2022年北京市初三一模數(shù)學試題匯編：函數(shù)綜合

1/12022北京初三一模數(shù)學匯編函數(shù)綜合一、解答題1．（2022·北京東城·一模）在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A．點是拋物線上的任意一點，且不與點A重合，直線經(jīng)過A，B兩點．(1)求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；(2)若點，在拋物線上，則a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若對于時，總有，求m的取值范圍．2．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標xOy中，點在拋物線上．(1)求拋物線的對稱軸；(2)拋物線上兩點，，且，．①當時，比較，的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，直接寫出t的取值范圍．3．（2022·北京大興·一模）在平面直角坐標系xOy中，已知關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)若此二次函數(shù)圖象的對稱軸為．①求此二次函數(shù)的解析式；②當時，函數(shù)值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若，當時，函數(shù)值都大于a，求a的取值范圍．4．（2022·北京豐臺·一模）在平面直角坐標系xOy中，點M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．(1)若m＝n，求該拋物線的對稱軸；(2)已知點P（﹣1，P）在該拋物線上，設(shè)該拋物線的對稱軸為x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范圍．5．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點為點和點B．(1)用含a的式子表示b；(2)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；(3)分別過點和點作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N，記拋物線在M，N之間的部分為圖象G（包括M，N兩點）．記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是m，最小值為n．①當時，求的最小值；②若存在實數(shù)t，使得，直接寫出a的取值范圍．6．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2bx．(1)當拋物線過點（2，0）時，求拋物線的表達式；(2)求這個二次函數(shù)的對稱軸（用含b的式子表示）；(3)若拋物線上存在兩點A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），當y1?y2＜0時，求b的取值范圍．7．（2022·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線（是常數(shù)）．(1)求該拋物線的頂點坐標（用含代數(shù)式表示）；(2)如果該拋物線上有且只有兩個點到直線的距離為1，直接寫出的取值范圍；(3)如果點，都在該拋物線上，當它的頂點在第四象限運動時，總有，求的取值范圍．8．（2022·北京房山·一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，0）與點C（0，-3），其頂點為P．(1)求二次函數(shù)的解析式及P點坐標；(2)當m≤x≤m+1時，y的取值范圍是-4≤y≤2m，求m的值．9．（2022·北京朝陽·一模）在平面直角坐標系中，點在拋物線上．(1)若，求的值；(2)若，求值的取值范圍．10．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點．(1)若，①求此拋物線的對稱軸；②當時，直接寫出y的取值范圍；(2)已知點，在此拋物線上，其中．若，且，比較，的大小，并說明理由．11．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求該二次函數(shù)的解析式以及圖象頂點的坐標；(2)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點在一次函數(shù)的圖象上，點在二次函數(shù)的圖象上．若，求m的取值范圍．12．（2022·北京通州·一模）已知拋物線過，，三點．(1)求n的值（用含有a的代數(shù)式表示）；(2)若，求a的取值范圍．

參考答案1．(1)(2)(3)【分析】（1）由，可得拋物線的頂點坐標；（2）由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線，可知關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為，進而可知的關(guān)系；（3）將代入，得，則，過A，B兩點的直線解析式為，當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，，即，可得，可得；當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，點關(guān)于直線的對稱點為，則，計算求出此時的取值范圍；進而可得的取值范圍．（1）解：∵，∴拋物線的頂點坐標為．（2）解：由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線，∴關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為，∴，故答案為：．