高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必考部分復(fù)數(shù)算法推理與證明綜合法分析法反證法應(yīng)用能力提升文

第4節(jié)綜合法、分析法、反證法【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)綜合法3,5,6,8,12分析法7,10,11反證法1,2,4,9,13基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(B)(A)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)(B)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)(C)自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)(D)自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)解析:“恰有一個(gè)偶數(shù)”反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”.故選B.2.設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)yx+yz,zx+zy,(A)都大于2 (B)至少有一個(gè)大于2(C)至少有一個(gè)不小于2 (D)至少有一個(gè)不大于2解析:假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于2,則yx+yz+zx+zy+由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=(yx+xy)+(zx+x所以yx+yz,zx+zy,3.設(shè)a=3-2,b=6-5,c=7-6,則a,b,c的大小順序是(A)(A)a>b>c (B)b>c>a (C)c>a>b (D)a>c>b解析:因?yàn)閍=3-2=13b=6-5=16c=7-6=17又因?yàn)?+6>6+5>3+2>0,所以a>b>c.4.(2014高考山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是(A)(A)方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根(B)方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根(C)方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根(D)方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析:至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根,故要做的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根”.故選A.5.(2016成都模擬)已知函數(shù)f(x)=(12)x,a,b是正實(shí)數(shù),A=f(a+b2),B=f(ab),C=f(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A解析:因?yàn)閍+b2≥ab又f(x)=(12)x所以f(a+b2)≤f(ab)≤f(即A≤B≤C.故選A.6.設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合,在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a,b∈S,對(duì)于有序元素對(duì)(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)),若對(duì)任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對(duì)任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是(A)(A)(a*b)*a=a(B)[a*(b*a)]*(a*b)=a(C)b*(b*b)=b(D)(a*b)*[b*(a*b)]=b解析:由已知條件可得對(duì)任意a,b∈S,a*(b*a)=b,則b*(b*b)=b,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,(a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b,即選項(xiàng)B,C,D中的等式均恒成立,僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立.7.設(shè)a>b>0,m=a-b,n=a-b,則m,n的大小關(guān)系是解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二a-b<a-b?b+a-b>a?a<b+2b·a-b+a-b答案:m<n8.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=x2+1圖像上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖像上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為解析:由條件得cn=an-bn=n2+1-n=所以cn隨n的增大而減小.所以cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是.

解析:“至少有一個(gè)是”的否定為“都不是”.答案:假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)10.已知a>0,用分析法證明a2+1a2-證明:要證a2+1a2-只需證a2+1a2≥(a+因?yàn)閍>0,所以(a+1a)-(2-2所以只需證(a2+1a2)2≥[(a+1a)即2(2-2)(a+1a)≥8-42只需證a+1a≥因?yàn)閍>0,a+1a≥2顯然成立(a=1a=1時(shí)等號(hào)成立所以要證的不等式成立.能力提升練(時(shí)間:15分鐘)11.分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要證b2-ac<3a,只要證(-a-c)2-ac<3a2,即證a2-ac+a2即證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即證a(a-c)-b(a-c)>0,即證(a-c)(a-b)>0.故求證“b2-ac<312.對(duì)于函數(shù)f(x),對(duì)任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三邊長(zhǎng),則稱(chēng)f(x)為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.以下說(shuō)法正確的是(D)(A)f(x)=1(x∈R)不是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”(B)“可構(gòu)造三角形函數(shù)”一定是單調(diào)函數(shù)(C)f(x)=1x2+1(x∈R)是(D)若定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[e,e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”解析:對(duì)于A選項(xiàng),由題設(shè)所給的定義知,任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三邊長(zhǎng),是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),由A選項(xiàng)判斷過(guò)程知,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)a=0,b=3,c=3時(shí),f(a)=1>f(b)+f(c)=15對(duì)于D選項(xiàng),由于e+e>e,可知,定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[e,e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.13.設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:①an+an+22≤an+1;②an(1)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a3=4,S3=18,試探究{Sn}與集合W之間的關(guān)系;(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=5n-2n,且{bn}?W,M的最小值為m,求m的值;(3)在(2)的條件下,設(shè)Cn=15[bn+(m-5)n]+2,求證:數(shù)列{Cn(1)解:因?yàn)閍3=4,S3=18,所以a1=8,d=-2.所以Sn=-n2+9n.Sn+Sn+2Sn=-(n-92)2+81當(dāng)n=4或5時(shí),Sn取最大值20.所以Sn≤20滿足條件②,所以{Sn}?W.(2)解:bn=5n-2n可知{bn}中最大項(xiàng)是b3=7,所以M≥7,M的最小值為7.即m=7.(3)證明:由(2)知Cn=n+2,假設(shè){Cn}中存在三項(xiàng)Cp,Cq,Cr(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列,則Cq2=Cp·C所以(q+2)2=(p+2)(r+2),所以(q2-pr)+(2q-p-r)2=0,因?yàn)閜,q,r∈N*,所以q消去q得(p-r)2=0,所以p=r,與p≠r矛盾.所以{Cn}中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列.精彩5分鐘1.已知三個(gè)不等式①ab>0;②ca>db;③bc>ad.以其中兩個(gè)作條件,余下一個(gè)作結(jié)論,則可組成解題關(guān)鍵:ca-db=解析:此題共可組成三個(gè)命題即①②?③;①③?②;②③?①.若ab>0,ca>db,則ca-db=bc-adab>0,得bc-ad>0,即可得命題①②?③正確;若ab>0,bc>ad,則bc-adab=ca-db>0,得ca>db,即命題三個(gè).答案:三2.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,有f(x1)+f(x2)+…+解題關(guān)鍵:利用所給凸函數(shù)的性質(zhì)求解.解析:因?yàn)閒(x)=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),且A,B,C∈(0,π),所以f(A)+f(B)+f即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=3所以sinA+sinB+sinC的最大值為33答案:33.(2016洛陽(yáng)模擬)下面有4個(gè)命題:①當(dāng)x>0時(shí),2x+12②若雙曲線x2a2-y2b③將函數(shù)y=sin2x的圖像向右平移π6個(gè)單位,可以得到函數(shù)y=sin(2x-π6④在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,則△ABC的外接圓半徑r=a2類(lèi)比到空間,若三棱錐SABC的三條側(cè)棱SA,SB,SC兩