第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分1.由于自變量x的變化引起函數(shù)y=f(x)變化的快慢問(wèn)題——函數(shù)的變化率，即導(dǎo)數(shù)的概念.3.求導(dǎo)或微分——微分法2.由于自變量x的微小變化(Δx很小)，引起函數(shù)y=f(x)的改變量Δy的近似值問(wèn)題——微分問(wèn)題。2第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一.導(dǎo)數(shù)概念的引例二.導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義主要內(nèi)容:三.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系31.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

問(wèn)題描述:

設(shè)某點(diǎn)沿直線做非勻速運(yùn)動(dòng),其走過(guò)的路程s

與時(shí)間t

的函數(shù)關(guān)系為s=f(t),那么動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)刻(設(shè)為t0)的瞬時(shí)速度如何求得?一.導(dǎo)數(shù)概念的引例4播放2.平面曲線的切線斜率5

如圖,曲線C的方程為y=f(x),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0).

問(wèn)題:

如果曲線C在

點(diǎn)M處的切線存在,

點(diǎn)M處的切線斜率如何求?則6二.導(dǎo)數(shù)的概念記為定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量時(shí),函數(shù)取得增量相應(yīng)地如果當(dāng)時(shí),的極限存在,則稱函數(shù)x0

處可導(dǎo),y=f(x)在點(diǎn)并稱這個(gè)極限為函數(shù)點(diǎn)

x0

處的導(dǎo)數(shù),y=f(x)在7即：也可記作當(dāng)上式極限不存在時(shí),稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).8質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率9關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明:

2.

如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo).對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作或

1.是因變量在點(diǎn)x0處的變化率,它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.10即注意:2.在用上式求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)時(shí)，要注意極限變量是,而x為常量.11例1

求函數(shù)f(x)=sinx

的導(dǎo)函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)．和在x=解任意x∈R,x有增量Δx,(1)求增量(2)定比值12(3)取極限因此,任意x∈R,則類似地可得任意x∈R,13例2

求函數(shù)f(x)=c(常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．解任意x∈R,有即任意x∈R,14例3

求函數(shù)lnx的導(dǎo)數(shù)．解任意x∈(0,+∞)，即任意15則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即定義2:

若極限存在,(左)或或16

函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)的充要條件為

y在x0處的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等．例4

討論函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的可導(dǎo)性.解由于因此函數(shù)|x|在x=0處不可導(dǎo).17導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示曲線y=f(x)上點(diǎn)處切線的斜率。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可分別得到曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程和法線方程切線方程:法線方程:18例5

求曲線y=sinx在點(diǎn)處的切線和法線方程．根據(jù)以上公式，則該曲線的切線方程為解由例1,法線方程為19三.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則f(x)在x0處連續(xù)．例7

設(shè)函數(shù)討論函數(shù)f(x)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解因?yàn)樗詅(x)在x=0處不連續(xù).由以上定理,f(x)在x=0處不可導(dǎo).20例8

設(shè)函數(shù)討論函數(shù)f(x)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解因?yàn)橛捎趚=0與x≠0時(shí)函數(shù)的表達(dá)式不同,因此要用導(dǎo)數(shù)的定義討論f(x)在x=0處的可導(dǎo)性.所以函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù).21因?yàn)闃O限不存在.所以函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo).22例9

設(shè)函數(shù)求證由于所以當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)于是得23小結(jié):1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):

增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

切線的斜率;4.

函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:

由定義求導(dǎo)數(shù).

判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.24播放2.平面曲線的切線斜率25播放2.平面曲線的切線斜率26播放2.平面曲線的切