（3）解：將代入，得，∴，將代入，解得，∴，當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，∵，∴，即，解得，∴，∴；當時，由題意知，當時，隨的增大而減小，點關(guān)于直線的對稱點為，∵對于時，總有，∴，解得，∴；綜上所述，的取值范圍為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．(1)(2)①，理由見詳解；②或【分析】（1）對于拋物線，令，可得，可知點（0，2）在拋物線上，根據(jù)點也在拋物線上，由拋物線的對稱性，可知該拋物線的對稱軸為；（2）根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象．①當時，根據(jù)題意可計算、的取值范圍，再結(jié)合拋物線圖象判斷，的大小即可；②分情況討論，當、、三種情況下，區(qū)域和區(qū)域的位置及移動方向，確定滿足條件的t的取值范圍．（1）解：對于拋物線，令，可得，即該拋物線與y軸的交點為點（0，2），又∵點也在拋物線上，∴根據(jù)拋物線的對稱性，可知該拋物線的對稱軸為；（2）根據(jù)題意，大致畫出拋物線圖象，如下圖，①當時，根據(jù)題意可知，，，，即有，，由圖象可知，；②若對于，，都有，可分情況討論，如下圖：當時，，，由圖象對稱性可知，成立；當時，區(qū)域向左移動，區(qū)域向右移動且都移動t個單位，由圖象對稱性可知，成立；當時，區(qū)域、區(qū)域相向移動，兩區(qū)域相遇時，有，解得，在時，成立；相遇后，再繼續(xù)運動，兩區(qū)域分離時，有，解得；分離后，即時，隨著t的增大，由圖象對稱性可知，成立；綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，用數(shù)形結(jié)合和分情況討論的數(shù)學思想分析問題．3．(1)①；②>；(2)．【分析】（1）①根據(jù)對稱軸求出a的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；②把二次函數(shù)的解析式配方即可得到解答；（2）由題意可得原函數(shù)圖象的對稱軸為x=a，開口向上，且x≥-2時函數(shù)值隨x的增大而增大，求出x=-2時y的值，再由y>a即可得到題目解答．(1)解：①由題意可得：,解之可得：a=1，∴二次函數(shù)的解析式為：；②∵=，∴y≥5，當x=1時，y=5；當x≠1時，y>5，故答案為>；(2)解：∵=，∴原函數(shù)圖象的對稱軸為x=a，開口向上，∵，∴當時，原函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，∵當x=-2時，y=4+4a+6=10+4a，∴10+4a>a，解之可得：a>，∴a的取值范圍為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸、配方法及最值、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．(1)x=3(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值相同的兩個點關(guān)于對稱軸對稱求解即可；（2）根據(jù)題意列出相應(yīng)不等式，然后將不等式化簡為對稱軸的形式得出相應(yīng)不等式解集，根據(jù)不等式解集的確定方法求解即可．（1）解：當m=n時，對稱軸為；（2）解：根據(jù)題意可得：m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，∵m<p<n，mn<0，∴m<0，n>0，∴4a+2b<0，16a+4b>0，化簡得：①，②，∵m<p<n，∴化簡③得，化簡④得，∵t=∴綜合①②③④可得：1<t．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及利用不等式確定解集，理解題意，掌握不等式的性質(zhì)及二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)，(3)①1；②或【分析】（1）把點代入即可得；（2）由對稱軸公式可得拋物線的對稱軸為直線，由拋物線對稱性得點坐標；（3）①當時，，即得拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，當圖象為對稱圖形時有最小值，可得，，即得的最小值為；②由（1）知拋物線為，得，，，頂點坐標為，可分四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，，解得，可得；（Ⅱ）當，且時，，可得，（Ⅲ）當，且時，，可得；（Ⅳ）當，且時，，可得，即知當時，，同理可得：當時，也符合條件．（1）解：把點代入得：，；（2）解：由（1）知拋物線為，拋物線的對稱軸為直線，而關(guān)于直線的對稱點是，由拋物線對稱性得：點坐標；（3）解：①如圖：當時，，拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，由圖象知：當圖象為對稱圖形時有最小值，又，，，，，過點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，，，頂點坐標為，的最小值為；②點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，由（1）知拋物線為，，，，又拋物線對稱軸為直線，頂點坐標為，根據(jù)、點的相對位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，即圖象在對稱軸左側(cè)時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，；（Ⅱ）當，且時，即圖象在對稱軸右側(cè)時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，，（Ⅲ）當，且時，即最低點是拋物線頂點且點縱坐標大時，此時，，，解得，又，，，，；（Ⅳ）當，且時，即最低點是拋物線頂點時且點縱坐標大，此時，，，解得，又，，，，綜上所述，當時，，同理可得：當時，也符合條件，的取值范圍為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，解題的關(guān)鍵是分類討論圖象上縱坐標的大小值．