)代入了="2+呢

得解得]二④

?少=N-3x.

(2)存在點尸，使得△OMN與以點N,A,P為頂點的三角形相似.

理由:將點8g2代入片而，即片執(zhí)解得k=^,.-.y=^x.

??QN=t,NM=；t,

???tanzMONU.

以(3,0),

:?AN=3-t.

。當(dāng)乙NPA=^M0N時廣場、

解得t=2或片3(舍)，.矣(2,-2);

②當(dāng)^NAP=^MON時”=由以，

解得片3(舍)或片?：尸(，).

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(2,-2)或U4).

變式設(shè)問解析:⑴由題意得［二，=「解得仁3；

，拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3.

令尸l2_2%_3=0廁％=_］或x=3,

即點/乃的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0).

(2)設(shè)點P(rn,m2-2m-3).

?:平移后的拋物線的表達(dá)式為y=(x-m)2+m2-2m-3,

?:點￡(0,2加2_2加-3),

^DE=2m2-2m-3-(m2-2m-3)=m2,PD=m.

在RtAACO中,tan4COU.

當(dāng)以點P,D,E為頂點的三角形與△ZOC相似時，

tanN￡P(guān)Z)U或3,即乎三或3,

解得加=3(舍去)或打.點尸q,號).

:拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,-4),

.：將。向左平移|個單位長度再向上平用個單位長度即可.

類型2與全等三角形結(jié)合問題

例2解析:---MELCD,

.-.^MEF=9Q°.

■.■MF\\x軸，

.?.乙MFE=LCDO.

:，AMEF三△COD,

.■.MF=CD.

■.-OC=4,OD=3,

.■.CD=5,

.-.FM=5.

設(shè)〃(

:,點F在直線CD上,

.：-|m2+ym+4=-|(m-5)+4,

.'.m=2或m=5,

.:點”的坐標(biāo)為(2,8)或(5,4).

變式設(shè)問解析：(1)過原點0的拋物線y=-x2+4x與x軸的另一個交點為A.

令y=0廁-N+4x=0,

解得xi=0用=4,以(4,0).

:拋物線y=-x2+4x,

.:拋物線的對稱軸為直線產(chǎn)苣=2,

?:點A的坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對稱軸為直線x=2.

⑵存在.必是0A的中點，.必(2,0).

圖1

遜口圖1,當(dāng)△OWN三時,

AMON=^OMB,AOMN=^MOB,.-.BM\\ON,MN\\OB,

.:點M的橫坐標(biāo)為2,把x=2代入y=-x2+4x中，

得了=-22+4*2=4,

.：M(2,4).

圖2

②^口圖2,當(dāng)XOMNNXOMB時，過點M作MHlx軸于點H.

:,&OMNW&OMB,

.-.^NOM=^BOM=45°,

.：0H=MH.

設(shè)M(m,-m2+4m),

■'■-m2+4m=m,

解得見=3,相2=0(舍去)，

綜上所述，點M的坐標(biāo)為(2,4)或(3,3).

題型5特殊四邊形問題探究

類型1平行四邊形問題探究

例1解析:⑴：拋物線廠"2-2x+c經(jīng)過40,3)班(-3,0)兩點,.：("6+。=0.

解得憶”

?：拋物線y=-x2-2x+3.

:,直線y=Ax+6經(jīng)過/(0,3),3(-3,0)兩點,

,',(b3k+b=0,解得t=I；

.：直線AB的表達(dá)式為y=x+3.

⑵在射線EB上存在一點過點河作x軸的垂線交拋物線于點N.使點M,N,C,E

是平行四邊形的四個頂點.

理由：：y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,

.：拋物線的頂點C的坐標(biāo)為(-1,4).

■.■CE\\y軸，點E在直線j=x+3上，

???^(-1,2).

.-.CE=2.

懣口圖1,連接CN.

若點〃在x軸的上方,四邊形CEW為平行四邊形，則CE=MN.

設(shè)M(a,a+3),則N(a,-a2-2a+3),

.'.MN=-a2-2a+3-(a+3)=-a2-3a,

■'--a2-3a=2.

解得a=-2或a=-1(舍去).

卷珈圖2,連接EN,CMMN.

若點〃在X軸的下方,四邊形CEW為平行四邊形，則CE=MN.

設(shè)M(a,a+3),則N(a,-a2-2a+3\

^MN=a+3-(-a2-2a+3)=a2+3a,

“2+3。-2=0,

解得〃=1±逅.

2

:々＜0,

.:點〃(-3一迎3一百)

2'2

綜上所述，點〃的坐標(biāo)為(-2,1)或〃(號

變式設(shè)問解析:存在.由拋物線L與拋物線〃的對稱性可知,

拋物線2/的表達(dá)式為y=-x--x+2,

點A關(guān)于原點。的對應(yīng)點為點Z；

.:點?(1,0),

.-.AA'=2,

以44為邊，且以A4',P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形"70=4T=2/0||4T.設(shè)

點P(x,x2-x-2).

當(dāng)點尸在點Q的左側(cè)時，點