6．(1)；(2)；(3)或【分析】（1）把代入解析式，解答即可；（2）根據(jù)對稱軸為直線計算即可；（3）把坐標代入解析式后，整理，最終轉(zhuǎn)化為解不等式問題．(1)解：把代入解析式，，解得，拋物線的解析式為：．(2)解：二次函數(shù)的對稱軸為直線：，(3)解：將A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入得，，整理得：，，當y1?y2＜0時，則，，，令，解得：，根據(jù)高次不等式的求解法則，的解集為，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，對稱軸的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，對稱軸的公式，靈活運用拋物線的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．7．(1)拋物線的頂點坐標（m，m-2）；(2)2＜m＜4；(3)a≥1．【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．（2）由拋物線上有且只有兩個點到直線的距離為1，及拋物線開口向下可得頂點在直線y=0和直線y=2之間，進而求解．（3）由頂點在第四象限可得m的取值范圍，由y1＜y2可得點B到對稱軸距離大于點A到對稱軸距離，進而求解．（1）∵，∴拋物線的頂點坐標（m，m-2）；（2）∵拋物線開口向下，頂點坐標為（m，m-2），∴0＜m-2＜2，解得2＜m＜4；（3）∵拋物線頂點在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=m且y1＞y2，∴在對稱軸右側(cè)，∴a+2-m＞|a-m|，即a+2-m＞a-m或a+2-m＞m-a，解得a＞m-1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．8．(1)，頂點的坐標為(2)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)得出答案；（2）分①時，②當時，兩種情況分別求解即可．(1)解：解：點、在二次函數(shù)的圖象上，，解得，二次函數(shù)的解析式為：，頂點的坐標為；(2)解：時，的最小值為，，即，①時，，由，解得：（舍去），，②當時，，由，解得：（舍去），（舍去），綜上：的值為．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確分類討論得出的取值范圍．9．(1)0(2)【分析】（1）將和分別代入函數(shù)解析式，根據(jù)，可解出b的值，再將代入函數(shù)解析式，可解出c的值；（2）若，由于函數(shù)圖像開口向上，函數(shù)值越小離對稱軸越近，函數(shù)值越大離對稱軸越遠，結(jié)合二次函數(shù)對稱性可判斷出對稱軸的取值范圍，把點帶入中求出，進而可求出值的取值范圍．(1)解：將和分別代入解析式，得，，，，解得，把點帶入中，得，解得，函數(shù)解析式為當，；(2)解：，中，，函數(shù)圖像開口向上，又，，，解得，把點帶入中，得，，將代入解析式，得，，，，，即．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，牢固掌握以上知識點并學會數(shù)形結(jié)合是做出本題的關(guān)鍵．10．(1)①，②(2)【分析】（1）①拋物線經(jīng)過點，求出a，再代入對稱軸公式求解即可；②因為，所以頂點是最低點，分別求出x=1和x=5時y的值，即可求解；（2）根據(jù)得>，說明的中點在對稱軸的左側(cè)，即離對稱軸較近，離對稱軸較遠，由即可求解．（1）解：①∵拋物線經(jīng)過點．∴解得a=1，∴∴對稱軸；②當時，y當x=1時，y=-1，當x=5時，y=3∴當時，．（2）解：∵拋物線經(jīng)過點．∴m=4a-2(a+4)+3=2a-5>0∴a對稱軸∵a∴∴∵∴

∴>，又∵∴的中點在對稱軸的右側(cè)，即離對稱軸較近，離對稱軸較遠，又∵a>0，拋物線的開口向上，則自變量x離對稱軸距離越近函數(shù)值越小∴【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式、對稱軸公式、頂點坐標、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)，（1，-1）；(2)【分析】（1）把點代入，即可求解；（2）先求出一次函數(shù)的解析式為，再根據(jù)題意列出不等式，即可求解．(1)解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．∴，解得：a=1，∴該二次函數(shù)的解析式為，∵，∴圖象頂點的坐標為（1，-1）；(2)解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，∴，解得：b=5，∴一次函數(shù)的解析式為，∵點在一次函數(shù)的圖象上，點在二次函數(shù)的圖象上．∴，，∵，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)